（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习06《等式性质与不等式性质》(原卷版)

.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式学习目标核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1.借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2.通过大小比较，培养逻辑推理素养.1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为()A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥402．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()A．v≤120km/h且d≥10mB．v≤120km/h或d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10m3．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．4．设M＝a2，N＝－a－1，则M、N的大小关系为________．用不等式(组)表示不等关系【例1】京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．在用不等式组表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个或几个量之间不可用不等式组来表示.另外，在用不等式组表示实际问题时，一定要注意单位的统一.1．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系．比较两数(式)的大小【例2】已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．作差法比较两个实数大小的基本步骤：2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．不等关系的实际应用【例3】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.1．思考辨析(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(3)若a>b，则ac>bc一定成立．()2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是()A．a－b＞0 B．a－b＜0C．a－b≥0 D．a－b≤03．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．第2课时等式性质与不等式性质学习目标核心素养1.掌握不等式的性质．(重点)2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.1．等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是()A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋cC．a－c＞b－c D．a－c＜a－d2．与a>b等价的不等式是()A．|a|>|b|B．a2>b2C.eq\f(a,b)>1D．a3>b33．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax利用不等式性质判断命题真假【例1】对于实数a，b，c下列命题中的真命题是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，则eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＞0，b＜0运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.1．下列命题正确的是()A．若a2＞b2，则a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，则a＜b利用不等式性质证明简单不等式【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).本例条件不变的情况下，求证：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).利用不等式的性质证明不等式注意事项1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.不等式性质的应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又∵－6<a<8，∴－2<eq\f(a,b)<4.你认为正确吗？为什么？提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确a值的正负．故不能将eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)与－6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.这怎么与－2<a＋b<2矛盾了呢？提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．【例3】已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与eq\f(a,b)的取值范围．求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.3．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范围．1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.1．思考辨析(1)若a>b，则ac>bc一定成立．()(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.()2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是()A．a－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a＋d＞b＋c D．ac＞bd3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是()A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜14．若bc－ad≥0，bd>0.求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).A级：“四基”巩固训练一、选择题1．若a>b，则b2＋1与3b－a的大小关系是()A．b2＋1>3b－a B．b2＋1≥3b－aC．b2＋1<3b－a D．b2＋1≤3b－a2．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0(a，b∈R)，则下列不等式恒成立的是()A．a<b B．a＋b>abC．|a|>|b| D．ab<b23．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是()A．ac2>bc2 B．a－d>b－cC．ad<bd D．a2>b24．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<15．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz二、填空题6．有以下四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.其中能使eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有________．7．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，eq\f(x,y)的取值范围为________．8．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，