2024年高考第二次模拟数学试题及答案（天津卷）

2024年高考第二次模拟考试

高三数学(天津卷)

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号，

2,本卷共9小题，每小题5分，共45分

参考公式：

•如果事件4、〃互斥，那么P(ADB)=P(A)+P(B).

•如果事件4、5相互独立，那么P(AB)=P(A)P(5).

•球的体积公式V=g万g，其中R表示球的半径.

•圆锥的体积公式V=；S/z,其中S表示圆锥的底面面积，丸表示圆锥的高。

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合河={工比无>1},N=W(x—l)(x—4)>0},则Me低N)=()

A.{x|x>e}B.{小24}

C.1x|1<x<e}D.{x|e<x44}

2.已知a>0且"1,则“a>2”是“函数y=(a-2)logaX是增函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.=l.l°',Z?=log020.3,c=log2^,则()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

A./(x)=sin2x+一

B.f(x)的图像的一个对称中心为［-巳,。)

TTSjr

C.〃尤)的单调递增区间是-+fai,—，逅Z

OO_

5

D.7(x)的图像向左平移97r个单位长度后得到的是一个奇函数的图象

O

6.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一

种喜庆的氛围•如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是

球面的一部分(除去两个球冠).如图2,球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部

分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R,球冠的高为"则球冠的面积5=2成.已知该灯笼的高为

40cm,圆柱的高为4cm,圆柱的底面圆直径为24cm,则围成该灯笼所需布料的面积为()

A.1536?tcm2B.1472兀mc?

C.18247icm2D.1760兀cnr2

7.某品牌手机商城统计了开业以来前5个月的手机销量情况如下表所示:

时间X12345

销售量y(千只)0.50.71.01.21.6

若y与x线性相关，且线性回归方程为y=0.27x+a,则下列说法不正确的是（）

A.由题中数据可知，变量y与x正相关

B.线性回归方程y=0.27x+a中，a=0.21

C.x=5时，残差为0.06

D.可以预测x=6时，该商场手机销量约为1.81千只

22

8.已知双曲线。与椭圆E:土+匕=1有公共焦点，且左、右焦点分别为工，这两条曲线在第一象限的

2521

交点为尸，鸟是以尸片为底边的等腰三角形，则双曲线。的标准方程为（）

丫2丫22

A.—丁=1B.----------=1

395

22

C.炉―2L=1D.-=1

33

①+i_||1<0

9.已知函数/（X）={1,%,%,工3，%是函数8（#=/（可-/”的4个零点，且玉<马<七<匕，给

|log3x|,x>0

14司_L3X2

出以下结论：①机的取值范围是（0,2）；②3』+3传=:；③忍+44的最小值是4；④产"的最大值是

正.其中正确结论的个数是（）

6

A.1B.2C.3D.4

第n卷

注意事项

i.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共11小题，共105分.

二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分。

2

10-已知复如=百，其中i为虚数单位，则口―

则（«-9丫的展开式中常数项为

11.已知随机变量X〜N（0,，），且P（X40）=a

12.计算InV?-2022kl、_31唯4_

13.已知直线/：x+y-2=0和圆C:x2+（y-i）2=/（r>0）相交于A1两点；弦长伊台上逝，则厂=

14.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和机个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3

次，记摸取白球的个数为X.若E(x)=j,则〃?=,P(X=2)=

15.在边长为6的正方形ABC。中，OE=2EC,M是中点，则人小.网)=;若点尸在线段3。上运

动，则尸E.PM的最小值是.

二、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。

16.在么6(7中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知6+c=2a,5csinB=6asinC.

⑴求cosB的值;

⑵求sin128+kj值;

⑶若A=2B,求tanC.

17.如图，四边形ABCD是正方形,R4，平面ABC。,EB〃PA,A3=P4=4,£B=2,尸为尸。的中点.

⑴求证：AF1PC；

⑵求D到平面PEC的距离;

(3)求平面DPC与平面PEC的夹角.

22

18.已知椭圆C：―+2=1(°>6>0)的一个焦点为片(-1,0),上顶点到这个焦点的距离为2.

ab

(1)求椭圆C的标准方程

(2)若点T在圆f+y2=2上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线/交椭圆C于8(异于点

A),使得07=半(。4+。2)成立？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

19.已知各项均为正数的数列｛%｝的前w项和满足>1,且6sa=4+l)(a„+2),neN*.

(1)求｛%｝的通项公式：

(2)设数列也｝满足%(2〃"-1)=1,并记7“为他,｝的前〃项和，求证：37；,+l>log2(a„+3),7ie7V*.

20.已知函数/(*)=炉+6+1,g(x)=e*(其中e为自然对数的底数).

⑴若“=1,求函数y=〃x)-g(x)在区间[-2,0]上的最大值.

⑵若。=-1,关于x的方程/(x)=hg(x)有且仅有一个根，求实数上的取值范围.

⑶若对任意的4/e[0,2],x产超,不等式V(王)-)|<|g(百)-g(%)|均成立,求实数a的取值范围.

2024年高考第二次模拟考试

高三数学(天津卷)

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号，

2,本卷共9小题，每小题5分，共45分

参考公式：

•如果事件A、〃互斥，那么/人。3)=204)+2(6).

•如果事件4、5相互独立，那么P(AB)=P(A)P(5).

•球的体积公式V=g万g，其中R表示球的半径.

•圆锥的体积公式V=；S/z,其中S表示圆锥的底面面积，丸表示圆锥的高。

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合河={工比无>1},N=W(x—l)(x—4)>0},则Me低N)=()

A.{x|x>e}B.{小24}

C.1x|1<x<e}D.{x|e<x44}

【答案】D

【解析】由题意可得：Af={x|lnx>l}={x|x>e),8RA^={x|(x-l)(x-4)<0}={x|l<x<4},

所以Mc&N)={x[e<x44}.

故选：D.

2.已知a>0且awl,则“a>2”是“函数y=(a-2)log“x是增函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当。>2时，a-2>0,又因为>=log)是增函数，所以,=(4-2)108户是增函数；

当y=(a-2)log/是增函数时，。>2或0<a<l,

所以“a>2”是“函数y=(a-2)log“x是增函数”的充分不必要条件,

故选：A.

3.函数〃x)=的大致图象为()

e+e

斗%

A.八'

B.

OxO%

%斗

D.________AV'>

【答案】D

【解析】由于的定义域为R,

又„/\3(-x)+3sin(_%)_3%3_3sinx

八"一e-x+e*—e-'+e"

所以〃力为奇函数，故可排除AB,

=3?+3silu>o,故排除C,

由于当工£(。㈤时，sinx>0,x3>0,.*./(x)=

c*+e*

故选：D

4.=l.l0l,Z?=log0.3,c=log-^,则(

022)

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】因为〃=1.1°」>1.1°=1,

而log021<logo2O.3<logo20・2,BPO<Z?<1,

所以cvhva.

故选：B.

5.已知/(x)=Asin(ox+0)(A>0,o>0,[d<7t)的一段图像如图所示,则()

B.f⑺的图像的一个对称中心为

jr57r

C.“X）的单调递增区间是-+kit,—+k7t,%eZ

_oo_

D.7（x）的图像向左平移Si?r个单位长度后得到的是一个奇函数的图象

O

【答案】C

【解析】由图可知4=1,二=9一（一期］=9,所以7=%=生，解得0=2,

所以/（x）=sin（2x+e）,又函数过点［-获,1）,

解得0=?+2E/eZ,因为冏〈兀，所以夕=一，，所以/（x）=sin（2x-¥）,故A错误;

因为d=sin12xH一手下sin'g"o,故B错误；

jr37rITITSir

令---F2kn<2x------<—■F2kn,keZ,解得—+kn<x<---\~kn,keZ,

24288

yr57r

故函数的单调递增区间为-+kTt,—+kTt/eZ,故C正确；

oo

将函数/（X）的图象向左平移一个单位得〉=色!12V3兀=sin［2x+_|）=cos2尤为偶函数，故D错

OT

误；

故选：c

6.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一

种喜庆的氛围•如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球

面的一部分（除去两个球冠）.如图2,球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫

做球冠的高，若球冠所在球的半径为R,球冠的高为〃，则球冠的面积5=2兀7随已知该灯笼的高为40cm,

圆柱的高为4cm,圆柱的底面圆直径为24cm,则围成该灯笼所需布料的面积为（）

O'

图2

1536兀cm'B.1472兀cm'

C.18247icmD.17607tcm

【答案】B

【解析】由题意得圆柱的底面圆直径为24cm,半径为12cm,即球冠底面圆半径为12cm.

已知该灯笼的高为40cm,圆柱的高为4cm,所以该灯笼去掉圆柱部分的高为40-8=32cm,

40—R

所以代_（_^__）2=122,得R=20cm,/?=20-16=4cm,

所以两个球冠的表面积之和为2s=4nRh=3207tcm2,

灯笼中间球面的表面积为4n7?2-320TT=1280兀cn?.

因为上下两个圆柱的侧面积之和为2x2434=19221?,

所以围成该灯笼所需布料的面积为128071+1927t=14727rcm2.

故选：B.

7.某品牌手机商城统计了开业以来前5个月的手机销量情况如下表所示：

时间X12345

销售量y（千只）0.50.71.01.21.6

若y与x线性相关，且线性回归方程为y=0.27x+a，则下列说法不正确的是（）

A.由题中数据可知，变量y与x正相关

B.线性回归方程y=0.27x+a中，a=0.21

C.x=5时，残差为0.06

D.可以预测x=6时，该商场手机销量约为1.81千只

【答案】B

【解析】对A,由图表可知，变量y与x正相关，

且0.27>0,即变量y与x正相关，A正确；

1+2+3+4+50.5+0.7+1.0+1.2+1.6

对B,由图表数据可得,

因为样本中心（3,1）满足回归直线，所以1=0.27x3+》，解得6=0.19,B错误;

对C,x=5时，残差为1.6-(0.27x5+0.19)=0.06,C正确;

对D,x=6时，该商场手机销量约为，=0.27x6+0.19=1.81千只，D正确;

故选:B.

22

8.已知双曲线。与椭圆E:二+二=1有公共焦点，且左、右焦点分别为片，尸2,这两条曲线在第一象限的

2521

交点为尸，△尸大鸟是以尸片为底边的等腰三角形，则双曲线。的标准方程为（）

22

C.%2_匕=1D.=1

33

【答案】C

22

【解析】设双曲线。的方程为Q』+与=1,

%bx

22

在椭圆E:—+—=1中4=25,b2=21,，=a2—b2=4,

2521

则a=5,c=2,因为△Pf；工是以尸耳为底边的等腰三角形，

所以|「闾=|耳司=2c=4,由椭圆的定义可知，|P耳|+|擘|=2a=10,

所以|正耳|=6,再由双曲线的定义可得|尸耳卜|尸q=2q=6-4=2,

所以4=1,因为双曲线。与椭圆2£+目=1有公共焦点，

2521

所以q=2也=Jc；=44-1=y/3,

2

故双曲线。的标准方程为——匕=1.

3

故选：C.

9.已知函数/（%）=<'石,%2，%3，%4是函数g（x）=/（x）-根的4个零点，且玉<%2<%3<%4，给

|log3x|,x>0

i3再+下20

出以下结论：①相的取值范围是（。,2）；②3为+3巧=：；③退+4%的最小值是4；---------的最大值是之.

32%3X46

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

,、3x+1-l,x<0

【解析】作出函数f(x)=J的图象如下图所示:

|log3x|,x>0

因为士,々,不，匕是函数g(x)=/(无)-机的4个零点，

所以直线，=机与函数/(力的图象有四个交点，且西<马<%<匕，

结合图象可知：0<加<1,故①错误；

对于②，由图可知，不<-1,贝1」3工出一14-1,0),所以/(王)=|3讨一1卜1—

-1<%2<0,则3也M—le(O,2),所以|=33-1,

2

所以1—3»1=3研J1,所以3』+3为=§,故②错误；

对于③，当|log3x|=l时，x或％=3,

结合图象可知，1<x3<1<%4<3,由/(七)=/(%4)得|1鸣电|=|1鸣及|，

即-logs%3=log3%4,所以43%4=1，所以玉+4%4-2J7。4%4=4,

当且仅当忍=4匕，即W=2,5=g时，等号成立，显然不满足:<W<1<Z<3，

所以毛+4尤4>4,故③错误；

对于④，因为2鼻+%2252演x4=2及,当且仅当2七=4=0时，等号成立，

22

所以3、1+3*=3W3=夜,即受生的最大值是正，故④正确.

2%3+%42%3+%42A/26X3+%46

综上，正确结论为④，共1个.

故选：A.

第II卷

注意事项

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共11小题，共105分.

二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分。

2_

10.已知复数z=；—,其中i为虚数单位，贝IJz=.

【答案】1+i

【解析］・・・z=-=7|K=l—i,

z=1+i•

故答案为：l+i

11.已知随机变量X〜N（0Q2）,且「（xwo）=a,则［五-的展开式中常数项为.

【答案】V

4

【解析】由题意得随机变量X〜N（0,/）服从正态分布，且尸（XW0）=a,由〃=0,所以a=g,

即求的常数项，由二项式定理得常数项为

故答案为：—

4

［解析］lnV?-2022lnl+-3,og34=lne2-2022°+--4=--l+--4=--.

K4j4244

故答案为：3

13.已知直线/：x+y-2=0和圆C:f+（y—1）2=/任>0）相交于AB两点；弦长=贝什=

【答案】1

【解析】圆C:x2+（y_l）2=/（r>0）的圆心为（0,1）,半径为

2

则由题意可得

贝Ur=1.

故答案为：1.

14.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和机个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3

次，记摸取白球的个数为X.若£（X）=：,贝lp"=,尸（X=2）=.

【答案】1=27

64

【解析】由题意知X〜

1m+3）

339

因为E（X）=：,所以3X--=4,解得根=1,

所以尸（X=2）=C；xg[x；=|^

27

故答案为：m=l；P（X=2）=—.

15.在边长为6的正方形ABCD中，OE=2EC,M是BC中点，则Affi.gZ”;若点P在线段3。上运

动，则PE-PM的最小值是.

【答案】30名23

以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系,

因为正方形的边长为6,且OE=2EC,M是BC中点,

则B（6,0）,Z）（0,6）,M（6,3）,E（4,6）,

则9=(-6,6),ME=(-2,3),

所以Affi.3£>=(-6)x(-2)+6x3=30；

设DP=2DB，其中

则DP=ADB=2（6,-6）=（6A,-6>l）,则P（62,6-62）,

所以PE=（4—64,62）,PM=（6-6464-3）,

其中6(12万-132+4)=612^--j+1,2e[0,l]

当4=芸13时，有最小值为三?3.

所以的最小值是胃23.

8

23

故答案为：30；--

O

二、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。

16.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c.已知b+c=2a,5csinB=6asinC.

⑴求C0S5的值；

(2)求sin[28+值；

(3)若A=2区，求tanC.

【解析】(1)由题设及正弦定理知：5bc=6ac,则5〃=6。，又8+c=2a,故3c=2b,

a+c-b2

又cosB=

2ac

（2）由8为内角且cos3=:，则sin5=31~,故sin2B=2sin5cos8=32,cosIB=2cos2B-l=,

883232

所以sin2B-\——=sin2Bcos——Feos25sin—=---x———F（---）x—=---------

I66632232264

/八.「「/'c、rtanA+tanB,

（3）由tanC=tan[jt—（A+B）]=—tan（zA4+B）=-------------,而A=2B,

1-tanAtanB

2tan^5q/7

所以tanA=tan23=------，由（2）知：tanB=3A/7,贝i」tanA=-*^,

l-tan2B31

3币一近

45"

-tanA+tanB_________31

综上,tanC=------------

tanAtanB-13A/7X（一9）-147

31

17.如图，四边形ABCD是正方形，B4J_平面ABCQ,跖〃尸AAB=A4=4,£3=2,尸为尸。的中点.

(1)求证：AF±PC；

⑵求D到平面PEC的距离；

(3)求平面DPC与平面PEC的夹角.

依题意，平面ABCD,如图，以A为原点，

分别以ARAB,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

依题意，可得40,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),£>(4,0,0),尸(0,0,4),依0,4,2),尸(2,0,2),

AF=(2,0,2),PC=(4,4,-4),AF-PC=8+0+(-8)=0,.'.AF±PC.

(2)PE=(0,4,-2),PC=(4,4,-4)

设平面PEC的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-PC=014x+4y-4z=0

则<，即L/n，令y=-1,贝I」尤=-1,Z=-2,

fl-PE=0[4y-2z=0

故乃=(-LT-2),

DC=(0,4,0),故。到平面PEC的距离即DC在法向量〃上的投影长度,

…DCn,,-4,2瓜

则d=i--i=iiV-,

|n|A/63

故D到平面PEC的距离为友.

3

(3)因为APLPRAFLPCPDPC=P,

PD,PCu平面PCD,所以AF_L平面尸CD,

故A尸=(2,0,2)为平面PCD的一个法向量,

|-2-0-4|_73

设平面PCD与平面PCE的夹角为。，则cos。=|cos〈A死〃〉|=

242-46~2

7T

所以平面PC。与平面PCE的夹角为工.

0

22

18.已知椭圆C：鼻+4=1(。＞力＞0)的一个焦点为月(-1,0),上顶点到这个焦点的距离为2.

ab

(1)求椭圆C的标准方程

(2)若点T在圆V+y2=2上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线/交椭圆C于8(异于点A),

使得07=半(04+02)成立？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【解析】解：(1)由椭圆的一个焦点为耳(T，。)知：c=l,

因为上顶点到这个焦点的距离为2,故a=2,所以6=指,

22

...所求椭圆C的标准方程为—+^=1；

43

(2)假设存在过点A的直线/符合题意，直线/的斜率必存在，于是可设直线/的方程为y=Mx-2),

V£

由《43一，得(3+4/)/_16上与+163—12=0.(*)

y=k(x-2)

•..点A是直线/与椭圆C的一个交点，则乙=2,

16左2-12.8^-6.12k

乙』=3+41',-XS=374F，,,yfi=-374F，

8--612k

即点

83+4左2'-3+442OA=(2,0),

16312k

OA+OB=

3+4兀2'-3+442

且116r12k)

即OT=-7-13+442'-3+4左2J

•.•点T在圆/+丁=2上.

-与【卜，

3R

化简得48/-8r-21=0,解得左2=:，；.，k=±—,

42

经检验知，此时(*)对应的判别式△>(),满足题意，

故存在满足条件的直线/,其方程为丫=土手(x-2).

19.已知各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和满足S“>1,且6s“=(%+l)(a.+2),〃eN*.

(1)求｛叫的通项公式：

(2)设数列也｝满足%=并记［为也｝的前w项和，求证：37；+l>log2(a“+3),〃eN*.

【解析】(1)由4=Sj=(卜4+1)(%+2),结合%=5>1,因此％=2

a=

由n+\S〃+i-S,=—(an+x++i)--｛an+1)(4+2)

得(4+i+凡)(%-%-3)=0,

又4>°，得4+1-=3

从而｛凡｝是首项为2公差为3的等差数列,

故｛%｝的通项公式为q=3〃-1.

⑵由"J)=i可得2=1吗.'

从而北=log2gt3〃3〃-1

)

363n

37；=log(----—-)3

2253n-l

3n3〃+13〃+2

・------->-------->--------

3n-l3n3n+l

/3n、劣3n3〃+13n+2

>

"377-13n-l3〃3n+l