2023-2024学年初三年级上册南京秦淮区期中考试数学试卷【学生版】

2023-2024学年度第一学期第一阶段学业质量监测

九年级数学

一、选择题.（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是

符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A-2x-l=0B-f—1=0C.x2—x=0D.2x-y=0

无一

2.一个圆锥的侧面积为36%，其底面圆的半径为4,则该圆锥的母线长为（)

A.3B.4C.9D.12

。上，OC平分弦钻，连接OA,BC,若NA=4O。，则NC的度数是（）

A.50°B.60°C.65°D.70°

4.“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面.图是某学生某次测验的

五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五4:2:2:1:1计算平均成绩，则该学生这五门学科的

平均成绩是（）

学科一

学科五学科二

学科四学科三

A.80B.82C.84D.86

5.以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形.其中一定有外接圆的是（

A.①B.②③C.③④D.②③④

6.图①是一张长28aw,宽16c机的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）

并折叠成一个如图②的底面积为80c病的有盖长方体盒子.设该盒子的高为xc〃z,根据题意，可列方

程为（）

A.(28-2x)(16—2x)=8。B.(28-2x2x)(16-2x)=8。

C.(-x28-2x)(16-2x)=80D.1(28-2x)(16-2x)=80

②

二、填空题.（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上）

7.方程/=4的根是1.

8.一组数据7,10,7,2,7的极差是

9.若将一元二次方程无2+16x=16化为（x+m）2="的形式，则机+”=

10.如图，在AABC中，44=92。，则点A在以线段3C为直径的圆（填“上”“内”或“外”）

11.如图，在［。中，弦AB的长度是弦CD长度的两倍，连接CM,OB,OC,OD,则NAOB2

ZCOD.（填“>”“〈”或“=”）

12.小明参加了中国传统文化课程-射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示:

环数5678910

次数234551

那么他成绩的中位数是环.

13.某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的

增长率为x,根据题意可列方程为.

14.如图，四边形ABCD的各边都与O相切，若AB=2CD=8a〃，则四边形ABCD的周长为.

cm.

15.如图，。的半径为2,AB是弦，点C在优弧AB上.将:。沿至折叠后，连接CB,CB交

AB于点若NADB=108。，则AD3的长是（结果保留万）.

16.在AABC中，ZA=135°,AB=3,AC=&，则其外接圆的半径是.

三、解答题.（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤）

2

17.（6分）解方程：%-4.r+l=0.

18.（6分）解方程：3x（x—2）=x—2.

19.（8分）已知关于x的一元二次方程or?+6x+c=0（awO,c*O）.

（1）当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；

（2）若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若

是，请证明；若不是，请举出一个反例.

20.（7分）如图，在。的内接正八边形ABCDEFGH中，AB=2,连接DG.

(1)求证ZXMAB；

（2）DG的长为

AH

21.（8分）已知关于x的方程尤2+（2〃?-l）x+犷=0.

（1）当该方程有实数根时，求机的范围；

（2）若该方程的两个根不，%满足为+4=%・尤2，求，”的值.

22.（9分）某工厂对新建的两条生产线A,3进行试运行，这两条生产线各生产了5个批次的产品

（每个批次各100个）.其中每个批次产品的合格数量如图.

生产线A,B各批次合格产品数量条形统计图

（2）经过调试，在接下来生产的5个批次中，生产线A,B的合格产品数量如下表:

批次

生产线A的合格产品数量/个8586868687

生产线3的合格产品数量/个—9294949892

本次调试而及巢如痴？说明理由.

23.（6分）如图，已知直线/和点A,B.在直线/上确定点C,使以A,B,。为顶点的三角形是

直角三角形.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作出所有满足条件的点C.）

24.（8分）某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20

盒.为了增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场平均每

天可多售出2盒，降价后商场消售这批月饼每天盈利1200元.求降价后该月饼每盒的售价.

25.（9分）如图，在AABC中，AB=AC,O是它的外接圆，点。在AC上且CD=CB，连接AD，

BD,CD,BD与AC交于点E.

（1）判断A/回的形状，并证明；

（2）当时，求NS4c的度数.

BC

26.（10分）如图①，C,。分别是半圆。的直径AB上的点，点E,尸在AB上，且四边形CDEF

是正方形.

（1）若AB=4石，则正方形CDEF的面积为;

（2）如图②，点G,H,M分别在钻，AB>DE上,连接”G,HM,四边形。曲M是正方形，

且其面积为16.

①求AB的值；

②如图③，点N,P,。分别在HM,AB，EN上，连接RV,PQ,四边形触VPQ是正方形.直

接写出正方形MNPQ与正方形DGHM的面积比.

£

ACODB&CODGBACODGB

27.（11分）我们把经过三角形的一个顶点且与该三角形的两条边所在直线相切的圆叫做这个三角形

的准切圆.

（1）如图，已知A4BC.求作：A4BC的一个准切圆；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）证明：等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；

（3）在R/AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,直接写出它的准切圆的半径长.

BC

2023-2024学年度第一学期第一阶段学业质量监测

九年级数学

一、选择题.（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是

符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.—1=0B.-7—1=0C.x2—x=0D.2x-y=0

x

【答案】C.

【解析】解：A、2x-l=0,是一元一次方程，故A不符合题意；

B、-4-1=0,是分式方程，故3不符合题意；

c、x2-x=O,是一元二次方程，故C符合题意；

D、2x-y=0,是二元一次方程，故。不符合题意；

故选：C.

2.一个圆锥的侧面积为36万，其底面圆的半径为4,则该圆锥的母线长为（

A.33.4C.9D.12

【答案】C.

【解析】设该圆锥的母线长为/,

根据题意得,*2万*4*/=36万,

2

解得/=9,

即该圆锥的母线长是9.

故选：C.

3.如图，点C在。上，OC平分弦四，连接。4,BC,若NA=4O。，则NC的度数是（）

0

C

A.50°B.60°C.65°D.70°

【答案】C.

【解析】OA=OB,ZA=4O。，

/.ZB=40°,

OC平分弦AB,

:.OCLAB,

4.“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面.图是某学生某次测验的

五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五4:2:2:1:1计算平均成绩，则该学生这五门学科的

平均成绩是()

100学科一

学科五Nc^学科二

学科四匕二------y学科三

A.80B.82C.840.86

【答案】B.

,＞匚,4x80+2x100+2x60+100+80

［解析］平均成绩为---------------------------=82,

故选：B.

5.以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形.其中一定有外接圆的是()

A.①B.②③C.③④D.②③④

【答案】C.

【解析】根据有外接圆的条件，四边形必须对角互补，

.•.只有矩形、正方形有外接圆，

故③④一定有外接圆.

故选：C.

6.图①是一张长28aw,宽16c机的矩形纸片，将阴影部分裁去(阴影部分为4个完全相同的小矩形)

并折叠成一个如图②的底面积为80c病的有盖长方体盒子..设该盒子的高为根据题意，可列方

程为()

A.(28-2x)(16-2x)=80B.(28-2x2x)(16-2x)=8。

C.(；x28-2x)(16-2x)=80D.1(28-2^)(16-2x)=80

②

【答案】D.

【解析】设该盒子的高为X。"，则纸盒底面的长为g(28-2x)c〃z,宽为(16-2x)c机，

,纸盒的底面(图中阴影部分)面积是80c/，

-(28-2x)(16-2^)=80,

2

故选：D.

二、填空题.(本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上)

7.方程炉=4的根是.

【答案】%=2,9=-2.

【解析】两边开平方得，

x=zE2.

故答案为：&=2,无2=-2.

8.一组数据7,10,7,2,7的极差是.

【答案】8.

【解析】极差为：10—2=8.

故答案为：8.

9.若将一元二次方程V+16x=16化为(x+m)2=〃的形式，则，〃+"=.

【答案】88.

【解析】x2+16%=16，

£+16尤+64=16+64,

(尤+8)2=80,

所以〃?=8,〃=80,

所以"2+〃=8+80=88.

故答案为：88.

10.如图，在AABC中，ZA=92°,则点A在以线段3C为直径的圆.(填“上”“内”或“外”)

c

AB

【答案】内.

【解析】若点。在以线段3C为直径的圆上，则ND=90。，

因为/4=92。＞"=90。，所以点A在以线段3c为直径的圆内，

故答案为：内.

11.如图，在＜。中，弦他的长度是弦CD长度的两倍，连接。4,OB,OC,OD,贝UNAOB2

/COD.（填“或“=”）

【答案】＞.

【解析】过点。作交回于点尸，连接BE.

/.ZAOE=/BOE=-ZAOB,

2

又AB=2CD,

•.BF=CD,

在RtABEF中,BE>BF,

•.BE>CD,

，ZBOE>ACOD,

：.-ZAOB>ZCOD

2f

即ZAOB>2Z.COD,

故答案为：>.

12.小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示:

【解析】总次数为2+3+4+5+5+1=20,所以中位数取第10与第11的平均数，

QIQ

所以中位数为审=8,

2

故答案为：8.

13.某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的

增长率为x,根据题意可列方程为.

【答案】20(1+尤y=24.

【解析】设平均每月营业额的增长率为x,

则九月份的营业额为：20(1+元)，

十月份的营业额为：20(1+x)2,

则由题意列方程为：20(1+x)2=24.

故答案为：20(1+4=24.

14.如图，四边形ABCD的各边都与O相切，若钻=2。。=8劭，则四边形ABCD的周长为—

cm.

【解析】如图，E,F,G,H是切点

四边形ABCD各边与。相切

:.AH=AE,DH=DG,CG=CF,BE=BF

:.AH+DH+CF+BF^AE+DG+CG+BE

:.AD+BC=CD+AB

AB=2CD=8C〃Z

四边形ABCD的周长为(8+4)x2=24cm

故答案为：24.

15.如图，O的半径为2,AB是弦，点C在优弧至上.将。沿A?折叠后，连接CB,CB交

AB于点。.若NAD3=108。，则AD3的长是(结果保留万).

【解析】补全圆，取沙与。关于他对称，连接。4,OB,AC,

ZAD'B=ZADB=108°,

由内接四边形定理可得ZACB=180°-ZAD'3=180。—108。=72°,

ZAOB=2ZACB=144°,

故答案为：—.

16.在AASC中，ZA=135°,AB=3,AC=4i，则其外接圆的半径是.

【答案】叵.

2

【解析】作SLAB,

ZA=135。，

NG4r>=45。，

.e'CD-AD—Xj

BD=1+3=4,

在RrABCD中,BC=742+12=^7-

NA=135°,

.­•AC在优弧上所对的圆周角为180。-135。=45。，

ZBOC=90°,

在的ABOC中，BC=J17,OB=OC,

.cnc「国即A/34

…OB=OC=-----,B|Jr=--------.

22

三、解答题.(本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤)

17.(6分)解方程：x2-4x+l=0.

【答案】玉=一百+2,x2=百+2.

【解析】♦/一44+1=0,

—4x+4=3,

(X-2)2=3,

/.x=土百+2

解得石=—y/3+2,x2=6+2.

18.(6分)解方程：3x(x—2)=x—2.

【答案】石=2,x2=j.

【解析】-3x(x-2)=x-2f

3x(^x—2)—(x—2)=0,

则(』_2)(3%-1)=0,

x—2=0或3%一1=0，

解得X]=2,x2=1.

19.（8分）已知关于x的一元二次方程依2+fcv+c=O（a#O,cwO）.

（1）当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；

（2）若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若

是，请证明；若不是，请举出一个反例.

【答案】（1）见解析.

【解析】（1）证明：•••二次项系数和常数项的符号不同，

ac<0,

-ac>0,b2>Q>

A=&2-4ac=b2+（-4ac）>0

该方程一定有两个不相等的实数根.

（2）不是，反例炉-4尤+3=0（答案不唯一）

理由如下：,方程有两个不相等的实数根

A-b2-4ac>0,满足62>4ac即可，

反例：b2=16>ac=3,

即f-4x+3=0,这个方程有两个不相等的实数根，该方程二次项系数和常数项的符号相同.

20.（7分）如图，在，。的内接正八边形ABCDEFGH中，AB=2,连接DG.

（1）求证

（2）0G的长为.

【答案】⑴见解析；⑵2+2应.

【解析】（1）证明：连接4）,

----------------E

NBAD=——x2=45°,ZADG=——x2=45°,

88

ZBAD=ZADG,

DG//AB.

(2)由题可得，四边形ZXJFE为等腰梯形，

，正人边形ABCDEFGH,AB=2

EF//AB,GF=EF=AB=2,ZGFE=ZDEF=135°,

EF//DG,

ZDGF=180°-135°=45°,

在RfAQGF中，ZDGF=45°,GF=2,

：.QG=QF=s/2,

同理可得DP=EP=立,

易证四边形PQFE是矩形，

PQ^EF=2,

:.DG=y/2+y/2+2=2y/2+2-

21.（8分）已知关于x的方程尤2+（2加-l）x+加2=。.

（1）当该方程有实数根时，求机的范围；

（2）若该方程的两个根占，％满足工1+无2=丹,无2，求加的值.

【答案】（1）小〈:；（2）m=—\—①.

4

【解析】（1）,•关于x的方程尤2+（2加-l）x+加2=0有实数根，

A=（2加一1）2-4%2>0,

解得：

4

故机的取值范围是加<；.

4

（2）X2+（2m—I）x+m2=0

...玉+/=-(2m-1),玉•％2=机2,

-xi+x2=x1-x2,

一(2fn_1)=M2,

解得g=一1+^/^,机2=—1一^/^，

又fn$L

4

••m=-l—^2•

22.(9分)某工厂对新建的两条生产线A,5进行试运行，这两条生产线各生产了5个批次的产品

(每个批次各100个).其中每个批次产品的合格数量如图.

生产线4B各批次合格产品数量条形统计图

(2)经过调试，在接下来生产的5个批次中，生产线A,5的合格产品数量如下表:

批次678910

生产线A的合格产品数量/一8586868687

生产线B的合格声品数基/个9294949892

本次调试的效果如何？说明理由.

・•.B比较稳定.

B.

A.

_____________________I

【答案】见解析.

【解析】即G，Cz，C3，C4为所求

24.（8分）某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20

盒.为了增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场平均每

天可多售出2盒，降价后商场消售这批月饼每天盈利1200元.求降价后该月饼每盒的售价.

【答案】100元或110元.

【解析】设月饼每盒降了尤元.根据题意，得

（20+2x）（120-80-x）=1200,

解得：％=20或%=1。，

120-x=100或110

答：降价后该月饼每盒的售价为100元或110元.

25.（9分）如图，在AABC中，AB=AC,O是它的外接圆，点。在AC上且8=C3，连接4），

BD,CD,BD与AC交于点E.

(1)判断AAS)的形状，并证明；

(2)当时，求NS4c的度数.

【答案】（1）为等腰三角形，证明见解析；（2）36°.

【解析】（1）AAED为等腰三角形，

证明：设NBZ）C=（z,AACD=（3,

ZAED=a+/3,

CD=CB，

CD=CB,

..ZDBC=ZBDC=a,

AD=AD^

ZABD=ZACD=0,

AB=AC,

/.AACB=AABC=a+f3,

AB=AB^

AADB=AACB=a+f3,

ZADB=ZAED,

AD=AE，

AAED为等腰三角形.

（2）AD=BE,

;AE=BE,

/BAE=/EBA=0,

又BC=BC，

ZBAE=ZBDC,

a=（3,

ZABC+AACB+ABAC=5a=180°,

a=36°,

・•.ZBAC=36°.

26.（10分）如图①，C,。分别是半圆O的直径AB上的点，点E,尸在A5上，且四边形所

是正方形.

(1)若AB=4石，则正方形CDEF的面积为；

(2)如图②，点G,H,M分别在钻，AB>DE上，连接》G,HM,四边形0GHM是正方形，

且其面积为16.

①求AB的值；

②如图③，点N,P,。分别在.，上，连接RV,PQ,四边形MNPQ是正方形.直

接写出正方形MVPQ与正方形OGHM的面积比.

【答案】(1)16；(2)①AB