江苏省泰州市2024届高三下学期四模数学含答案解析

第页2024届泰州市四模数学（考试时间：120分钟；总分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题"∃x>0,A．∀x>0,C．∃x≤02．已知i为虚数单位，1+i​A．1+i B．1−i C．3．函数fx=ln1A．(−∞,0] B．−∞,1 C．[4．已知向量a=1,−3，向量b在a上的投影向量为−1A．−2 B．−1 C．15．已知a=log32，b=logA．a<b<c B．b<a6．已知抛物线C:y​2=2pxp>0的焦点为F，点Pm,−22在A．4π B．6π C．9π7．已知等差数列{an}的公差大于0且a1+a6A．134 B．94 C．748．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,A．43 B．83 C．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知直线m和平面α,β，则下列命题中正确的有（A．若α//β,m⊥α，则C．若m⊥α,m//β，则10．定义在R上的函数fx满足fxy+1A．f0=0 B．f1=0 C．11．已知椭圆C:x​2a​2+y​2b​2=1a>b>0经过点A．C的方程x​B．直线OP与l的斜率之积为−C．直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 D．直线PA,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若3x+2xn13．已知正方体ABCD−A1B1C114．数列{an}满足an+1=ean四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中A型机床2台，B型机床1台.A型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2.（1）记X为每天发生故障的机床数，求X的分布列及期望Ex（2）规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修.求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率.16．（15分）如图，在直三棱柱ABC−AB1C1中，D是棱BC上一点（点D与点C不重合），且AD⊥（1）证明：l//（2）若AC=CC1=2，当三棱锥17．（15分）函数fx=eλx−4sin（1）求λ的值；（2）求fx在018．（17分）已知双曲线C:x​2a​2−y​2b​（1）求双曲线C的方程；（2）已知P,Q是y轴上异于原点O的两点，满足OQ=3OP，直线AP,BO分别交C①直线MN是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由；②记△DMN和△DPQ的面积分别为S1,S19．（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若存在常数λλ>0，使得λ（1）若数列{an}为等差数列，且S3=−（2）设数列{an}的各项均为正数，且{①若数列{an}是公比为q的等比数列，且λ②求λ的最小值.【参考答案】2024届泰州市四模数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B【解析】∃x>0,x2．D【解析】1+i​3．A【解析】ln1−x≥04．A【解析】b在a上的投影向a⋅ba25．C【解析】方法一：fx=logx+f′fx在1,+∞↗，比较log43与23大小，即比较ln3ln4与3ln3>2ln4，∴ln方法二：2​3<36．C【解析】方法一：P在抛物线上，则8=2pm，∴PM=4①，圆心m,−22即m+p2​2方法二：r​2=87．B【解析】方法一：a1+a6∴an∴∑∴a1=14方法二：a1∑24k=8．B【解析】方法一：acosA+∴tanA∴tanAtanB=−tanB=∴tanA+tanC方法二：由正弦定理得tan⇒3⇒tanC⇒tanA显然tanA必为正（否则tanA和tan二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．AC【解析】α//β,α⊥β,m⊥m⊥α,m//m//α,m//α,10．BCD【解析】方法一：x=yx=0x=0f0=−1fx=xfxfy方法二：由条件得fxy+⇒f由x,y的任意性，所以fxxy+所以只能C=−1，即11．ACD【解析】方法一：ca=222a​如图，kOP⋅kkOPkPM=2AB:y=22x+x1+x2=2PA,PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，方法二：易得A正确；如果对图形作伸缩变换：沿y轴方向拉伸至2倍，则椭圆变成圆，P变为P2,2，OP斜率为1，切线l的斜率为−1，那么之前，原先的OP和l的斜率分别为12,−12，所以B错（积应为−12），C对；D：由于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．n=【解析】3x+2xn展开式第r+n=13．3π【解析】方法一：面的对角线长32<21，这说明正方体所有顶点中只有C画出平面BCC图中的圆的半径为r=21−3同理∠NBB1=30​∘，所以∠方法二：以A为球心的球与面ABCD，面ABB1A1，面ADD1C1MN⌢=π6⋅23=314．−ln2【解析】∵x0为函数y=∴e​x∴e​x0−2∴a1⇒lnx0−四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（1）X的可能值为0，1，2，3.PxPxPxPX故分布列为：X0123P0.6480.3060.0440.002所以EX（2）记事件A为“车间停工”，事件B为B型机床发生故障”，则PAPAB则PB答：某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率为192316．（1）证明：在直三棱柱ABC−A1B1因为AD⊂平面ABC，所以C又AD⊥DC，CC1∩DC1=又因为l⊥平面BCC1（2）因为VC1−ACD=由（1）可知AD⊥平面BCC1B1，因为CD又AC=2，所以当且仅当AD=CD=2时取等号，即当法1：综合法作CH⊥DC1于由（1）可知AD⊥平面BCC1B1，因为CH又DC1∩AD=D，AD,因此，AC与平面ADC1所成的角等于因为CH⊥平面ADC1，AH⊂平面在Rt△CDC1中，CD=2，CC1=2所以AC与平面ADC1所成角的正弦值法2：向量法在平面BCC1B1内，作DE//CC1，DE交B1C1分别以DC,DA,则A0,2,0所以AC=设平面ADC1的法向量为n=x,DA→⋅n于是cos⟨AC,n⟩=22317．（1）因为fx=e所以f0=λ则−a−3=λ（2）由（1）得fx=ex−当x≥π时，f因此fx在[π,+∞)当0<x<π又f​′0所以f​′x在0当x∈当x∈又f0因此fx在0综上，fx在018．（1）由条件得2a=2c渐近线方程为bx±ay=又c​2=所以C的方程为x​（2）①设MN:联立x=my+所以3m​2−1≠y1=−法2：易得AM:y=y1同理得BN:y=y2因为OQ=3OP，所以y所以−y即4my所以4m3t​2若9m​2+3t​因此直线MN:x=法2：由条件易得kBQ=y又kAM⋅k因此y1x1整理得9m​所以9m​整理得t​2−当t=1时，直线MN过点B，与题意不符，所以因此直线MN:x=法3：设P0,t所以AP:y=由y=tx由y=−3t所以kMN则MN方程：y−6t3−t​2=2t②由①得y1+y联立AP:y=yp于是S=4=4m解得m​所以直线MN的方程为x=2或19．（1）解法一：因为数列{an}所3a解得a1=−1,所以3a即3a所以数列{an}解法二：由条件易得an则λan−（2）①解法一：由题意得：数列{an}具有性质P若0<q<1，解得n<1+若