黑龙江哈尔滨第三中学2023-2024学年高三上学期第四次验收考试数学试题含答案解析

哈三中2023—2024学年度下学期高三学年第四次模拟考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.已知，若，则m的取值范围是（）A. B. C.或 D.或3.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的面积为，则（）A. B. C.2 D.44.若数列满足（且），则的值为（）A.3 B.2 C. D.5.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.6.2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（）A.18 B.36 C.54 D.727.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.8.过椭圆上的任意一点M（不与顶点重合）作椭圆的切线交x轴于点N，O为坐标原点，过N作直线的垂线交直线于点P，则（）A.既没最大值也没最小值 B.有最小值没有最大值C.有最大值没有最小值 D.定值（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知i是虚数单位，下列说法正确的是（）A.复数，满足，则B.已知a，b，c，，若，，则C.复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D.复数z满足，则10.已知圆锥（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1.若为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（）A.三角形面积的最大值为2B.三棱锥体积的最大值C.四面体外接球表面积的最小值为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为11.已知函数，为导函数，且满足，则下列结论中正确的是（）A.B.函数的图象不可能关于y轴对称C.若最小正周期为，且，则D.若函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12.已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为______.13.在的展开式中常数项为______.14.牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为______；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数的最大值为______.三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为，的中点，点G在棱上，，直线与平面相交于点H.（1）从下面两个结论中选一个证明：①；②直线，，相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分.（2）求点A到平面的距离.16.已知正项等比数列中，为前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前n项和，求.17.2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M，N外其他每个路口选择向北和向东的概率均为），直到从n（，2，3，4，5）号出口走出，且从n号出口走出后，会得到一份奖金元.（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：

男性女性总计喜欢走迷宫141630不喜欢走迷宫16420总计302050根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响；附.0.100.050.0250.010.0050.0012.70638415.0246.6357.87910.828（2）设某位游客获得奖金X元，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？18已知，，平面内动点P满足.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）动直线交C于A、B两点，O为坐标原点，直线和的倾斜角分别为和，若，求证直线过定点，并求出该定点坐标；（3）设（2）中定点为Q，记与的面积分别为和，求的取值范围.19.若函数的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数的图象的一组“同切点”例如，如图，直线为函数的图象的“自公切线”，，为函数的图象的一组“同切点”.（1）已知函数在处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；（2）若，求证：函数，有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设，函数，的零点为，求证：为函数的一组同切点.哈三中2023—2024学年度下学期高三学年第四次模拟考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；由，则，即，显然成立，必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B2.已知，若，则m取值范围是（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】将代入，然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为，所以，等价于，解得.故选：A3.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的面积为，则（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】由，利用边化角，求解,由面积为，求解，判断选项.【详解】由，则,故,又，所以,由的面积为，则,即.故选：D4.若数列满足（且），则的值为（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用递推数列的性质，找到数列的周期，求出即可.【详解】因为且，所以，所以数列具有周期性，且，所以.故选：A.5.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知：，根据模长关系结合数量积的运算律可得，进而可求投影向量.【详解】由题意可知：，因，则，即，可得，所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：C.6.2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（）A.18 B.36 C.54 D.72【答案】B【解析】【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数，最后用分类加法原理计算总的方法数即可.【详解】若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：，若甲、乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：，所以不同的选法总数为:.故选：B.7.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而判断选项.【详解】对于B，当时，，，，则，不满足图象，故B错误;对于C，，定义域为，而，关于轴对称，故C错误;对于D,当时，，由反比例函数的性质可知在单调递减，故D错误;利用排除法可以得到，在满足题意，A正确.故选：A8.过椭圆上的任意一点M（不与顶点重合）作椭圆的切线交x轴于点N，O为坐标原点，过N作直线的垂线交直线于点P，则（）A.既没最大值也没最小值 B.有最小值没有最大值C.有最大值没有最小值 D.为定值【答案】D【解析】【分析】利用导数求得切线斜率以及方程，从而求得点坐标，再结合点到直线的距离公式以及两点之间的距离公式求得，再求乘积即可.【详解】设，对求导可得：，解得，故方程为：，即，，又，故方程为：；令，解得，故；又方程为，故则，又，故.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数求导求得过点的切线方程，事实上，也可在选填中根据二级结论直接写出方程.（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知i是虚数单位，下列说法正确的是（）A.复数，满足，则B.已知a，b，c，，若，，则C.复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D.复数z满足，则【答案】AD【解析】【分析】根据共轭复数以及模长公式即可求解A，根据虚数的性质即可求解B，根据复数模长即可根据圆的方程求解C，根据的周期性即可求解D.【详解】对于A，由于，则，故，故A正确；对于B，若为虚数，由于虚数不可以比较大小，故B错误，对于C，设，则，化简可得，则在复平面内对应中的轨迹为圆，故C错误，对于D，由得，则，故，故D正确，故选：AD．10.已知圆锥（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1.若为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（）A.三角形面积的最大值为2B.三棱锥体积的最大值C.四面体外接球表面积的最小值为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】BD【解析】【分析】对于A，判断为钝角，确保取得到，然后由面积公式求解可判断A；对于B，根据可判断B；对于C，利用正弦定理求的外接圆半径，然后可得外接球半径，根据范围可判断C；对于D，作，然后证明平面，可得，可判断D.【详解】对于A，延迟交底面圆于点，因为，所以，在中，由余弦定理得，所以为钝角，所以，当且仅当时等号成立，所以三角形面积的最大值为，A错误；对于B，因为，所以三棱锥体积为，当时取得最大值，B正确；对于C，记四面体外接球半径为，的外接圆半径为，，因为，为等腰三角形，所以，因为球心到的距离相等，所以球心在的中垂面上，故球心到平面的距离为，由正弦定理得，所以,因为，所以，，所以四面体外接球表面积，无最小值，C错误；对于D，作，垂足为，因为平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，记直线与平面所成角为，则，又，所以，当时，取得最大值，D正确.故选：BD11.已知函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（）A.B.函数的图象不可能关于y轴对称C.若最小正周期为，且，则D.若函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】代入即可求解A，根据，结合辅助角公式即可求解B，根据二倍角公式即可求解C，根据可得最值点满足，即可列不等式求解D.【详解】对于A，，由于，所以，A正确，对于B，，当时，为偶函数，其图象关于y轴对称，故B错误，对于C，最小正周期为，所以，故，则，故，即，C正确，对于D，因为，令，则，故由于在上恰有一个最大值点和一个最小值点，根据对称可知这两个极值点分别为，故，解得，故D正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键在于，利用整体代入法求得的最值点，从而得到关于的不等式，由此得解.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12.已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为______.【答案】【解析】【分析】求出的坐标，求出，根据点O到直线的距离为即可求解.【详解】因为，，，所以,所以，.所以,所以.所以点O到直线的距离为.故答案为：.13.在的展开式中常数项为______.【答案】81【解析】【分析】的展开式中通项公式,令，即可得出．【详解】的展开式中通项公式：．的通项公式：．故的通项为令，则，；，；，．因此常数项．故答案为：．14.牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为______；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数的最大值为______.【答案】①.3②.1【解析】【分析】利用给定定义，整理出，求值解决第一空即可，利用求出，进而得到，再确定的最大值即可.【详解】易知，设切点为，由切线几何意义得斜率为，故切线方程为，由给定定义知在该直线上，代入直线得，当时，易知，故的1次近似值为，由得，，，而函数的零点为，且，故在上单调递增，且，，故，由零点存在性定理得，由题意得，故，而是整数，故，故答案为：3；1【点睛】关键点点睛：本题考查数列和导数新定义，解题关键是利用给定定义，然后表示出，求出，得到所要求的参数最值即可．三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为，的中点，点G在棱上，，直线与平面相交于点H.（1）从下面两个结论中选一个证明：①；②直线，，相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分.（2）求点A到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）选①，易知，从而得平面，再由线面平行的性质定理，即可得；选②，易知与不平行，设，根据点、线、面的位置关系，可证，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离即可．【小问1详解】证明：选①，因为，分别为，中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以．选②，因为，是的中点，所以与不平行，设，则，，因为平面，平面，所以平面，平面，又平面平面，所以，所以直线，，相交于一点．【小问2详解】连接，，因为与均为正三角形，且是的中点，所以，，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,,0,，,,,，所以,，故,,，所以,,,,,,，设平面的法向量为,,，则，令，则，，所以,1,，所以点到平面的距离为，故点与平面距离为．16.已知正项等比数列中，为的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前n项和，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解首项和公比，进而可求解通项，（2）根据等比数列求和公式以及裂项求和，结合分组求和即可求解.【小问1详解】设的公比为，由且可得：当时，，当时，，解得或（舍去），故，故【小问2详解】，由于，则数列的前项和17.2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M，N外其他每个路口选择向北和向东的概率均为），直到从n（，2，3，4，5）号出口走出，且从n号出口走出后，会得到一份奖金元.（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：

男性女性总计喜欢走迷宫141630不喜欢走迷宫16420总计302050根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响；附.0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）设某位游客获得奖金X元，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？【答案】（1）能，理由见解析；（2）分布列见解析，；（3）400元.【解析】【分析】（1）根据列联表数据算出，对照临界值表即可得出结论；（2）通过分析到达号门需要向东和向北各走几次即可求出相应概率，从而可得分布列，再由期望公式可得期望；（3）利用（2）中期望可得每名走迷宫的游客带来的收入期望，然后可解.【小问1详解】零假设为：假设是否喜欢走迷宫与性别相互独立，根据表中数据计算得，所以，根据小概率值的独立性检验，假设不成立，即喜欢走迷宫与性别有关，此推断犯错误的概率不超过.男性中喜欢走迷宫的频率为，女性喜欢走迷宫的频率为，由知，女性喜欢走迷宫频率大约是男性喜欢走迷宫频率的倍.【小问2详解】由题知，的可能取值有，走到1号门需要向东走1次，向北走5次，或者经过点到达1号门，走到5号门需要向东走5次，向北走1次，或者经过点到达5号门，走号门走出需要向东走次，向北走次.因为每个路口选择向北和向东的概率均为，所以，，，，.得分布列如下：246810所以.【小问3详解】由（2）知，每名走迷宫的游客带来的收入期望为，所以，100名游客带来的收入期望为元，即迷宫项目每天收入约为400元.18.已知，，平面内动点P满足.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）动直线交C于A、B两点，O为坐标原点，直线和的倾斜角分别为和，若，求证直线过定点，并求出该定点坐标；（3）设（2）中定点为Q，记与的面积分别为和，求的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析，（3）【解析】【分析】（1）确定向量的坐标，利用，化简即可求曲线的方程；（2）设直线的方程为与抛物线方程联立，得韦达定理，根据，利用和差角公式以及斜率公式可得，代入化简即可得即可证得，即可求解定点；（3）根据，即可根据点线距离得求解.小问1详解】设点的坐标为.由题意，由，得，化简得所求曲线的方程为.【小问2详解】因为过点的直线与曲线有两个不同的交点、，所以的斜率不为零，故设直线的方程为联立方程组，消并整理得，设，，，，于是，，，由于，不妨设直线的斜率为，则，所以，即，进而，整理得，将，代入可得，化简得，由于，所以，则直线方程为，故直线过定点，【小问3详解】由题意可知，则直线方程为，且，，其中分别为到直线的距离，所以代入，，，由于且，故，解得或，故，故..【点睛】方法点