福建省南平市2024届高三下学期第三次质量检测数学试题含答案

南平市2024届高三第三次质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足，则（）A.1 B. C. D.22.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.4.对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（）A.1.906 B.1.908 C.1.917 D.1.9195.已知，则（）A. B. C. D.6.关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（）A. B. C.2 D.7.在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（）A.极差 B.众数 C.平均数 D.第25百分位数10.已知圆：，直线：，则（）A.直线过定点B.圆被轴截得的弦长为C.当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4D.直线被圆截得的弦长最短时，的方程为11.已知函数及其导函数的定义域均为，记.满足，的图象关于直线对称，则（）A. B.C.为奇函数 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合，，则的子集个数为______.13.函数在区间上单调递增，且在区间上恰有两个极值点，则的取值范围是______.14.在正四棱台中，，，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为的球上，则平面截球所得截面的面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）已知函数，且图象在处的切线斜率为0.（1）求的值；（2）令，求的最小值.16.（本小题满分15分）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为0.2，0.1，0.3.（1）从这10个建盋中任取1个，求取出的建或是成品的概率；（2）每件建蓋成品的收入为1000元，每件废品的收入为0元.乙烧制的这3件建盋的总收入为元，求的分布列及数学期望.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，，，.，分别为棱，上的动点（与端点不重合），且.（1）求证：平面；（2）若，设平面与平面所成的角为，求的最大值.18.（本小题满分17分）已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4，记点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点.19.（本小题满分17分）若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列.（1）若，，，求的值；（2）已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值；（3）若数列是各项均为正整数的单调递增数列，求证：.

南平市2024届高中毕业班第三次质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.B8.D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.BC10.ACD11.ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.4 13. 14.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）【解析】（1），依题意得，所以.（2）由（1）知函数，的定义域为，，则，求导得，当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，.16.（本小题满分15分）【解析】（1）设事件为“取得的建盏是成品”，事件，，分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”.则，，.又，，，所以（2）设这3件中成品的件数为.由题可知.因为，的可能取值为0，1000，2000，3000所以，，，，所以的分布列为0100020003000所以元.17.（本小题满分15分）【解法一】（1）因，，，所以，，即又平面所以因所以平面（2）设，如图所示，建立空间直角坐标系.令，，设，则有，即，解得同理可得设平面的法向量为，由令，则，.得平面的一个法向量为又由（1）可知是平面的一个法向量，则有当且仅当，即时取“=”又，所以的最大值【解法二】（1）同解法一（2）不妨设，由，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：设平面的一个法向量为，取，，于是，当且仅当，即时取“=”又，所以的最大值.18.（本小题满分17分）【解法一】（1）设，则，由已知，有，故的方程为（2）设，若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾，故设直线的方程为：由得，，，则，由点在直线上，设，则，所以，又，则，即，，，，，，所以（舍去），或，所以的方程为，过定点【解法二】（1）同解法一；（2）设，，若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾，故设直线的方程为：由得，，，则，，所以，即，又直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程，可得，又点