新疆乌鲁木齐十五学中2023--2024学年上学期九年级期中数学试卷　

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年新疆乌鲁木齐十五中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各式中是一元二次方程的是(

)A. B. C. D.2.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.3.已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围(

)A. B. C. D.4.若方程有实数根，则k的取值范围是(

)A. B. C.且 D.且5.如图，将绕点C按照顺时针方向旋转得到，交AC于点若，则(

)

A. B. C. D.6.某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为(

)A.

B.

C.

D.7.已知二次函数，当自变量x取m时，其相应的函数值大于0，那么x取时下列结论中正确的是(

)A.的函数值小于0 B.的函数值大于0

C.的函数值等于0 D.的函数值与0的大小关系不确定8.如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在AB边上，连结，则的周长为(

)A.

B.

C.

D.9.如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，则以下结论：

①无论x取何值，的值总是正数；

②；

③当时，；

④；

其中正确结论是(

)

A.①② B.②③ C.③④ D.①④二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.若点与点关于原点对称，则______.11.将抛物线平移，使它的顶点移到点，则平移后新得到的抛物线的表达式是______.12.

13.若实数x满足方程，那么的值为______.14.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶拱桥洞的最高点离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为______米．

15.如图，在矩形ABCD中，，，E是边AB上一点，，F是直线BC上一动点，将线EF绕点E逆时针旋转得到线段EG，连接CG，DG，则的最小值是______.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.本小题8分

解方程：

；

17.本小题8分

已知关于x的一元二次方程

求证：方程总有两个实数根；

若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．18.本小题8分

已知：如图，将绕点A顺时针旋转得到，点E对应点C恰在ED的延长线上，若求证：为等边三角形．19.本小题8分

如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿BC边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，点P到达B点时停止运动．设P点运动时间为t秒．

为何值时，为等腰三角形？

为何值时，四边形PQCA的面积等于？20.本小题8分

当时，一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，绕点C将直线顺时针旋转，求旋转后的直线解析式．21.本小题10分

某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为如图

若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值；

当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？22.本小题12分

“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲，在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数件与销售单价元满足一次函数关系：如果义卖这种文化衫每天的利润为元，

求出p与x的关系式；

当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？23.本小题13分

已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点

求抛物线的表达式；

连接AC，BC，求；

抛物线上是否存在一点E，使得？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意；

B.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

C.该方程当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D.是代数式，不是方程，故此选项不符合题意．

故选：

根据一元二次方程的定义逐个判断即可．

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2.【答案】B

【解析】解：图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.B图案既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.C图案不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D.D图案不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3.【答案】C

【解析】解：二次函数中，，

抛物线开口向下，

在对称轴的右侧y随x的增大而减小，

抛物线的对称轴为，

当时，y随x的增大而减小，

当时，y随x的增大而减小，

故选：

根据二次函数表达式可得其对称轴为及抛物线开口向下，从而得到在对称轴的右侧y随x的增大而减小，再根据已知条件当时，y随x的增大而减小，确定m的取值范围．

本题考查了二次函数的图像与性质，掌握当抛物线开口向下时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小是解题的关键．4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了根的判别式．解题的关键是注意理解有实数根就是指

方程有实数根，那么利用根的判别可得，解得，而，方程是一元一次方程，故可确定选项．

【解答】

解：根据题意可得

，

即，

解得，

而时，方程是一元一次方程，方程的解为

故选5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键．

由旋转的性质得出，，再根据三角形内角和定理即可求解．

【解答】

解：将绕点C按照顺时针方向旋转得到，

，，

，

，

故选：6.【答案】D

【解析】解：一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，

二月份的营业额为，

三月份的营业额为，

可列方程为，

即

故选：

先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额万元，把相关数值代入即可．

此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．7.【答案】A

【解析】解：根据题意画出图形：

当自变量x取m时，其相应的函数值，

可知m表示的点在A、B之间，，

，

当自变量x取时，那么的函数值

故选：

根据二次函数的性质，由于二次项系数为，故函数开口方向向下，根据函数解析式的特点，当时，，时，，又，据此即可画出函数草图，利用数形结合的思想即可解答．

本题考查了二次函数的性质，画出图形利用数形结合，可以轻松解题．8.【答案】D

【解析】解：，，，

，

，

，

绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在AB边上，

，，，

，，

为等边三角形，

，，，

，

为等边三角形，

，

的周长为，

故选：

如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得到，，，则可判断为等边三角形，所以，然后判断为等边三角形，从而得到的长，于是得到结论．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．9.【答案】D

【解析】解：①抛物线开口向上，顶点坐标在x轴的上方，无论x取何值，的值总是正数，故本小题正确；

②把代入，抛物线得，，解得，故本小题错误；

③由两函数图象可知，抛物线解析式为，当时，，，故，故本小题错误；

④物线与交于点，

的对称轴为，的对称轴为，

，

，，

，故本小题正确．

故选

根据与的图象在x轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．

本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键．10.【答案】

【解析】解：点与点关于原点对称，

，，

故，，

则

故答案为：

直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出m，n的值，即可得出答案．

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．11.【答案】

【解析】解：原抛物线解析式为，平移后抛物线顶点坐标为，

平移后的抛物线的表达式为：

故本题答案为：

平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．

本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．12.【答案】

【解析】

13.【答案】4

【解析】解：设，则原方程化为，

解得：或，

当时，，此时方程有解，

当时，，此时方程没有实数根，舍去，

所以

故答案为：

设，则原方程化为，求出y即可．

本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．14.【答案】

【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为，

通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标，

到抛物线解析式得出：，所以抛物线解析式为，

当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把代入抛物线解析式得出：

，

解得：，

所以水面宽度增加到米，

故答案为：

根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．

此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．15.【答案】13

【解析】解：如图，将BE绕点E逆时针旋转得到EH，连接GH，并延长交BC于N，

，，

，

将线EF绕点E逆时针旋转得到线段EG，

，，

将BE绕点E逆时针旋转得到EH，

，，

，

在和中，

，

≌，

，，

点G在过点H且垂直EH的直线上运动，

作点C关于直线GH的对称点，连接，则的最小值为的长，

，，

四边形EBNH是矩形，

，

，

，

，

的最小值为13，

故答案为：

由“SAS”可证≌，可得，，则点G在过点H且垂直EH的直线上运动，由勾股定理可求解．

本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，确定点G的运动轨迹是解题的关键．16.【答案】解：，

，

，

或，

，；

，

，

，

，

或，

，

【解析】利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答；

利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．

本题考查了解一元二次方程-配方法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．17.【答案】证明：依题意，得，

，

方程总有两个实数根；

解：

，

得，，

方程有一个根是正数，

，

【解析】计算方程根的判别式，判断其符号即可；

求得方程两根，再结合条件判断即可．

本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．18.【答案】证明：，

，

由旋转可知：，

，

，

又，

，

为等边三角形．

【解析】依据旋转的性质以及平行线的性质，即可得到，进而得出为等边三角形．

本题主要考查了等边三角形的判定，关键是掌握三条边都相等的三角形是等边三角形．本题解法不一，也可以根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形进行证明．19.【答案】解：设t秒后，则，，

是等腰三角形，则即，

解得

答：t为2时，为等腰三角形；

的面积为，

根据题意，得，

解得舍去负值

答：t为4时，四边形PQCA的面积等于

【解析】分别写出BP、BQ的关系式，

是等腰三角形，则根据即可求得t的大小，即可解题；

写出的面积的表达式，根据BQ、BP的关系式和四边形PQCA的面积等于列出方程并解答．

本题考查了三角形面积的计算及一元二次方程的应用，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中正确列出关于t的方程式是解题的关键．20.【答案】解：，

，

令，则，

，

令，则，

，

设旋转后的直线与y轴的交点为F，过点F作交于点G，

，

，

，，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

设直线CF的解析式为，

，

，

【解析】由已知求出C点、D点坐标，设旋转后的直线与y轴的交点为F，过点F作交于点G，分别求出，，再由，求出GF的长，再求出DF的长，从而得到OF的长，即可求F点坐标，最后用待定系数法求直线解析式即可．

本题考查一次函数的几何变换，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质是解题的关键．21.【答案】解：根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为，

，

解得或，

经检验，时，不符合题意，舍去，

，

答：此时x的值为2；

设矩形养殖场