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文档简介

台山一中2024届高三第一次月考数学试题1.设集合xENxAnB=D.{-1}A.2+iB.2-iC.+iD.-i=0(xER)有正实数根”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.-2B.C.1D.29展开式中含x5的系数是()A.28B.-28C.84D.-846.2023年武汉马拉松于4月16日举行,组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员,每位志愿者去一个路口,每个路口至少有两位引导员,若小王和小李不能去同一路口,则不同的安排方案A.40B.28C.20D.14,<,的值域为A,若A坚[-1,1],则f(x)的零点个数最多是()A.1B.2C.3D.4第1页/共4页9.《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准,它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织4000名大一新生进行体质健康测试,现抽查200名大一新生的体测成绩,得到如图所示的频率分布直方图,其中分组区间为[70,75),[75,80),[80,85),[8A.估计该样本的众数是87.5B.估计该样本的均值是80C.估计该样本的中位数是86D.若测试成绩达到85分方可参加评奖,则有资格参加评奖的大一新生约为2200人10.已知非零实数a,b满足a>|b|+1,则下列不等关系一定成立的是()+1C.a211.下列关于概率统计说法中正确的是()A.两个变量x,y的相关系数为r,则r越小,x与y之间的相关性越弱B.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)=-pC.在回归分析中,R2为0.98的模型比R2为0.89的模型拟合的更好D.某人在10次答题中,答对题数为X,X~B(10,0.8),则答对8题的概率最大12.已知函数f(x)=ex-1+e1-x+x2-2x,若不等式f(2-ax)<f(x2+3)对任意xER恒成立,则实数a的取值可能是()A-4B-1C.D.32第2页/共4页15.已知F1,F2为椭圆C的两个焦点,P为C上一点,若PF1+PF2=2F1F2,则C的离心率为.16.某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动,高一100人中女生占,高二60人中女生占,则从中抽取1人恰好是女生的概率为.17.在ΔABC中,ZA=60°,c=a.18.设fI(x)为函数f(x)的导函数,已知f(x)=x+fI(0)cos2x+a(aER),且f(x)的图像经过点(0,2).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调区间.19.已知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形,其中菱形边长为4,ZA=90O,ZD=60O.将三角形ABE沿BE折起,使得平面A1BEL平面BCCLCD;(2)求二面角BA1CD的正弦值.(1)求证:数列{bn}为等比数列;第3页/共4页21.已知椭圆E:+=1(a>b>0)与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且△MF1F2是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A,B.(1)直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;(2)求‘ABM的面积的最大值.22.“英才计划”最早开始于2013年,由中国科协、教育部共同组织实施,到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生,为选拔培养对象,某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动.(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学,从这12名学员中选取3人,ξ表示选取的人中来自该中学的人数,求ξ的分布列和数学期望;(2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动.规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利,假设每轮答题结果互不影响.已知甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为p1,p2,且p1+p2=,如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利,那么理论上至少要参加多少轮竞赛?第4页/共4页台山一中2024届高三第一次月考数学试题,则AnB=()【答案】B【解析】【分析】求出集合A、B,利用交集的定义可求得集合A八B.}},所以AnB={0,1}.【答案】B【解析】【分析】由复数的运算化简复数z,再求共轭复数即可.4i24i25 59x2”是“x2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据零点的几何意义,将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题,结合二次函数的性质,可得答案.【详解】由方程x2+3x+a=0有正实数根,则等价于函数f(x)=x2由二次函数f(x)的对称轴为x=-x)只能存在一正一负的两个零点,A.-2B.C.1D.2【答案】A【解析】【分析】先分离,再根据基本不等式求最值,即得结果. 选A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属基础题.9展开式中含x5的系数是()A.28B.-28C.84D.-84【答案】C【解析】【分析】根据(1+x)9展开式的通项,分别求出展开式中含x3、x4、x5的项的系数,即可得出答案.当x2-x+1选取x2时,由已知可得,应选取(1+x)9展开式中含x3的项,当x2-x+1选取-x时,由已知可得,应选取(1+x)9展开式中含x4的项,当x2-x+1选取1时,由已知可得,应选取(1+x)9展开式中含x5的项,第2页/共17页(x2x6.2023年武汉马拉松于4月16日举行,组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员,每位志愿者去一个路口,每个路口至少有两位引导员,若小王和小李不能去同一路口,则不同的安排方案A.40B.28C.20D.14【答案】B【解析】【分析】根据题意,先分配特殊的两个人,再将剩余4个人分到两个路口,按照分组分配相关知识进行计算即可.【详解】若小王在1号路口,小李在2号路口,则剩余4个人分到两个路口,两个路口为1+3人分布,共有CCA=8种方案,所以一共有28种不同的安排方案种数.【答案】A【解析】即可判断.第3页/共17页b-a=ln-=ln1+2x-,设g(x)=ln(,<,的值域为A,若A坚[-1,1],则f(x)的零点个数最多是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】分别求出各段函数的单调性,结合函数图象分类讨论,分别求出函数的零点个数,即可判断;【详解】解:令g(x)=log2(1-x),则g(x)=log2(1-x)在(-如,1)上单调递减;令h(x)=x3-3x+1,则h'(x)=3x2-3.由h'(x)>0,得x>1或x<-1;于是,h(x)的极大值为h(-1)=3,极小值为h(1)=-1.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的图象,如下图:显然(1)若-1<k<0,当k<x<0时,f(x)>f(f(x)<f=-1,不符合题意;第4页/共17页②当k<x<时,f(1)<f(x)<max{f(k),f()}<1,即1<f(x)<1.此时,结合图象可知,当k=0时,f(x)在[1,k)上没有零点,在[k,]上有2个零点;当0<k<时,f(x)在[1,k)上有1个零点,在[k,]上有1个或2个零点,综上,f(x)最多有3个零点.9.《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准,它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织4000名大一新生进行体质健康测试,现抽查200名大一新生的体测成绩,得到如图所示的频率分布直方图,其中分组区间为[70,75),[75,80),[80,85),[8A.估计该样本的众数是87.5B.估计该样本的均值是80C.估计该样本的中位数是86D.若测试成绩达到85分方可参加评奖,则有资格参加评奖的大一新生约为2200人【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图,可判断A项;根据频率分布直方图,估计出平均数,可判断B项;根据频率分布直方图,估计出中位数,可判断C项;根据频率分布直方图,测试成绩达到85分的频率为0.55,即可估算有资格参加评奖的人数.第5页/共17页【详解】对于A项,由频率分布直方图可得,最高小矩形为[85,90),所以可估计该样本的众数是对于B项,由频率分布直方图,可估计该样本的均值是对于C项,由频率分布直方图可得,成绩在[70,85)之间的频率为0.020x5+0.030x5+0.040x5=0.45,在[70,90)之间的频率为0.020x5+0.030x5+0.040x5+0.050x5=0.7,所以可估计该样本的中位数在[85,90)内.对于D项,由频率分布直方图可得,测试成绩达到85分的频率为0.050x5+0.035x5+0.025x5=0.55,所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为4000x0.55=2200人,故D项正确.故选:ACD.10.已知非零实数a,b满足a>|b|+1,则下列不等关系一定成立的是()+1C.a2【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可.22+1,故A一定成立;ab+1,故B一定成立;222故选:ABC11.下列关于概率统计说法中正确的是()第6页/共17页A.两个变量x,y的相关系数为r,则r越小,x与y之间的相关性越弱B.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)=C.在回归分析中,R2为0.98的模型比R2为0.89的模型拟合的更好1 -p2D.某人在10次答题中,答对题数为X,X~B(10,0.8),则答对8题的概率最大【答案】BCD【解析】【分析】由相关系数,正态分布,二项分布的概念判断.-p,【详解】对于A,两个变量x,y的相关系数为r,r越小,x与y之间的相关性越弱,故A错误,对于B,随机变量ξ服从正态分布N(0,1),由正态分布概念知若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ-p,故B正确,对于C,在回归分析中,R2越接近于1,模型的拟合效果越好,所以R2为0.98的模型比R2为0.89的模型拟合的更好,故C正确,对于D,某人在10次答题中,答对题数为X,X~B(10,0.8),则数学期望E(X)=10x0.8=8,说明答对8题的概率最大,故D正确.故选:BCD12.已知函数f(x)=ex-1+e1-x+x2-2x,若不等式f(2-ax)<f(x2+3)对任意xeR恒成立,则实数a的取值可能是()A.-4B.-C.D.3【答案】BC【解析】【分析】令t=x-1,得到g(t)=et+e-t+t2-1,推f(x)的图象关于x=1对称,再利用导数求得当x>1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,把不等式转化为1-ax<x2+2恒成立,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】由函数f(x)=ex-1+e1-x+x2-2x,第7页/共17页所以g(t)为偶函数,即函数f(x)的图象关于x=1对称,-t+2)单调递增,即x>1时,f(x)单调递增;(t)单调递减,即x<1时,f(x)单调递减,由不等式所以不等式1-ax<x2+2恒成立,即-x2-2<ax-1<0且(-a)2-12<0,解得-2<a<2,结合选项,可得BC故选:BC.【点睛】关键点睛:本题的关键是利用换元法设t=x-1,从而得到g(t)=et+e-t+t2-1,证明其为偶函数,则得到f(x)的图象关于x=1对称,再结合其单调性即可得到不等式组,解出即可.2 3由命题的否定转化为恒成立问题,利用二次函数的性质即可求解.故答案为:-. π 3【分析】根据平面向量数量积的运算性质,结合平面向量夹角公式进行求解即可.第8页/共17页2b.ab.aπ故答案为:315.已知F1,F2为椭圆C的两个焦点,P为C上一点,若PF1+PF2=2F1F2,则C的离心率为.【答案】.【解析】【分析】利用椭圆的定义及PF1+PF2=2F1F2,得到2a=4c,进而得解.【详解】P为椭圆C上一点,由椭圆的定义知,PF1PF2=2a,故答案为:.【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解及椭圆的定义,属于基础题.4______16.某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动,高一100人中女生占,高二60人中女生占3,则从中抽取1人恰好是女生的概率为.4______21【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】用A,A分别表示取的一人是来自高一和高二,B表示抽取一个恰好是女生,则由已知可知:故答案为:17.在ΔABC中,ZA=60°,c=a.第9页/共17页【解析】求‘ABC的面积.【分析】(1)直接利用正弦定理求解即可,(2)求出c,再利用余弦定理求出b,然后利用三角形面积公式可求得答案【小问1详解】所以由正弦定理得sinC==x=.【小问2详解】由余弦定理a2=b2+c22bccosA得72=b2+322bx3x,所以‘ABC的面积S=bcsinA=x8x3x=6.18.设f,(x)为函数f(x)的导函数,已知f(x)=x+f,(0)cos2x+a(aeR),且f(x)的图像经过点(0,2).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调区间.(2)单调递增区间为0,和,π;单调递减区间为,【解析】【分析】(1)求导,计算f,(0)得到切线斜率,点斜式求切线方程.(2)求出函数解析式,求导函数,由导函数的正负解得原函数的单调区间.【小问1详解】f(x)=x+f,(0)cos2x+a(aeR),则f,(x)=1一2f,(0)sin2x,得f,(0)=1.由题意f(0)=2,可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y2=x,即xy+2=0.第10页/共17页【小问2详解】由已知得f故f(x)=x+cos2x+1.f'(x)=12sin2x,xe[0,π],故f(x)在[0,π]上的单调递增区间为0,和,π;单调递减区间为,.19.已知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形,其中菱形边长为4,经A=90。,CLCD;(2)求二面角BA1CD的正弦值.【解析】O,OC,则A1OLBE,再结合已知面面垂直可得A1OL平面BC则A1OLCD,而OCLCD,再由线面垂直的判定可得CDL面A1OC,从而可证得A1CLCD,(2)以OB,OC,OA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.【小问1详解】证明:取BE的中点O,连接A1O,OC.第11页/共17页1212∵A1B=A1E,∴A1OLBE.又∵平面A1BEL平面BCDE,且平面A1BEÇ平面BCDE=BE,A1O仁平面A1BE,∴A1OL平面BCDE.∵CD仁平面BCDE,∴A1OLCD.∵BE的中点为O,∴OCLBE,∵BE∥CD,∴OCLCD∵A1OÇOC=O,A1O,OC仁平面A1OC,∴CDL平面A1OC,∵A1C仁平面A1OC,∴CDLA1C.【小问2详解】L平面BCDE,∵OB,OC仁平面BCDE,∴A1OLOB,A1OLOC,∵OCLBE,∴如图,以OB,OC,OA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则 ∴∴设平面BA1C的法向量为=(x,y,z),则设平面DA1C的法向量为=(a,b,c),则2设二面角BA1CD的大小为θ,由图可知θ为钝角,----n.--nsinθ=.----n.--nsinθ=.∴第12页/共17页(1)求证:数列{bn}为等比数列;【解析】【分析】(1)利用等比数列的定义证明即可;n,然后利用n+1-n的增减性解不【小问1详解】:1nnn-1=,所以数列{bn}为首项为b1=,公比为等比数列.【小问2详解】(1)(1)(1)(1)(a1)(a2)(a3)(an)(a1)(a2)(a3)(an)第13页/共17页1-423n而n+1-n随着n的增大而增大∴n的最小值为140.>140,则n>140,21.已知椭圆E:+=1(a>b>0)与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且△MF1F2是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A,B.(1)直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;(2)求ABM的面积的最大值

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