2022-2023学年湖南省衡阳八年级下期末数学试卷附答案解析

2022-2023学年湖南省衡阳实验中学八年级下期末数学试卷

一、选择题（每题3分，共36分）

x-3

L（3分）若分式”的值为。，则x的值是（)

A.x=3B.x=0C.-3D.x=-4

2.（3分）蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米,将O.OOOO73用科学记

数法表示为（）

A.7.3X10-5B.7.3X104C.7.3X10-6D.73X106

3.(3分)下列等式从左到右的变形一定正确的是()

aa+maacakaaa2

A・—=---B.-=—C.—=-D・—=―

bb+mbbebkbbb2

4.(3分)点A(1,-2)关于x轴对称的点的坐标是()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,2)

5.（3分）若关于'的方程.==有增根’则由的值为（）

A.0B.1C.-1D.2

6.（3分）下列命题中，假命题是（）

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

7.（3分）一次函数），=6x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（3分）关于反比例函数y=：的图象，下列说法不正确的（）

A.经过点（2,1）

B.分布在第二、第四象限

C.图象是中心对称图形

D.当x>0时，y随x的增大而减小

9.（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原

计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面

所列方程正确的是（）

600450600450

A.----=----B.----=----

x-50xx+50x

600450600450

C.---=-----D.---=-----

xx+50xx-50

10.（3分）如图，正方形ABOC的边长为2,反比例函数y=［的图象过点A,则A的值是

11.(3分)如图，矩形4BCC的两条对角线相交于点O,乙40。=60°,AO=2,则AC的

12.(3分)如图，已知正方形ABCO的边长为2cm,动点P从点A出发，在正方形的边上

沿A-B-C的方向运动到点C停止.设点P的运动路程为x(c〃?)，在下列图象中，能

表示△AOP的面积y(0/)与x(an)的函数关系的图象是()

二、填空题（每题3分，共18分）

4ab3

13.（3分）约分：——=______________________.

2a2b--------------------

14.（3分）直线），=2x-1向上平移4个单位得到的直线的解析式为.

15.（3分）已知点A（-1,yi）,B（1,）2），C（2,*）在反比例函数y=［（火<0）的图

象上，则只，.V2,13的大小关系为（用或"V”连接）.

16.（3分）如图：根据图象回答问题：当x时，y<2.

17.（3分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（俄）与其运费y（元）由如图

所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为kg.

18.（3分）正方形481cl42,A282cM3,A383c34,…按如图所示的方式放置，点Ai,A2,

A3,…和点81,82,83,…分别在直线y=Ax+b（A>0）和x轴上.已知点Ai（0,1）,

点Bi（I,0）,则C5的坐标是.

三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）

19.(6分)先化简，再求值：(1一白)十°君；其中。=7.

20.(6分)已知：如图，在QABCD中，点E、F分别是边A。、8c的中点,求证：BE=DF.

21.(8分)为了加强安全教育，八年级二班参加中小学生安全知识网络竞赛.班长将全班

同学的成绩整理后绘制成如下两幅不完整的统计图:

本人数/人

22

208

6

4

2

0

8

6

4

2

请根据图中所给信息解答下列问题：

(1)八年级二班共有人：

(2)请补全条形统计图：扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为；

(3)求全班同学成绩的众数、中位数.

22.(8分)某超市销售A、B两款保温杯，已知8款保温杯的销售单价比A款保温杯多10

元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同.

(1)A、8两款保温杯的销售单价各是多少元？

(2)由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共

120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍.若A款保温杯的销售单价

不变，8款保温杯的销售单价降低10%,两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货

才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

23.(8分)已知：如图，在正方形ABC。中，点E、F在对角线8。上，且8F=£)E,

(1)求证：四边形AEC尸是菱形：

(2)若A8=2,BF=l,求四边形AECF的面积.

D

24.（8分）如图，在线y=-x+b与反比例函数y=（的图象相交于A（1,4）,B（4,〃）

两点，连接OA和OB.

（1）求A和b的值：

k

（2）根据图象直接写出（-（-x+6）＞0的解集；

（3）求△AOB的面积.

25.（10分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称

为菱形或矩形的“接近度”.

（1）如图I，已知菱形48C。的边长为2,设菱形A5CO的对角线AC,B£＞的长分别为

m,n.若我们将菱形的“接近度”定义为|〃L川（即“接近度”=\m-n\）,于是依-〃|

越小，菱形就越接近正方形.

①若菱形的“接近度”=,菱形就是正方形；

②若菱形的一个内角为60°,则“接近度”=.

（2）如图2.已知矩形48co的对角线AC,BO相交于点O,设A8,BC的长分别为〃?，

n我们将矩形的“接近度”定义为一（即“接近度”==）.

nn

①若矩形的“接近度”=,矩形就是正方形：

②若NAOO=45°,求矩形的“接近度”.

图I

26.(12分)如图，已知长方形OA8C的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴

上，顶点8(8,6),直线y=-x+6经过点4交BC于。、交y轴于点点尸是AO的

中点，直线0P交AB于点E

(1)求点。的坐标及直线OP的解析式:

(2)求△ODP的面积，并在直线A。上找一点N,使△AEN的面积等于△ODF的面积,

请求出点N的坐标

(3)在x轴上有一点T(f,0)(5</<8),过点7■作x轴的垂线，分别交直线OE、AD

于点F、G,在线段AE上是否存在一点Q,使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请

求出点。的坐标及相应的，的值；若不存在，请说明理由

四、附加题(10分)

27.(10分)问题情境:

如图1,正方形ABC。与正方形E8E尸共顶点B,点C在EF延长线上，连接AE、DE.

猜想证明:

(1)求证：A、E、尸三点共线.

(2)如图2,若ZM=OE,请猜想线段CF与£T的数量关系并加以证明.

解决问题:

(3)如图1,若AB=10,BE=6,请直接写出OE的长.

图1图2

2022-2023学年湖南省衡阳实验中学八年级下期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共36分）

分）若分式三的值为。，则'的值是（）

A.x=3B.x=0C.x=-3D.x=・4

【解答】解：由题意得：x-3=0,且x+4W0,

解得：x=3,

故选：A.

2.（3分）蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米,将O.OOOO73用科学记

数法表示为（）

A.7.3X105B.7.3X107C.7.3X106D.73X106

【解答】解：0.000073=7.3X10-5

故选：A.

3.（3分）下列等式从左到右的变形一定正确的是（）

aa-¥miaacakaa

A・一=----B.一C.—=一D.

bb+mLbbebkbb~b^

aa+m

【解答】解:A、一工----所以A选项不正确:

bb+m

则蓝丰汽'所以选项不正确:

B、若c=0,8

aka

C、—=一,所以。选项正确;

bkb

所以。选项不正确.

故选：C.

4.（3分）点A（1,-2）关于x轴对称的点的坐标是（）

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,2)

【解答】解：点A（1,-2）关于x轴对称的点的坐标是（1,2）,

故选：D.

5.（3分）若关于'的方程热二三有增根,则由的值为（）

A.0B.1C.-1D.2

【解答】解：方程两边都乘（x-2）,得

m=1-x

,最简公分母（x-2）

，原方程增根为x=2,

...把x=2代入整式方程，得,〃=-1.

故选：C.

6.（3分）下列命题中，假命题是（）

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不合题意；

8、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，不合题意：

C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题，不合题意；

。、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，是假命题，符合题意：

故选：D.

7.（3分）一次函数y=6x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：I•一次函数y=6ir+l中&=6>0,人=1>0,

.••此函数经过一、二、三象限，

故选：D.

8.（3分）关于反比例函数y=］的图象，下列说法不正确的（）

A.经过点（2,1）

B.分布在第二、第四象限

C.图象是中心对称图形

D.当x>0时，y随x的增大而减小

【解答】解：A、把x=2代入y=（得y=l,则反比例函数y=］的图象经过点（2,1）,

所以A选项的说法正确，不合题意：

B.k=2>Q,则反比例函数y=（的图象分别位于第一、第三象限，所以8选项的说法不

正确，符合题意:

C、反比例函数的图象是中心对称图形，所以C选项的说法正确，不合题意:

。、k=2>0,当x>0时，y随x的增大而减小，所以。选项的说法正确，不合题意.

故选：B.

9.（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原

计划生产450台机器所需时间相同.设原“•划平均每天生产X台机器，根据题意，下面

所列方程正确的是（）

600450600450

A.---------，B.------

X-50Xx+50X

600450600450

C.—=D.，—

Xx+50Xx-50

【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器,

600450

由题意得,而=丁

故选:B.

10.（3分）如图，正方形ABOC的边长为2,反比例函数y=1的图象过点A,则k的值是

-2C.4D.-4

【解答】解：因为图象在第二象限,

所以ZV0,

根据反比例函数系数k的几何意义可知因=2X2=4,

所以k=-4.

故选：D.

11.（3分）如图，矩形A8CO的两条对角线相交于点O,ZAOD=60°,AO=2,则4c的

长是（

D

B

A.2B.4C.2y[3D.4V3

【解答】解：在矩形A8CO中，OC=OD,

AZOCD=ZODC,

VZAOD=60°,

11

AZOCD=^ZAOD=2x60°=30°,

又,.,NAOC=90°,

，AC=2AO=2X2=4.

故选：B.

12.（3分）如图，已知正方形A8CO的边长为2cm,动点P从点A出发，在正方形的边上

沿A-B-C的方向运动到点C停止.设点P的运动路程为x（a”），在下列图象中，能

表示△AOP的面积y（cm2）与x（an）的函数关系的图象是（）

当0WxW2时,

y=1x2-x=x

当2WxW4时，

y=2

故选：C.

二、填空题（每题3分，共18分）

4ab32b2

13.（3分）约分:

2a2ba

22

【解答】解：原式=丝翳=冬.

Zab-aa

2b2

故答案为：---.

a

14.（3分）直线y=2x-1向上平移4个单位得到的直线的解析式为v=2计3.

【解答】解：平移后解析式为：y=2"1+4=2计3,

故答案为：y=2<+3.

15.（3分）已知点A（-1,yi）,B（1,”），C（2,*）在反比例函数y=[（*<0）的图

象上，则yi,”，.V3的大小关系为也<¥3<豆或yi>y3>y2（用“>”或"v”连接）.

【解答】解：•••反比例函数y=[（k<0）中，JlVO,...此函数图象在二、四象限，

V-1<0,...点A（-1,yi）在第二象限，.-.yi>0,

V2>l>0,：.B（I.）2）,C（2,*）两点在第四象限，.,.*<0,>3<0,

•.•函数图象在第四象限内为增函数，2>1,

y2,>3的大小关系为J2<y3<}"或,>,1>.¥3>,¥2.

16.（3分）如图：根据图象回答问题：当x>0时,y<2.

【解答】解：由图可知，该函数经过（0,2）,y随x的增大而减小，

...当x>0时，y<2,

故答案为：>0.

17.（3分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（场）与其运费y（元）由如图

所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为20kg.

y（元）

3050x(kg)

【解答】解：设y与x的函数关系式为丫=匕+爪

由题意可知:

300=30A+b

900=50k+力’

解得：｛£=%

3=-600

所以函数关系式为y=30x-600,

当y=0时，即30A-600=0,所以x=20.

故答案为：20.

18.(3分)正方形分BICIA2,A282cM3,A383c3A4,…按如图所示的方式放置，点Ai,hi,

加，…和点8i,82,83,…分别在直线y=H+b(k>0)和x轴上.已知点4(0,1),

点Bi(1.0),则C5的坐标是(47,16).

【解答】解：由题意可知4纵坐标为1,A2的纵坐标为2,M的纵坐标为4,4的纵坐

标为8,…，

•.•A1和Cl,A2和C2,A3和C3,4和C4的纵坐标相同，

：.C\,C2,C3,C4,C5的纵坐标分别为1,2,4,8,16

根据图象得出C1(2,1),C2(5.2),C3(II,4),

直线CiC2的解析式为产1.r+

：A5的纵坐标为16,

；.C5的纵坐标为16,

把y=16代入产gx+g,解得x=47,

；.C5的坐标是(47,16),

故答案为(47,16).

三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）

19.（6分）先化简，再求值：（1一占）+"■君：其中"=-1.

a-1

【解答】解:原式=

a-1a-1

a-2a(a-l)

*T，(a-2)2

a

=0=2*

当a=-1时，原式=v15=I-

—1—z□

【解答】证明：•.•四边形ABC。是平行四边形,

：.AD//BC,AD=BC,

;点E、尸分别是口48c。边40、8c的中点,

：.DE=^AD,BF=^BC,

：.DE=BF,

四边形BFDE是平行四边形,

：.BE=DF.

21.（8分）为了加强安全教育，八年级二班参加中小学生安全知识网络竞赛.班长将全班

同学的成绩整理后绘制成如下两幅不完整的统计图:

22

20

18

16

124

0

8

6

4

2

O

请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）八年级二班共有5。人:

（2）请补全条形统计图；扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为57.6°

（3）求全班同学成绩的众数、中位数.

【解答】解：（1）由统计图可知，

八年级二班共有人数：204-40%=50（人）.

故答案为：50；

（2）90分的人数为50-1-4-20-15-2=8（人），

补全的条形统订图如下图所示，

22

280

16

124

0

8

6

4

2

O

由扇形统计图可知，

90分的人数所占的比例是1-30%-40%-8%-2%-4%=16%,

则扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为360°X16%=57.6°.

故答案为：57.6°：

（3）由条形统计图可知，

全班同学成绩的众数为70分，

中位数为：|X（70+80）=75（分）.

22.(8分)某超市销售A、8两款保温杯，已知8款保温杯的销售单价比A款保温杯多10

元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同.

(1)A,B两款保温杯的销售单价各是多少元？

(2)由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共

120个，且A款保温杯的数量不少于8款保温杯数量的两倍.若A款保温杯的销售单价

不变，B款保温杯的销售单价降低10%,两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货

才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

【解答】解：(1)设A款保温杯的单价是。元，则B款保温杯的单价是(a+10)元，

480360

a+10a'

解得，a=30,

经检验，。=30是原分式方程的解，

则a+10=40,

答：A、8两款保温杯的销售单价分别是30元、40元：

(2)设购买A款保温杯x个，则购买8款保温杯(120-x)个，利润为w元，

w=(30-20)x+[40X(1-10%)-20](120-x)=-6x+1920,

•••4款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，

...x22(120-x).

解得，x280,

.•.当x=80时，w取得最大值，此时卬=1440,120-x=40,

答：当购买A款保温杯80个，B款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，

最大利润是1440元.

23.(8分)已知：如图，在正方形A8CD中，点E、F在对角线8。上，且BF=DE,

(1)求证：四边形AEb是菱形：

(2)若A8=2,BF=\,求四边形AECF的面积.

【解答】(1)证明：正方形A8CO中，对角线80,

：.AB=BC^CD=DA,

NABF=NCBF=NCDE=NADE=45".

•；BF=DE,

:.△ABF/4CBF/dDCE6DAE(SAS).

AF=CF=CE=AE

四边形AECF是菱形：

(2)解：在RtaABO中，由勾股定理，得

BD=>JAB2+AD2,

AC=BD=2^2,

EF=BD-BF-DE=2>[2-1-1,

四边形AECF的面积=AC・EF+2

=2V2x(2V2-2)+2

=4-2V2.

分)如图，直线与反比例函数的图象相交于

24.(8y=-x+%y=(A(1,4),B(4,n)

两点，连接0A和08.

(1)求k和h的值；

(2)根据图象直接写出£-(-x+b)>0的解集；

(3)求△AOB的面积.

【解答】解：（D把4（1.4）代入y=§得：代入k=1X4=4,

二反比例函数表达式为代入y=p

将A(1,4)代入y=-x+匕得：4=-1+6,

解得：6=5,

，一次函数表达式为y=-x+5,

综上：k=4,6=5：

kk

(2)由--(-X+b)>0得一>-%+b,

xX

9：A(1,4),B(4,〃)，

k

・•・由图可知，当0<x<l或工>4时，反比例函数图象高于一次函数图象，即一>-x+b,

x

k

:.当OVxV1或x>4时，——(―工+b)>0；

4

把〃)代入得：-

(3)8(4,y=9y4

：.B(4,1),

把y=0代入y=-x+5得：0=-x+5,

解得：x=5,

：.C(5,0),

OC=5,

25.(10分)菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称

为菱形或矩形的“接近度”.

(1)如图I,已知菱形ABC。的边长为2,设菱形A8C。的对角线AC,BC的长分别为

m.n.若我们将菱形的“接近度”定义为|，〃-川(即“接近度”=|〃?-川)，于是|〃L川

越小，菱形就越接近正方形.

①若菱形的“接近度”=0,菱形就是正方形；

②若菱形的一个内角为60°,则“接近度”=^V3-2_.

(2)如图2.已知矩形45co的对角线AC,8。相交于点O,设AB,BC的长分别为〃?,

THm

n(w>n),我们将矩形的“接近度”定义为一(即“接近度”=?).

n九

①若矩形的“接近度”=1,矩形就是正方形；

②若NAOD=45°,求矩形的“接近度”.

图I图2

【解答】解：(1)①•••对角线相等的菱形是正方形,

二当，”="时，菱形就是正方形,

\m~川=0,

即菱形的“接近度”=0时，菱形就是正方形，

故答案为：0；

②菱形A8CO中，A8=BC=CZ)=AZ)=2,ZAfiC=60",ACVBD,BD=2OB=n,AC

=2OA=m,

.二△ABC是等边三角形，NAO8=90°,

••in—AC—AB—2r

：.OA=1,

在RtAAOB中，

OB=>/AB2-OA2=V22-I2=V3.

.,.“=208=2百，

：.\m-n\=\2-2V3|=25/3-2,

即菱形的一个内角为60°,则“接近度”=2百一2,

故答案为：2A/5—2；

(2)①•••邻边相等的矩形是正方形，

，当"?=〃时，矩形就是正方形，

此时，一=1.

71

即矩形的“接近度”=1时，矩形就是正方形,

故答案为：1；

②；N8OC=NAO£)=45°,OA=OB=OC,

11

/.ZOAB=ZOBA=^AOD=22.5°,ZOCB=ZOBC=(180°-ZBOC)=67.5°,

在48上取一点E,使3E=BC=〃，连接CE,如图：

则NEC6=NCEB=45°,

：.ZACE=ZOCB-NEC8=22.5°,

：.ZOAB=ZACE,

：.AE=CE,

在RSCE中，cosNECB="=号,BC=n,

:.CE=\[2n,

.,.AE=VZn.

".m—AB—AE+BE=V2n+n=(V2+1)n,

26.(12分)如图，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴

上，顶点8(8,6),直线了=-x+6经过点A交BC于。、交y轴于点M,点P是AO的

中点，直线OP交AB于点E

(1)求点。的坐标及直线OP的解析式：

(2)求△OOP的面积，并在直线AO上找一点M使硒的面积等于△OCF的面积，

请求出点N的坐标

(3)在x轴上有一点T(f,0)(5<7<8),过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD

于点F、G,在线段AE上是否存在一点Q,使得△FGQ为等腰百角三角形，若存在，请

求出点。的坐标及相应的/的值；若不存在，请说明理由

（3）•.•点T的坐标为（t,0）（5<r<8）,

3

二点F的坐标为（f,-/）.点G的坐标为57+8）.

分三种情况考虑：

①当NFG