人教版八年级下册数学教案第十七章 勾股定理

17.1勾股定理

第1课时勾股定理

教材分析

本节课是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性

质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础,

在实际生活中用途很大.

备课素材

新课导人设讦:

【情景导入】

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第

24届国际数学家大会，如图所示就是大会会徽的图案.你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这

个图案有什么特别的意义？

这个图案是我国汉代数学家赵爽创造的，被称为“赵爽弦图”.今天我们就用这个图形来验证几何学上的瑰宝

——勾股定理.

KH八（/

Huj.IUI

【说明与建议】说明：以赵爽弦图为背景，展现民族历史上的辉煌成就，激起学生对勾股定理的探索兴趣，

点燃学生的求知欲，引领学生进入情境（集中注意力）.建议：在教学中要通过拼图活动剪拼赵爽弦图证明勾股定理,

使学生体会数形结合思想，激发探索精神.

【置疑导入】

相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上，其他宾客都在尽情欢乐,

只有毕达哥拉斯却看着朋友家的地砖发呆.原来，朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的地砖铺成的，黑白相

间，非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子,

站起来，大笑着跑回家去了.原来，他发现了地砖上的直角三角形三边的某种数学关系.那么他发现了什么？今天

我们就来研究这个问题.

（黑白相间的地砖）

【说明与建议】说明：从毕达哥拉斯在朋友家做客的偶然发现这一故事入手，引入本节课的课题一一勾股定

理，使学生接受起来更自然、贴切，并且激发了学生的学习兴趣.建议：教师给出历史小故事，设置悬念，引发学

生思考.学生对故事中的问题会很感兴趣，教学中要充分利用此例激发学生探究问题的欲望.

命题角度1勾股定理的认识

1.如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为名.

2.将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放，使点A,E,D在同一条直线上.利用用字母表示此图的

面积证明勾股定理.

证明：由题意，得Rtz\BAE0RtAZABE=ZDEC.

,/ZABE+ZAEB=90°,ZDEC+ZAEB=90°.

...NBEC=90°....△BEC是直角三角形.

,**S梯形ABCD=SAABE+SABECH-SADEC?

.(a+b)(a+b)abc,cab

2二万2十万♦

a2+2ab+b2c2+2ab

2=-2-

/.a2+b2=c2.

命题角度2利用勾股定理进行计算

3.在△ABC中，ZB=90°.

(1)若AB=3,BC=4,则AC=5；

(2)若AC=13,AB=5,则BC=丝.

4.如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB=2,则AF的长为BC的长为嫄_.

5.如图，四边形ABCD,连接BD,AB±AD,CE±BD,AB=CE,BD=CD.若AD=5,CD=7,则BC=2\/L.

教学设计

课题17.1第1课时勾股定理授课人

1.会用拼图的方法验证勾股定理，并会用这个定理进行简单的计算.

素养目标

2.会用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.

教学重点探索和验证勾股定理.

教学难点用拼图的方法验证勾股定理.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个

角和三条边.

问题：三个角的数量关系明确吗？三条边的数量关系明确吗？

i.学生回忆并回

师生活动：教师引导，学生回答.

答，为突破本节难

我们学习过等腰三角形，知道等腰三角形是两边相等的特殊三角

点做准备.

形，它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方向，直角

2.回顾三角形的内

三角形是有一个角为直角的特殊三角形，我国古代人把直角三角形

角和是180°以及

中较短的直角边叫作“勾”，较长的直角边叫作“股”，斜边叫做“弦”

回顾三角形任意两边的

（在我国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下

和大于第三边，由

半部分称为“股”）.直角三角形中最长的边是哪条边？为什么？它

三角形三边的不等

们除了大小关系，有没有更具体的数量关系呢？这就是我们要研究

关系引导学生思考

的问题.

三角形三边之间是

L否存在等量关系.

活动一：创设【课堂引入】问题是思维的起

情境、导入新1.请你算出下面各图中三个正方形的面积.你有什么发现？点，通过问题激发

课学生好奇、探究和

XXXXXf田澎:二

1jl1庭J--i-i--卜-

C-：4-

2主动学习的欲望.

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2.你得到E手想是两个小正方开2的面积之和今打:方形的面积.

师生活动：在学生计算面积时可以引导学生利用正方形的面积等于

边长的平方来计算，也可以利用“割补法”进行计算.

【探究新知】

观察特例一发现新知

(1)你能找出图中正方形A,B,C的面积之I'可的关系吗？

等腰直角三角形的二三边之间有什么特殊关

(2)正方形A,B,C所围1.渗透从特殊到一

系？般的数学思想.为

XX学生提供参与数学

X

*X活动的时间和空

c

XX间，发挥学生的主

活动二：实践><X

师生活动：教师展示图片并提出问题.学生观察图片，分组交流讨体作用；培养学生

探究、交流新

论.的类比迁移能力及

知

学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方探索问题的能力，

使学生在相互欣

形A,B中的小等腰直角三角形补成一个大正方形得到正方形A,B

赏、争辩、互助中

的面积之和等于大正方形C的面积.

教师引导学生由正方形的面积等于边长的平方归纳出：等腰直角三得到提高.

角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

深入探究一交流归纳

等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具

有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？

观察下图:

思考：

2.鼓励学生勇于面

上图中，每个小方格的面积均为1,请你分别计算出图中正方形A,

对数学活动中的困

B,C,A，,B，,「的面积，看看能得出什么结论.

难，尝试从不同角

A的面积B的面积C的面积

度寻求解决问题的

4913

有效方法，并通过

A'的面积B'的面积C的面积对方法的反思，获

92534得解决问题的经

正方形A,B,C的面积之间有什么关系？正方形A，,B，,C，验.

活动二：实践

的面积之间有什么关系？3.通过探究活动，

探究、交流新

A的面积+B的面积=C的面积，A，的面积+B，的面积=L的面调动学生的积极

知

积.性，激发学生探求

师生活动：学生独立观察并计算各图中正方形A,B,C的面积并完新知的欲望.给学

成填表.教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识生充分的时间与空

水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.学生分组间讨论、交流，鼓

交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等励学生敢于发表自

的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正己的见解，感受合

方形C的面积.或者将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一作的重要性.

个小正方形，求得正方形C的面积.学生利用表格有条理地呈现数

据，归纳得到：正方形A,B的面积之和等于正方形C的面积.

在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生

类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方.

师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1：

如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a?+

1b2=c2.

拼图验证一加深理解

利用拼图游戏验证勾股定理，并思考：能用下图证明这个结论吗?

3

已知,在△ABC中，ZACB=90°，NJBAC,ZABC,ZACB的对边分

别为a,b,c.求证：a2+b2=c2.

解：整个图形可以看作是边长为融J正方形，它的面积为2t也可

以看作由四个全等的直角三角形和一一个边长为b—a的正方形组成,

其面积为"拉士Q二支.

所以可以得到等式：4x|^b±(\22

3-<3)=C.

化简，得=

师生活动：教师指导学生阅读教材第23〜24页，了解赵爽是如何

利用拼图的方法来证明命题1的.学二生在弦图验证的基础上，参照

教材开展拼图活动，以小组为单位,合作探究.

总结定理内容：如果直角三角形的被.直角边长分别为a,b,斜边长

为c,那么a2+b2=c2.

【典型例题】

1.让学生对本节课

例1在RtaABC中，ZA,ZB,NC的对边长分别为a,b,c,Z

的知识进行最基本

C=90°.

的运用，为下节课

(1)已知a=3,b=4,则c=5；

勾股定理的应用做

(2)已知c=25,b=15,则a=20；

好铺垫.

活动三：开放(3)已知c=19,a=13,则b=&\但」(结果保留根号)

2.培养学生规范解

训练、体现应(4)已知a:b=3:4,c=15,贝|b=12.

题的能力.

用例24个全等的直角三角形的直角边分别为a,b,斜边为c.现把

3.与前面的弦图验

它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证

证相呼应，让学生

勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试.

体会数形结合的思

想，了解勾股定理

证法的多样性.

(1

【课号继测】

1.如图，字母B所代表的正方形的面积是((二）

A.12B.13C.144D.194

254

\

/BDC.

第1是正图第2题图

2.如图，在AABC中，AB=AC=15,BC=18,AD为BC边上的中线，针对本课时的主要

贝1]AD：=12.问题，分层次进行

活动四：课堂

3.如图，在四边形ABCD中，NBAD=90°,NDBC=90°,AD=3,检测，达到了解课

检测

AB=4,BC=12,求CD的长.堂学习效果的目

L

q的.

BC

解：：NBAD=90°,AD=3,AB=4,ABD=5.

VZDBC=90°,BC=12,.•.根据勾股定理,得CD=13.

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲

解.

1.课堂小结：注重课堂小结，激

(1)什么是勾股定理？如何表示？发学生参与课堂总

课堂小结(2)勾股定理只适用于什么三角形？结的主动性，为每

2.布置作业：一个学生的发展与

教材第24页练习第1,2题，教材第28页习题17.1第1,2,7题.表现创造机会.

反思，更进一步提

教学反思

升.

经典导学设计

详见电子资源

第2课时勾股定理的应用

教材分析

在第1课时中，学生已经了解了勾股定理的历史和证明，并能熟练掌握勾股定理解决直角三角形已知两边求第

三边的内容，本节课在此基础上学习运用勾股定理解决实际问题，将实际问题抽象成直角三角形这一模型，培养学

生的转化思想和空间想象能力.

备课素材

新课导入设正

【情景导入】

伦敦克里斯蒂拍卖行曾贴出过如下的一个土地拍卖广告:

如上图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分为三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩.三

个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的准确面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送.英国数学家巴

尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？

【说明与建议】说明：利用有趣的情景导入新课，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激

发学生强烈的好奇心和求知欲.建议：提前布置任务，给学生实践的机会，从而引发学生思考解决设疑的方法，为

新课的讲解做好铺垫.

【置疑导入】

如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B,而是沿岸边自A

处跑到离B最近的点C,然后从点C游向B.若救生员在岸边行进的速度是5m/s,在海中行进的速度是2m/s,请

分析救生员的选择是否合理.

【说明与建议】说明：设计实际问题情境，激发学生的学习兴趣，提高学生运用数学知识分析问题、解决问

题的能力，培养学生“用数据说话”的科学态度.建议：引导学生将题目中的实际问题转化到几何图形中，找出要

求什么才能说明道理，然后分别求得两种不同情况下的数据，进行比较.允许学生通过小组合作的方式进行互助交

流，教师及时进行鼓励，并择优展示.

◎命题热点〕

命题角度勾股定理的应用

1.如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒注意.如图是某公

园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角/ABC（NABC=90°）,于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路

AC”.已知AB=30米，BC=40米，他们踩坏了亚米的草坪，只为少走戮米的路.

发现此时绳子末端距离地面1m,则旗杆的高度为超m.（滑轮上方的部分忽略不计）

3.如图，一只小鸟旋停在空中的点A处，点A到地面的高度AB=20米，点A到地面点C（B,C两点处于同一

水平面）的距离AC=25米.若小鸟竖直下降12米到达点D（点D在线段AB上），求此时小鸟到地面点C的距离.

解：由题意，得/B=90°,

：AB=20米,AC=25米，

/.BC=7AC2—府=^/252-202=15（米）.

VAD=12米，

；.DB=AB—AD=20—12=8（米）.

DC=^/DB2+BC2=^/82+152=17（米）.

答：小鸟到地面点C的距离为17米.

教学设计

课题17.1第2课时勾股定理的应用授课人

1.会用勾股定理解决简单的实际问题，体会数形结合的思想.

素养目标2.会从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会数学来源于生活，又

应用到生活中去.

教学重点运用勾股定理解决实际问题.

教学难点勾股定理的灵活运用.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边

长为c,那么a2+b?=c2.

通过简单的提问，

2.在RtZ^ABC中，NC=90°,a,b,c分别是NA,ZB,NC的对边，则

帮助学生回顾勾

回顾(l)c=\/?+b2；

股定理，为学习新

(2)a=^/c^P；

课做好准备.

(3)b=^2—a2.

师生活动：教师提出问题，学生抢答.

【课堂引入】

《九章算术》是我国古代的一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一

种，它收录了246个与生产、生活实践有关的实际问题，是我国古代劳动

人民智慧的结晶.在此书第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一

丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何(葭

即芦苇，一丈等于十尺).这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边

长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把利用古代数学问题

这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦引出本节课要研究

活动一：苇的长度分别是多少尺？的内容，使学生经

创设情历从现实生活中抽

境、导入象出数学问题的过

新课程，从而激发学生

由C的强烈的好奇心和

解：设芦苇的长度为X尺，则水深为(X—1)尺，求知欲.

由勾股定理，得5，+(x—l)2=x?,

解得x=13.

；.x—1=13-1=12.

答：水深是12尺，芦苇的长度是13尺.

这个问题是勾股定理的一个简单应用，那么它还有哪些应用呢？今天我们

就来探索一下吧！

【探究新知】

(教材第25页例1)一个门框的「N寸如图听示，一块长3m,宽2.2m的长

方形薄木板能否从门框内通过？为什么'让学生能从实际生

活的角度大胆去考

活动二：2m虑，用生活经验和

实践探学过的知识去解

*1m-*H

究、交流答，从而想到斜着

思考：(1)木板横着能否通过？u

新知通过门框，也就是

(2)木板竖着能否通过？

把实际问题转化为

(3)在长方形ABCD中,AB,AC,BC,哪一一条线段最长？

数学问题.

师生活动：教师就此问题可引导学生从3荚际的角度去考虑，引导学生试试

斜着通过门框.学习小组互相讨论、交》祇补充、展示，注意过程要书写

规范.

(1)木板的宽是2.2m,大于1ni，所以1黄着不能通过；

(2)木板的宽是2.2m,大于2n1，所以!绘着不能通过；

(3)AC>BC>AB.

解：连接AC,

在Rt^ABC中，根据勾股定理，得

AC2=AB2+BC2=1Z+22=5.

AC=/^2.24.

因为AC大于木板的宽2.2m,月f以木板能从门框内通过.

【典型例题】

1.应用迁移、巩固

例(教材第25页例2)如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙提高，培养学生解

A0上，这时A0为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底决问题的能力.

端B也外移0.5m吗？2.通过运用勾股定

活动三：L

理对实际问题进行

开放训

解释，培养学生从

练、体现

身边的事物中抽象

应用ORD

出几何模型的能

解：可以看出，BD=OD—OB,

在RtZ\A0B中，根据勾股定理，得力，使学生更加深

OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.刻地认识数学的本

0B=lm.质：数学来源于生

在RtZ\COD中，根据勾股定理，得活，并服务于生活.

0D2=CD2-0C2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.

OD==3.1577(m).

BD=0D—OB«l.77-1=0.77(m).

所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m,而是

外移约0.77m.

【变式训练】

如图，一架梯子AB斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在

水平地面的点B处.保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右

墙上，此时梯子的顶端在点C处.测得顶端A距离地面的高度A0为2米，

0B为1.5米.

(1)求梯子的长；

(2)若顶端C距离地面的高度CD比A0多0.4米，求0D的长.

ORI)

解：(1)在RtZkAOB中，AB2=A02+0B2,

.1.AB2=22+1.52=6.25.

；.AB=2.5米.

答：梯子的长为2.5米.

(2)由题意，得CD=AO+O.4=2.4米，BC=AB=2.5米，

/.BD2=2.52—2.42=0.49.

；.BD=O.7米.

.•.OD=OB+BD=L5+0.7=2.2(米).

师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.

【课堂检测】通过设置当堂检

1.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的距离AB测，进一步巩固新

活动四：

=2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一知，及时检测学习

课堂检测

个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=L2效果，做到“堂堂

米)，感应门自动打开，则AD=1.5米.清”.

感应器

1D'

8

C

17

1CBC

第1题图第2题图

2一个有盖的盒子，长、：宽、高如图中标注.若在盒中放一根细棒，则细

林3的最大长度是1L

3如图是某设计师打造的一款项目的示意图，其BC段和垂直于地面的AB

g:均由不锈钢管材打造，破§段总长度为26m,长方形CDEF是一木质平台

J侧面示意图，测得CD=1m,AD=15m,求出AB段的长度.

」3

GF

ADE

解：延长FC交AB于点G,

则CG_LAB,AG=CD=1米，GC=AD=15米.

设BG=x米，贝1|BC=(26-l—x)米.

在RtABGC中,BG2+CG2=CB2,

.".X2+152=(26—1—x)2,解得x=8.

；.BA=BG+GA=8+1=9(米).

答：AB的长度为9米.

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

通过课堂小结，调

1.课堂小结：动学生的学习积极

(1)本节课学到了什么知识？性，使学生概括问

课堂小结(2)还存在什么困惑？题的能力、语言表

2.布置作业：达的能力进一步得

教材第26页练习第1,2题，教材第28〜29页习题17.1第4,5,10题.到提高，完善学生

对知识的梳理.

反思，更进一步提

教学反思

升.

经典导学设计

详见电子资源

第3课时利用勾股定理作图

教材分析

本节课是在学生体验了勾股定理的探索过程，从中发现在直角三角形中，已知两边的长，就可以求出第三边的

长后，相应安排探究3”在数轴上画出表示仃的点”，目的是让学生掌握并熟练运用勾股定理解决简单的问题.

备课素材

㊀新课导入设正

【置疑导入】

操作与探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示机的点吗？为

了研究这个问题，请完成如下探究：

1.根据下图填空：

X=A/2_,y=Vl_,z=2，w=^/5_.

2.按照图中的规律一直作下去，你能说出第n个小直角三角形的各边长吗？

3.利用勾股定理，是否可以在数轴上画出表示出，小，小，乖，…的点?试一试.

4.13可以写成哪两个整数平方和的形式？现在你能在数轴上画出表示仃的点吗？动手画一画吧！

【说明与建议】说明：利用一个目的明确的操作探究问题引入新课，培养学生的动手操作能力和抽象概括能

力，激发学生的学习兴趣.建议：教师设计的问题串能很好地帮助学生突破难点，所以教学中要充分调动学生的学

习主动性，要让学生自己动手去画图操作.

【情景导入】

如图，有一个圆柱，它的高等于12cm,底面圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃

到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

(1)尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢?

(2)将圆柱侧面剪开并展开成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？

⑶蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

【说明与建议】说明：将曲面最短路程问题转化为平面最短距离问题，并利用勾股定理求解实际问题引入新

课.使学生在活动中体验数学建模思想，增强学生的探究能力、操作能力、分析能力，发展空间观念.建议：学生

分小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案路线长度的计算

方法，通过具体计算，总结出最短路线.要让学生通过探究发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到长方形，研究“蚂

蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学知识解决实际问题的方法.

◎命题热点〕

命题角度1利用勾