江苏省徐州市铜山区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案解析）

江苏省徐州市铜山区2023-2024学年九年级上学期12月月考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若4机=5〃（〃-0）,则下列等式成立的是（）

mnm5_m4m5

A.—=-B.—=-C.—=-D.—=一

454nn5n4

【答案】D

【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断即可.

【详解】解：A.由（=2,可得茄=4-不符合题意；

45

B.由（=2,可得〃加=4x5,不符合题意；

4n

〃？4

C.由竺=匚，可得5冽=4〃，不符合题意；

n5

ryiS

D.由'=可得4加=5〃，符合题意；

n4

故选：D.

【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例式与乘积式的互相转化.

2.已知线段AB=2,P是线段AB的黄金分割点，AP>PB,那么线段AP的长度等于（）

A.B.75-1C.75+1D.3-V5

2

【答案】B

【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=9AB,代入数据即可

2

得出AP的长.

【详解】解：•••线段AB的长为2,点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB；

；.AP=2x亚1=国.

2

故选：B.

【点睛】本题考查了黄金分割点的概念.解题的关键是掌握黄金分割的公式：较短的线

段=原线段的歧，较长的线段=原线段的总.

22

3.如图，D,£是“3C边上的两个点，请你再添加一个条件，使得△4BCS^/ED,

则下列选项不成立的是（）

试卷第1页，共21页

D

ABACABBC

A.----------C./C=/ADED.ZB=ZAED

AEADAE~DE

【答案】B

【分析】

根据题意，已知一个公共角相等，所以再添加一组角相等，或者夹这个角的两边对应成

比例即可判断两三角形相似，据此即可求解.

【详解】解：已知=

ARAT

A.—=——，两边成比例，夹角相等，可证明不符合题意，

AEAD

B.—,不能证明△4BCS^/ED,符合题意，

AEDE

C.NC=N4DE加上条件,可证明△NBC/△/££),不符合题意，

D.N8=N/£。加上条件/A4C=/反4。，可证明△NBCs^/EZ),不符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

4.如图，11//12,直线。,6相交于点A且分别与4,4相交于点8>C，D,£.若/3=3,

BC=5,AD=4,则的长为()

Z1

h

-2012

C.—D.—

35

【答案】C

【分析】

根据平行线分线段成比例定理即可解答.

【详解】-：lt//l2,直线。，6相交于点A且分别与4，4相交于点B,C,D,E,

试卷第2页，共21页

"BCDE'B5DE'

DE=—.

3

故选C.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例.掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所

截，截得的对应线段的长度成比例是解题关键.

5.在“BC中，（2sinA-1）2+^cosS-1=0,则“BC是（）

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.无法确定

【答案】C

【分析】根据非负数的性质可得sinA和cosB的值，进而可得/A和/B的度数，即可

知4ABC的形状.

【详解】解：（2sinA-1>+jcos8=0,

.,.2sinA-l=0,cosB-y=0.

.,.sinA=1,cosB=1,

.•.ZA=30°,ZB=60°,

，ZC=180°-ZA-ZB=90°,

故AABC为直角三角形.

故选C.

【点睛】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为

零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系中，已知点/（2,4）,B（4,1）,以原点。为位似中心

画△0©9，使它与△048的相似比为1：4,则点/的对应点的坐标是（）

B.-1）

2

C.（一，1）或（—，-1）D.（8,16）或（-8,-16）

22

【答案】C

试卷第3页，共21页

【分析】根据位似变换的性质解答即可得.

【详解】解：：以原点。为位似中心画△。©夕，使它与△。48的相似比为1：4,点/

(2,4),

••.点/的对应点的坐标为(2x—,4x—)或(2x(—J),4x(—1)),即(y,1)或

44442

-1),

2

故选：C.

【点睛】本题考查了位似图形的概念和性质，解题的关键是掌握这些知识点.

7.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线交点，NC与相交于点。,

则的面积与AC。。的面积的比为()

A.1：2B.72:2C.1：4D.72:4

【答案】C

【分析】设小方格的边长为1,根据等腰直角三角形和勾股定理求出AB和CD的长,

再根据BE尸

得到“OBSACOD,然后利用相似三角形的性质来求解.

【详解】解：如下图,

设小方格的边长为I,

•:“BE、ADCF分别是边长为1和2的等腰直角三角形,

NABE—NCDF=45°,AB=V2，CD=2V2.

试卷第4页，共21页

•/BE〃DF,

：.NEBO=NFDO,

：.ZABO=ZCDO.

又,：AAOB=NCOD,

：.AABOSACDO,

.SAAB0V2」

,•S.CD。I2V2J4-

故选：C.

【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定

其相似比.

8.如图，矩形/BCD中，=8cm,4D=6cm,即是对角线AD的垂直平分线，贝U

斯的长为()

15

A.——cmB.——cmC.——cmD.8cm

432

【答案】C

【分析】首先证明△80尸之△。。£,得出O£=OR再证明△B。b得出

2="，然后再根据勾股定理，得出2。的长，进而得出3。的长，再结合相似比,

BOAB

算出尸。的长，即可得出跖的长，从而得出选项.

【详解】解：・・・.是的垂直平分线，

：.OB=OD,

•：/OBF=NODE,ZBOF=ZDOE,

:.△BOFQ4DOE(4SL4),

：.OE=OF,

VZOBF=/ABD,

：.ABOFs^BAD,

,FOAD

BOAB

试卷第5页，共21页

•：BD=YIAD2+AB2=10cm,

.\BO=5cmf

615

,・FO=5x—=——cm,

84

15

..EF=2FO=—cm.

2

故选：c

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等

三角形的性质与判定，勾股定理，根据勾股定理求3。的长是解本题的关键.

二、填空题

9.已知：=则伫当的值是

b3a+2b

【答案】

【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.

【详解】解：由：=可设a=2k,b=3k,(k^O),

b3

,,a-2b2k-2x3k-4k1

故：-----=---------=——=——，

b+2b2左+2x3左8k2

故答案：一；.

【点睛】此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.

10.计算：V8-2cos45°=.

【答案】V2

【分析】先化简近=2后，再结合45。角的余弦值cos45o=包，最后再计算解题.

2

【详解】解：次-2cos45。

=272-2x—

2

=2A/2-V2

=V2

故答案为：V2.

【点睛】本题考查实数的运算，涉及二次根式的化简、余弦等知识，是基础考点，难度

较易，掌握相关知识是解题关键.

11.在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m,同时测得一栋建筑物的影长

为12m,那么这栋建筑物的高度为m.

试卷第6页，共21页

【答案】24.

【详解】试题解析：

设这栋建筑物的高度为由，

由题意得：2==x

112

解得：x=24,

即这栋建筑物的高度为24m.

故答案为24.

12.如图，沿NC方向开山修路，为了预算的需要，设计人员打算测量CE之间的距离,

设计图如图所示，AABFsWBD,量得BD=500m,FB=100m,AB=80m,BC=80m,

则CE的长为.

【答案】320m

【分析】

已知AABFS^EBD,可得理=/竺，可求得5E的长度，即可得CE的长度.

EBDB

【详解】解：已知AABFS@BD,

,AB_FB

••~EB~~DB'

BD=500m,FB=100m,AB=80m,BC=80m,

ABDB

,\EB==400mf

FB

CE=BE-BC=320m,

故答案为：320m.

【点睛】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，熟练掌握相似三角形的性质是解

题的关键.

13.如图，在“3C中，。是8C的中点，点G是“BC的重心.40=6,则/G=.

BDC

试卷第7页，共21页

【答案】4

【分析】

根据重心的性质，进行求解即可.

【详解】解：是BC的中点，点G是“3C的重心，

.•・金2,

GD

：.AG=-AD=4；

3

故答案为：4.

【点睛】本题考查重心的性质，熟练掌握重心到顶点的距离是中心到对边中点距离的2

倍，是解题的关键.

14.三角形在方格纸中的位置如图所示，贝1Jtana的值是.

3

【答案】-/0.75

4

【分析】此题主要考查锐角的三角函数值.根据锐角的三角函数意义即可解答.

3

故答案为：--

15.若AB=5,BC=3,则=

试卷第8页，共21页

【答案】j4/l11

【分析】

本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先利用勾股定理求出=_

Ar4

则由正切的定义可得tanZJB=-^=-,再证明ZADE=NB,即可得到

BC3

4

tanXADE=tan/5=—.

3

【详解】解：・・・48=5,BC=3,ZC=90°,

AC=^AB1-BC2=4，

Ar4

・・・tan/8二一二一，

BC3

ZADE=ZC=90°,

：.ZA+ZB=90°=ZA+ZADE,

・•・ZADE=ZB,

4

tanXADE=tanZS=—,

3

4

故答案为：j.

16.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,和△。环的顶点都在

网格线的交点上.设△/3C的周长为G,△。所的周长为C2,则今的值等于.

【答案】"

2

【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比

的值便可.

【详解】解「.D何E=2"=也rr

丝：=WL亚

BC2

DE_EFDF_

试卷第9页，共21页

△ABCS^DEF,

.cl..AB

•石一瓦一7，

故答案为：巫.

2

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相

似.

17.如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,ZADE=60°,则AE的长为.

【详解】试题分析：：Z^ABC是等边三角形，；.NB=/C=60。，AB=BC.

/.CD=BC-BD=9-3=6,；ZBAD+ZADB=120°.

VZADE=60°,.,.ZADB+ZEDC=120°.AZDAB=ZEDC.

又；NB=NC=60°,AAABD^ADCE.

.•・必=空，即2=£,CE=2.

BDCE3CE

AAE=AC-CE=9-2=7.

18.如图，在A4BC中，/C=8,BC=4,N8=10,尸是NC上一点，C尸=2,点。从点

A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为，秒，当直线9。截

存在与相似的三角形时，t=.

本题考查相似三角形中的动点问题.分“PQS“BC和A/0尸SA/BC两种情况进行讨论

求解即可.掌握相似三角形的性质，是解题的关键.

【详解】解：由题意，得：AQ^t(O<t<lO),AP=AC-CP=6,

当直线尸。截存在与ABC相似的三角形时，分两种情况讨论:

试卷第10页，共21页

①当A/PQSA/BC时，贝!］：—=^,

ABAC

即：L解得：=4.8；

10O

②当"0PS”8c时，贝的当岑,

ACAB

即:ML解得：/=1;

o102

综上：1=4.8或1=7.5；

故答案为：4.8或7.5.

三、解答题

19.计算：2sin300+3cos60o-4tan45°.

【答案】-1.5

【分析】把30。的正弦值、60。的余弦值、45。的正切值代入进行计算即可.

【详解】2sin30°+3cos60°-4tan45°

=2x—+3x--4x1

22

=-1.5.

【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题

目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幕、二次根式的计算等考点.

20.已知线段a、b、c满足@=2=二，且。+26+c=26.

326

⑴求a、b、c的值；

⑵若线段x是线段°、6的比例中项，求x的值.

【答案】（1）。=6,6=4,c=12

⑵x=2屈

【分析】

（1）设巴=b=土=k（k手0）,则a=3左，b=2k,c—6k,代入。+26+c=26,求得k

326

的值，即可求出a、b、c的值；

（2）由线段x是线段a、6的比例中项，可得/=.6=6x4=24,计算即可.

【详解】（1）解：设q=£=左（左片0）,则a=3后，b=2k,c-6k

326

,：a+2b+c=26,所以31+2x2左+64=26,解得4=2,

a=3x2=6,b=2x2=4,c—6x2—12.

试卷第11页，共21页

(2)•.•线段x是线段a、6的比例中项，

x2=ab=6x4=24,所以x=2V^(舍负).

【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键,

同时利用"设左法''用左表示出。、6、c可以使计算更加简便.

21.如图，点。是△48。边/。上一点，且满足BD?

⑴证明：NA=NCBD；

⑵若3C:4B=2:3,BD=3,求ZC的长.

【答案】（1）见解析

（2）AC=—.

【分析】

(1)根据相似三角形的判断方法，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即

可证明结论成立;

（2）根据相似三角形的性质，得丝=竺="，先求出C。，即可求出NC.

BDABAD

【详解】（1）证明：

BDAD

,•而一访‘

•/ZBDC=ZADB,

：ABCDSDBD,

NA=/CBD；

（2）

解：入BCDs小ABD,BC:AB=2:3,BD=3,

.CD___BD_

,•茄一茄一茄’

.CD_CD_2

••茄―一屋

:.CD=2,

.2_3_3__2

.•茄―AC+CD~AC+2-3'

试卷第12页，共21页

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方

法.

22.如图，在“3C和V/OE中，ZDAB=ZEAC,ZC=ZE.

⑴求证：ADBC=ABDE；

⑵若以3：SA^C=4：9,BC=6,求。£的长.

【答案】(1)见解析

⑵DE=4

【分析】

(1)证明即可证明；

(2)根据面积比等于相似比的平方，即可得OE:8C=2:3,问题随之得解.

【详解】(1)ZDAB=ZEAC,NC=NE,

'：ZDAB+NBAE=ZEAC+ZBAE,

，NDAE=NCAB,

AADEs/\4BC,

.ADDE

•,下一前’

ADBC^ABDE；

(2)/\ADEs-BC,=4：9,

：.DE:BC=2:3,

'：BC=6,

：.DE=4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方，是解答

本题的关键.

23.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将ABCE沿着BE翻折，点C恰好落在AD

上的点尸处.

试卷第13页，共21页

⑴求证：AABFs/\DFE；

⑵若4S=6,BC=10,求E77的长.

【答案】(1)见解析

10

⑵了

【分析】

本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形对应边

成比例是解题关键.

(1)由矩形的性质可知，ZA=ND=NC=90。,由折叠的性质可知，ZBFE=ZC=90°,

进而推出=尸E,即可证明相似；

(2)由矩形和折叠的性质可知，BC=4D=BF=10,再由勾股定理，得出/尸=8,进

RFAR

而得出。尸=2,然后；利用相似三角形的性质，得到矢=芸，即可求出所的长.

FEDF

【详解】(1)

证明：•・,四边形是矩形，

：.ZA=ZD=ZC=90°,

：.ZAFB+ZABF=90°,

由折叠的性质，可知巫

・•・ZAFB+ZDFE=90°,

：.ZABF=ZDFE,

/\ABFS&DFE；

(2)

解：•・•四边形45CD是矩形，AB=6,BC=1Q,

：.BC=AD=10,

由折叠的性质可知：BF=BC=T0,

・・・//=90。，

AF=ylBF2-AB2=7102-62=8，

试卷第14页，共21页

，DF=AD-AF^10-8=2,

由（1）知：八ABFs^DFE,

.BF^_AB_0nW__6

FEDFFE2

解得：跖=^.

24.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△/2C,建立平面直角坐标系后，

点。的坐标是（0,0）.

（1）以。为位似中心,作△4B，C'SA《BC,相似比为1：2,且保证△/⑹。在第三象

限；

（2）点夕的坐标为（,）；

（3）若线段8C上有一点。，它的坐标为（a,b）,那么它的对应点。的坐标为

【分析】（1）用A/BC各顶点横纵坐标除以一2,然后在第三象限找到对应点，连结起

来即可；

（2）直接写出坐标；

（3）直接写出坐标.

【详解】解：（1）如图：A4的C'即为所求三角形；

（2）点夕的坐标为（-2,-1）,

故答案为：（-2,-1）；

试卷第15页，共21页

故答案为：一;,一;.

22

【点睛】考点：1.作图一相似变换；2.网格型.

25.如图，。为线段上一点，以。为圆心，05长为半径的。。交于点/,点C

在。。上，连接尸C,满足y2=尸/.尸瓦

⑴求证：尸C是。。的切线；

(2)若/8=3以，求痣的值.

【答案】(1)见解析

AC1

(2)-----二-

JBC2

【分析】

(1)连接OC,证明AP/CSAPCB,得出NPC4=NB,证明/尸C4+/OC4=90。，得

出。尸C,即可证明结论；

(2)根据=得出尸5=4PN,0A=0C=L5PA,PO=2.5PA,根据勾股定理

,__________ArPC?PA1

得出尸C=VPO2-OC2=2PA，根据三角形相似的性质得出正=,=而7=5即可.

Cz±jj4rzi/

【详解】(1)

试卷第16页，共21页

・PA-pc

•・正一丽’

•・•ZP=ZP,

，公PACS^PCB,

：.ZPCA=ZB,

ZACB=90°,

：.ZCAB+ZB=90°f

•：OA=OCf

：.ZCAB=ZOCA,

：.ZPCA+ZOCA=90°f

：.OC1.PC,

・・・PC是OO的切线；

(2)

解：♦：AB=3PA,

；・PB=4PA,OA=OC=1.5PA,PO=25PA,

・.,OC1PC,

PC=y]PO2-OC2=2PA，

・・•APACS-CB,

,ACPC2PA_1

99~BC~~PB~^PA~^'

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的判定，等腰三角形的性质，

解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定，证明△尸ZCs△尸CB.

26.如图，有一块三角形草地其中8C长9m,tan5=1,tanC=2,试求这块草地

的面积.

试卷第17页，共21页

【答案】这块草地的面积是27m2

【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步

骤.过点/作垂直BC,交BC与点、D,根据tanC=2,tan8=l,推出

AD=2CD,AD=BD,进而得出ND+L。=9,则4。=6cm,最后根据三角形的面积

2

公式即可解答.

【详解】解：过点4作/。垂直5C,交BC与点D,

因为tanC=2,tanB=1,

ADcAD1

所以而=2,而=】，

所以4。=2CD,AD=BD,

因为BC=9cm,

所以/D+^AD=9,

2

AD=6cm,

所以5=工8(7义/。=,*9x6=27m2.

22

答：这块草地的面积是27m2.

27.某数学小组为了测量云龙山上宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2,

首先把长为2米的标杆垂直立于地面上的点C处，当塔尖8、标杆顶端。与地面上

的点E在同一直线上时，£C=3米;再将标杆沿/C方向平移II米至点G处（即CG=ll

米，G8=2米），当塔尖8、标杆顶端7/与地面上的点尸在同一直线上时，bG=4米,

已知尸，DCLAF,HGLAF,点、A、C、E、G、厂在同一水平直线上，请

你帮助这个数学小组求出云龙山上宝塔的高度.

试卷第18页，共21页

图1图2

【答案】云龙山塔的高度N8是24米.

【分析】

本题考查了相似三角形的应用.先证明AAFBS^GFH,利用其性

h-/Q4BAEABAF口口__.A,BA.C+3ABAC+11+4•左刀口口一r

质可r得=7即可rz得i＜=一—=——-——，求解即可.

CDCEGHGF2324

【详解】

解：BALAF,DCLAF,HGLAF,

：.NBAE=NDCE=NHGF=90°

又,：ZAEB=/CED,ZAFB=/GFH,

；・AAEBs'ED,AAFBSAGFH,

.ABAEAB_AF

••CD-CE'~GH~GF'

•：CD=GH=2,CE=3,CG=11,GF=4,

.ABAC+3ABAC+11+4

••一，=，

2324

/.AC=33,AB=24,

...云龙山塔的高度4B是24米.

28.如图，已知抛物线经过原点O,顶点为A(l,1),且与直线了=尤-2交于B,C两点.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)求4ABC的面积；

(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN_Lx轴与抛物线交于点M,则是否存

在以O,M,N为顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存

在，请说明理由.

试卷第19页，共21页

【答案】(l)y=-(x-1)2+1,C(-1,-3)；(2)3；(3)存在满足条件的N点，其

57

坐标为q，0)或(§，0)或(-1,0)或(5,0)

【分析】(1)可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解

析式，可求得C点坐标;

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,与x轴交于D,得到y=2xT,求得BD于是

得到结论；

(3)设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON

和AABC相似时，利用三角形相似的性质M可N得O黑N=芸M或N芸O=嚓N，可求得N点的

ABBCBC