福建省永春三中2024届高三年级下册联考数学试题含解析

福建省永春三中2024届高三下学期联考数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹

长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若a=32,b=12,则输出的“=

()

A.3B.4C.5D.6

2.已知贝!J“直线ax+2y—l=0与直线（a+l）x—2ay+l=。垂直"是“。=3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知a=（2sin学,cos但）力=（Gcos学,2cos等），函数/（x）=9在区间[0,弓]上恰有3个极值点，则正

实数。的取值范围为（）

85、75、57、7》

A.[r―,—）B.r[一,一）C.[r―,一）D.（一,2]

5242344

4.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生A,4，4和3名女生与，B2,与中

各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A和片两人组成一队参加比赛的概率为

5.已知函数〃x)=sin(2x+0),其中夕€(04)，若X/xeR,于(x)Wf恒成立，则函数/（九）的单调递增区

间为（

k兀---，左万H——(kez)kji——,kyvH——(kez)

ki+—,kyiH——(kez)k^r,kyiH------(keZ)

6.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕

达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,

33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）

1234

A.—B.—C.—D.一

5555

7.如图所示，直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,

则球的体积为（）

A.C.

一三；':二

7T

8.在AA5C中，角A昆C的对边分别为“,4c,C=-,若机=

则AABC的面积为（

9下＞

A.3D.3g

9.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（）

♦℃

一♦一各月最低气温平均值—各月最高气温平均值

A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关

B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大

C.全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个

D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势

10.已知三棱锥P—A3C中，。为的中点，尸O，平面ABC,NAP5=9O°,PA=PB=2,则有下列四个结

论：①若。为A6C的外心，则PC=2；②ABC若为等边三角形，则APLBC；③当NAC5=90°时，PC与

平面？A3所成的角的范围为］。,7；④当PC=4时，M为平面尸5C内一动点，若。M〃平面PAC,则M在PBC

内轨迹的长度为1.其中正确的个数是().

A.1B.1C.3D.4

11.设复数z满足|z-3|=2,z在复平面内对应的点为“g力)，则M不可能为()

A.(2,^/3)B.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

12.已知函数/(x)=lnx,g(x)=(2m+3)x+〃，若Vxe(O,+<»)总有/(x)Wg(x)恒成立.记(2加+3)〃的最小

值为网相用，则网租,“)的最大值为()

111

A.1B.-C.-D.——

eee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知抛物线C:V=4》的焦点为歹，过点尸且斜率为1的直线与抛物线C交于点A,B,以线段AB为直径的圆E

上存在点RQ,使得以P。为直径的圆过点。(-2/),则实数，的取值范围为

14.已知命题P：Vx>0,丁>0,那么尸是.

15.已知向量4=(1,1),&=(-2,m),若(2a—耳/妨，则实数.

22

16.在平面直角坐标系X0Y中，双曲线j-与=l(a>0,6>0)的焦距为2c,若过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐

近线围成的三角形面积为°2,则双曲线的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行

合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：

试销价格

456789

X（元）

产品销量y

898382797467

（件）

已知变量乂丁且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲亍=4x+53；乙

y=-4x+105；丙3=-4.6x+104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

（1）试判断谁的计算结果正确？

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中

随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率.

18.（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安

全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统

计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的

得分Z服从正态分布N（〃,210）,其中〃近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.

（1）请利用正态分布的知识求P（36<Z<79.5）；

（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：

①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费:

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

获赠的随机话费(单位：元)1020

21

概率

3

市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？

附:①A/210二14.5;②若X~N(〃,cr2)；则p(〃一X<〃+cr)=0.6827,P(/z-2cr<X<//+2cr)=0.9545,

尸(〃一3cr<X<〃+3cr)=0.9973.

19.(12分)已知椭圆C：^+4=1(。>匕>0)的离心率为无，且椭圆C的一个焦点与抛物线/=4后的

ab2

焦点重合.过点E(LO)的直线/交椭圆C于N(9,%)两点，。为坐标原点.

(1)若直线/过椭圆。的上顶点，求AMON的面积；

(2)若A,3分别为椭圆C的左、右顶点，直线M4,NB,MB的斜率分别为％,k2,4，求%(匕+左2)的值.

20.(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是矩形，面底面ABC。，且AR4D是边长为2的等

边三角形，PC=屈,M在PC上,且"面

(2)在丛上是否存在点P，使二面角尸-5。-M为直角？若存在，求出一的值；若不存在，说明理由.

AP

21.(12分)如图,三棱柱ABC-中，底面ABC是等边三角形，侧面BCG片是矩形,A3=同用N是耳。的中

点,M是棱AA］上的点，且AA.LCM.

(1)证明：MN//平面ABC；

(2)若A3,Ad,求二面角A—CM—N的余弦值.

C,

22.（10分）某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶,

1?

若甲每步上一个台阶的概率为-，每步上两个台阶的概率为彳.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向

33

上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第九个台阶的概率为其中“cN*，且〃<998.

（1）若甲走3步时所得分数为X,求X的分布列和数学期望;

（2）证明：数列｛2+「匕｝是等比数列；

（3）求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

分析：根据流程图中的。=。+=可知，每次循环。的值应是一个等比数列，公比为不；根据流程图中的6=%可知,

22

每次循环b的值应是一个等比数列，公比为2,根据每次循环得到的。力的值的大小决定循环的次数即可.

详解：记执行第九次循环时，。的值记为有4,则有；

记执行第〃次循环时，b的值记为有勿，则有么=12x2".

令321|[<12x2%则有图4|，故

n>4,故选B.

点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项

满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前〃和、前〃项积等）.

2、B

【解析】

由两直线垂直求得则。=0或。=3,再根据充要条件的判定方法，即可求解.

【详解】

由题意，"直线ax+2y-l-G与直线(«+l)x-2ay+1=0垂直”

贝!］a(a+l)+2x(—2a)=。，解得a=0或a=3,

所以“直线ax+2y-1=0与直线(a+l)x-2ay+1=。垂直”是“a=3”的必要不充分条件，故选B.

【点睛】

本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得。的值，同时

熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

3、B

【解析】

7T4冗

先利用向量数量积和三角恒等变换求出/(x)=2sin(^x+-)+l,函数在区间上恰有3个极值点即为三个最

63

值点，0x+2='+br,左eZ解出，x=—+—,k^Z,再建立不等式求出左的范围，进而求得。的范围.

623(o(D

【详解】

解：/(%)二Gsincox+2cos—^—=百sinGX+coscox+l

-2sin(6yx+—)+1

令OX+工=工+左〃，左eZ,解得对称轴％=二+豆，左eZ,/(0)=2,

623a)co

又函数/(X)在区间［0,四］恰有3个极值点，只需^-+—+—

33a)(o33CDco

.75

解得:<a)<—.

42

故选：B.

【点睛】

本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.

⑴利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(or+o)+f或y=Acos(a)x+(p)+t的形式;(2)根据

自变量的范围确定。x+9的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.

4、B

【解析】

根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为隼骐

,然后计算4和耳分在一组的数目为c；c；,

最后简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：

分别从3名男生、3名女生中选2人：C；C；

将选中2名女生平均分为两组：空

xx

将选中2名男生平均分为两组：空cc

£

则选出的4人分成两队混合双打的总数为：

C2c255^2_5555=]8

22

3342A~A一

a和男分在一组的数目为c；c；=4

42

所以所求的概率为;7=7；

189

故选：B

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成〃?组，则要除以A；',即机!，审清题

意，细心计算，考验分析能力，属中档题.

5、A

【解析】

=1,从而可得。吟/(x)=sin|2x+f],再解不等式

VxeR,f(x)</图n/(^)max=f

TTTT7T

2k兀----<2x-\——<2k兀——(kGZ)即可.

262

【详解】

由已知，/OOa=W=sin「+#=1

sin(^+yl=+l,^e[o,71yl,所以°兀

-9

26

/(x)=sin2x+—,由2kji-----<2x-\——<2k兀——(kez),

<67262

JI71

解得，kn----<x<k7i+—(Jcez).

36

故选：A.

【点睛】

本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

6、C

【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为C；=10,再求出6和28恰好在同一组

包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.

【详解】

解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，

则基本事件总数为C；=10,

则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数=4,

10-43

6和28不在同一组的概率P=--------=

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.

7、A

【解析】

设球心为一,三棱柱的上底面--------的内切圆的圆心为-,该圆与边--切于点根据球的几何性质可得--------

U口UUldall

为直角三角形，然后根据题中数据求出圆二半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积.

【详解】

如图，设二棱柱为---9且_--_q1_iWj_

Jtartj/•,一■>■",»(MBj*

所以底面-------为斜边是--的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆-,圆-与边--切于点

-IU

则圆-的半径为

0

设球心为-，则由球的几何知识得为直角三角形，且--

a*AMLAjMAMB/・

所以

即球的半径为、,？,

所以球-的体积为

口xZx<^=^=

故选A.

【点睛】

本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个:

(1)构造以球半径二、球心到小圆圆心的距离二和小圆半径二为三边的直角三角形,并在此三角形内求出球的半径,

这是解决与球有关的问题时常用的方法.

(2)若直角三角形的两直角边为二二，斜边为二，则该直角三角形内切圆的半径,合理利用中间结论可提

高解题的效率.

8、C

【解析】

由1//：,可得(4-b)2=(c-")(。+6)，化简利用余弦定理可得cos生小解得心即可得出三角形

32ab

面积.

【详解】

解：m=(c—瓜a-b),n=^a-b,c+y/6^,且

-bf=(c-76)(C+y/6),化为：a2+b2-c2=2ab-6-

7ia2玄匚卷『j解得a』.

/.cos—=——

3lab

c1,.1AG36

..S..--absinC=-x6x——=-----.

MBKCr2222

故选：C.

【点睛】

本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

9、D

【解析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】

由绘制出的折线图知：

在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；

在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；

在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；

在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.

10、C

【解析】

由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断①正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转

化为三棱锥的体积，求得C到平面PAB的距离的范围，可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.

【详解】

画出图形：

若。为ABC的外心，则。4=O8=OC=后，

尸0_L平面ABC,可得PO±OC,即PC=y/pO2+OC2=2，①正确;

ABC若为等边三角形，AP±BC,又APLPB

可得AP，平面「5C,即AP_LPC,由POLOC可得

PC=dpb+OC?=<2+6=20=AC'矛盾，②错误；

若NACB=90°,设PC与平面R钻所成角为。

可得OC=OA=OB=亚,PC=2,

设C到平面K4B的距离为d

由^C-PAB~^P-ABC可得

-d---2-2=--y[2--AC-BC

3232

lAC2A-RC

即有ACBC=2gd,,—........—=4,当且仅当AC=BC=2取等号.

2

可得d的最大值为形，sin0=-„—

22

即。的范围为[0,：,③正确；

取中点N,P5的中点K,连接OK,0N,KN

由中位线定理可得平面OKN//平面PAC

可得〃在线段RV上，而KN」PC=2,可得④正确；

2

所以正确的是：①③④

故选:C

【点睛】

此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明,

也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.

11、D

【解析】

依题意，设2=。+初，由|z—3|=2,得①―3)2+尸=4,再一一验证.

【详解】

设2=〃+初，

因为|z—3|=2,

所以（a—3）2+=4）

经验证M（4,1）不满足，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.

12、C

【解析】

根据Vxe（O,4w）总有/（x）<g（x）恒成立可构造函数h（x）=Inx-（2加+3）x-〃,求导后分情况讨论/z（光）的最大

值可得最大值最大值h\|=-In（2加+3）-1-«,

\2m+3）

即—ln（2机+3）—1—〃W0.根据题意化简可得（2m+3）«>（2m+3）［-In（2m+3）-1］，求得

F（m,n）={2m+3）［-In（2m+3）-1］，再换元求导分析最大值即可.

【详解】

由题，V%e（0,+oo）总有lnx<（2m+3）x+77HPlnx-（2m+3）x-〃<0恒成立.

设/1（无）=山%-（2加+3卜-”,则72（%）的最大值小于等于0.

又力（x）=工_（2根+3）,

若2加+3W0则"（九）>0,/i（x）在（0,+"）上单调递增，妆光）无最大值.

若2m+3>0,则当X〉二七时，"（％）<0,耳尤）在［五，,+［上单调递减，

当0<%<2^3时/（］）>°^W在、石3］上单调递增.

故在x=2：处〃（%）取得最大值hJL3］=ln2m+3-1-/7=-ln（2m+3）一1一”.

故—ln（2加+3）-1一〃<0,化简得（2根+3）〃“2根+3）［-ln（2根+3）-1］.

故F（m,n）=（2m+3）［-ln（2m+3）-l］，令1=2根+3,«>0）,可令左⑺二T（ln『+l）,

故e（/）=-Inr—2,当时，〃⑴<0,左⑺在《+，|递减；

当0<r<:时，〃⑺>0,左⑺在递增.

故在f=4处入⑺取得极大值，为左（=一：5：+1]=：.

故网7%”）的最大值为

e

故选：C

【点睛】

本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题，需要根据题意分析导数中参数的范围，再分析函数的最值，进而求导构造

函数求解（2根+3）〃的最大值.属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.[-1,3]

【解析】

由题意求出以线段AB为直径的圆E的方程,且点D恒在圆E夕卜，即圆E上存在点P,Q,使得DP，。。，则当DP,DQ

TT

与圆E相切时，此时NP'DQ'Ng,由此列出不等式，即可求解。

【详解】

由题意可得，直线A5的方程为》=丁+1,联立方程组1,二，可得y2—4y-4=0,

7=4x

设A3（肛％），则%+%=4,%为=一4,

设£5,%），则犷号=2,…+1=3,

又|AB|=西+兀2+2=丁]+1+%+1+2=8,

所以圆E是以（3,2）为圆心，4为半径的圆，所以点。恒在圆E外.

圆E上存在点RQ,使得以PQ为直径的圆过点。（—2/）,即圆E上存在点尸,Q,使得。设过。点的两

直线分别切圆E于尸,Q'点，

n\EP'\4也

要满足题意，WJZPW>-，所以可（（3+2）2：（2_）2">

整理得产—4t—3<0,解得2-+,

故实数f的取值范围为［2-J7,2+屿］

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中准确求得圆E的方程，

把圆E上存在点尸,Q,使得以PQ为直径的圆过点。(-2J),转化为圆E上存在点尸,Q,使得OPLOQ是解答的

关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

14、真命题

【解析】

由塞函数的单调性进行判断即可.

【详解】

已知命题P：VX>O,炉>0,因为y=Y在(0,+?)上单调递增，则％3>()3=o,所以p是真命题，

故答案为：真命题

【点睛】

本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.

15、-2

【解析】

根据向量坐标运算可求得2a-6=(4,2-加)，根据平行关系可构造方程求得结果.

【详解】

由题意得：2a—心=(4,2—加)

{la-b^/lb:.4m=-2(2-m),解得：m=-2

本题正确结果：-2

【点睛】

本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.

16、0

【解析】

利用,1=。通可建立关于“，4,的方程.

【详解】

设双曲线右焦点为F2,过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐近线分别交于两点,

hebei

则A(c,—),B(c,一一),由已知，S^=-X\FO\\AB\=C2,即一•c=c2,

aa2OB2a

所以a=b,离心率e=Jl+(2)2=&.

Va

故答案为：0

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立”,仇c的方程或不等式，是一道容易题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9

17、(1)乙同学正确；(2)—.

20

【解析】

(1)根据变量羽y且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点(,不)，判断出乙正确.

(2)由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得

所求概率.

【详解】

(1)已知变量羽y具有线性负相关关系，故甲不正确，

[=6.5,7=79,代入两个回归方程，验证乙同学正确，

故回归方程为：y=-4x+105

(2)由(1)得到的回归方程，计算估计数据如下表：

X456789

y898382797467

y898581777369

卜-V021212

由上表可知，“理想数据”的个数为3.

用列举法可知，从6个不同数据里抽出3个不同数据的方法有20种.

从符合条件的3个不同数据中抽出2个，还要在不符合条件的3个不同数据中抽出1个的方法有3x3=9种.

9

故所求概率为

【点睛】

本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.

18、(1)0.8186；(2)估计此次活动可能赠送出100000元话费

【解析】

(1)根据正态分布的性质可求P(36<ZW79.5)的值.

(2)设某家长参加活动可获赠话费为X元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动

可能赠送出的话费数额.

【详解】

(1)根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得

//=35x0.025+45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65

又36土65-2A/HU，79.5^65+7210»

所以尸(36<ZW79.5)

=-x0.9545+-x0.6827

22

=0.8186；

(2)根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值X有10,20,30,40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费

的概率都为《，

2

121

得10元的情况为低于平均值，概率。=；；><彳=;，

233

得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率

„111227

P=—X—+—X—X—=—,

2323318

1912

得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为PM7XC；><=><==X，

22339

得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为0=：><!><,=[.

23318

所以变量X的分布列为:

X10203040

1721

P

318918

1721

某家长获赠话费的期望为E（X）=10x—+20x—+30x—+40><—=20.

所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.

【点睛】

本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象

的对称性来进行，本题属于中档题.

19、(1)—(2)&(左］+左2)=—1

【解析】

(D根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点，由此求得。，结合椭圆离心率求得。，进而求得b,从而求得椭圆C的标准

方程，求得椭圆上顶点的坐标，由此求得直线/的方程.联立直线/的方程和椭圆方程，求得两点的纵坐标，由此

求得AMON的面积.

(2)求得A,8两点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此求得人2•%

的值，根据M在椭圆上求得占•%的值，由此求得匕(左+左2)的值.

【详解】

(1)因为抛物线/=4氐的焦点坐标为(6,0),所以椭圆C的右焦点

的坐标为(6,0),所以c=6，

因为椭圆C的离心率为无，所以£=走，解得a=2,

2a2

所以­02=i,

故椭圆C的标准方程为—+/=1.

4

x+y—1—0

其上顶点为(0/)，所以直线x+y—1=0,联立212/

x2+4y2=4

3

消去X整理得5y2—2y—3=0,解得％=1,y2=,

所以AMON的面积5AMm=S&MOE+^ANOE=万*1*[1+~~.

(2)由题知，A(-2,0),3(2,0),设N(%，%).

由题还可知，直线的斜率不为0,故可设MN：x=my+l.

x=my+1

1

由＜%221消去x,得(M+4)/+2切-3=0,

——+V=1

14'

所以左2・匕=7一升2=-——=—>

（X]—2）（々一2）m>1>2一〃2（%+%）+14

V,21

又因为点M在椭圆上，所以勺•&=T^=—7，

%i-44

31

所以左3（左+&）=_4-4=_1。

【点睛】

本小题主要考查抛物线的焦点，椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆，三角形的面积等基础知识，考查推理论证

能力、运算求解能力，化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.

AF3

20、⑴见解析;⑵.

AP8

【解析】

试题分析：⑴连AC交5D于E可得E是AC中点，再根据抬面"BD可得PAME,进而根据中位线定理可得结

果；（2）取AO中点。，由（1）知。4,OE,。尸两两垂直.以。为原点，。4,。2。尸所在直线分别为》轴,y轴，z轴

建立空间直角坐标系，求出面A/BD的一个法向量”，用彳表示面歹BZ）的一个法向量加，由“"〃二。可得结果.

试题解析：⑴证明：连AC交5£）于E,连ME.ABCD是矩形，二石是AC中点.又PA面加8£>,且ME是面PAC

与面"03的交线，是PC的中点.

⑵取A。中点。，由（1）知0Ao瓦OP两两垂直.以。为原点，OAOEOP所在直线分别为％轴,

V轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为

A（l,0,0）,B（l,3,0）,D（-l,0,0）,C（-l,3,0）,P（0,0,^）,wf-1,|,^.

设存在b满足要求，且竺=2,则由河=2”得：尸(1一40,岳)，面VBD的一个法向量为“=11,二,£1，

APv'(33J

面的一个法向量为m=1,--,^,由〃•加=0,M1+-+—^=0,解得;l=g,故存在歹，使二面角

(36彳J9328

AP3

F—BD—M为直角,此时一=—.

AP8

21、(1)见解析(2)-述

5

【解析】

(1)连结8M,推导出BCLBBi,AAi±BC,从而AAi_LMC,进而AAi_L平面BCM,AAiLMB,推导出四边形AMNP

是平行四边形，从而MN〃AP,由此能证明MN〃平面ABC.

(2)推导出△ABAi是等腰直角三角形，设AB=叵a，则AA=2a,BM^AM^a,推导出MCLAAi,

BMLAAx,以M为坐标原点，