太和2023-2024学年高考冲刺数学模拟试题含解析

太和二中2023-2024学年高考冲刺数学模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x+y>-l

1.若实数羽V满足不等式组x-2y<-1，则2x-3y+4的最大值为()

2x--1<0

A.-1B.-2C.3D.2

0•

2.已知复数z=C，则z的虚部为()

z-1

A.-1B.-iC.1D.i

xlnx-2x,x>0

3.已知函数/(x)=L3八的图像上有且仅有四个不同的关于直线y=-l对称的点在g(x)=Ax-1的图像

XH---X.X^0

I2

上，则左的取值范围是()

131311

A.(gq)B.(-，-)C.(-,1)D.(-,1)

4.已知/(%)为定义在R上的奇函数，若当xNO时，f(x)=2x+x+m(加为实数)，则关于x的不等式

—2</(x—1)<2的解集是()

A.(0,2)B.(-2,2)C.(-1,1)D.(1,3)

5.已知抛物线/=2px(p>0),尸为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若|。尸|=1,|MN|=8,贝!J。肱V的面

积为()

A.2,\/2B.3A/2C.4-\/2D.

6.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是()

23

A.-1B.C.一D.4

2

7.在ABC中，AB=3,AC=2,440=60。，点。，E分别在线段AB,CD上，且应＞=2AZ),CE=2ED,

则（）.

A.—3B.—6C.4D.9

8.某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）

A.1B.2C.3D.0

9.公差不为零的等差数列｛诙｝中，。1+〃2+〃5=13,且“1、。2、〃5成等比数列，则数列｛诙｝的公差等于（）

A.1B.2C.3D.4

10.已知曲线c：y=cos（2x+9）［lel<m）的一条对称轴方程为TT

x=~,曲线C向左平移，（夕>0）个单位长度，得

3

到曲线E的一个对称中心的坐标为彳,0,则。的最小值是（

)

717171

A.B.-7D.

6412

11.已知i为虚数单位，复数z=（l+i）（2+i）,则其共朝复数1=()

A.MiB.l-3zC.—1+32D.-l-3z

12.已知向量〃=（1,2）,0=（2"-2）,且则2等于（)

A.4B.3C.2D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知/>0,记/⑺=—以2%+或4/一隽81+...—。；1281+。；256公）公，则/⑺的展开式中各项系数

和为.

S

14.已知数列｛%,｝中，S“为其前〃项和，q=l,anan+x=2",贝!）％=，2oo=.

15.已知三棱锥P—ABC的四个顶点都在球。的球面上，PA=PB=PC,A3=2,BC=5AC=3,E,F

3

分别为AC,/火的中点，EF=-,则球。的体积为.

2

16.如图，在三棱锥A-BCZ>中，点E在上,EA=EB=EC=ED,BD=OCD,△AC。为正三角形，点M,N

2

分别在AE,CZ）上运动（不含端点），且AM=CN,则当四面体C-EMN的体积取得最大值二时，三棱锥A-5Q）

3

的外接球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

%-2+2fx=l+cos0

17.（12分）在平面直角坐标系中，已知直线/的参数方程为、。为参数）和曲线C：1.八（6>

1y=sin，

y=——tu

I-2

为参数），以坐标原点。为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线/和曲线C的极坐标方程；

JIIONI

（2）在极坐标系中，已知点M是射线（：。=a（ae与直线I的公共点，点N是4与曲线C的公共点，求!

的最大值.

..「x—m2

18.（12分）在平面直角坐标系X0V中，曲线C的参数方程为〈（机为参数）.以坐标原点。为极点，x轴正半轴

y=2m

为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为夕sin6»-夕cos6+1=0.

（I）求直线/的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

,、11

（II）已知点尸（2,1）,设直线/与曲线。相交于M,N两点，求同可+网的值.

19.(12分)设函数/(%)=6cos2x—J^sin2x.

77"

(1)求/1(,)的值;

71

(2)若xe-.71,求函数”x)的单调递减区间.

fv2F)

20.(12分)椭圆C：三+£=1(。＞匕＞0)的离心率为手，它的四个顶点构成的四边形面积为2拒.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是直线x=/上任意一点，过点P作圆％2+丁2=/的两条切线，切点分别为加，N,求证：直线恒

过一个定点.

21.(12分)如图，在四棱锥S-MCD中，平面&LD，平面A5CZ＞,SD=1,cosZASD^—,底面ABCZ＞是边

5

长为2的菱形，点E,f分别为棱。C,BC的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点.

求证：(1)直线5A平面ERG；

(2)直线AC_L平面S£>5.

22.(10分)如图，已知平面Q8C与直线Q4均垂直于及AABC所在平面，且B4=A5=AC.

(1)求证：/%//平面03C；

(2)若PQL平面QBC,求CQ与平面尸5c所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

作出可行域，直线目标函数对应的直线/,平移该直线可得最优解.

【详解】

作出可行域，如图由射线A3,线段AC,射线CD围成的阴影部分(含边界)，作直线/:2x-3y+4=0,平移直线

I,当/过点C(U)时，2=2X一3丁+4取得最大值1.

故选：C.

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形.

2、A

【解析】

分子分母同乘分母的共轨复数即可.

【详解】

2i_2i(i+l)-2+2i,.

——=1-1,故z的虚部为—1.

i-1-(i-l)(i+l)

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.

3、D

【解析】

根据对称关系可将问题转化为了(九)与y=-而-1有且仅有四个不同的交点；利用导数研究/(x)的单调性从而得到

/(%)的图象；由直线y=-日-1恒过定点4(0,-1),通过数形结合的方式可确定—左式左Ac，勤)；利用过某一点曲

线切线斜率的求解方法可求得心。和心B，进而得到结果.

【详解】

g(x)=^—1关于直线y=-l对称的直线方程为：y=-kx-l

原题等价于/(%)与y=-日-1有且仅有四个不同的交点

由丁=一日—1可知，直线恒过点A(0,—l)

当了>0时，/,(x)=lnx+l-2=lnx-l

・••/(九)在(0,e)上单调递减；在(e,+8)上单调递增

由此可得/(%)图象如下图所示：

其中A3、AC为过A点的曲线的两条切线，切点分别为用C

由图象可知，当—左e(左AC，L)时，/(%)与丁=一区-1有且仅有四个不同的交点

设。(狐mlnm—2根)，m>0,贝!13。=1口根—1=’--———,解得：m=l

m-Q

211

设"凡“2“W0,则/0,3〃+万〃+1,解得："=—1

k=2n+—=---------

.AR2n-Q

,C31

k=-2-\--二—

AB22

.,.一左e]—1,一5],贝[左右],1]

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能

够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.

4、A

【解析】

先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.

【详解】

据题意，得“0)=1+m=0,得加=—1,所以当工工0时，/(x)=2'+x—1.分析知，函数/(%)在R上为增函数.

又/(1)=2,所以/(—1)=—2.又—2</(x—1)<2,所以—1<X—1<1,所以0<x<2,故选A.

【点睛】

本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.

5、A

【解析】

根据|OF\=1可知丁=4x,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.

【详解】

由题意可知抛物线方程为丁=4x,设点"(%，乂)点N(%,%)，则由抛物线定义

知,MN|=|MF|+1NF|=x1+x2+2,|MN|=8则再+/=6.

由>2=4x得y；=4%1,¥=4%则y；+¥=24.

又MN为过焦点的弦，所以=T,则良一引=亚+£-2%%=4拒，所以SOMN=^\OF\-\y2-%|=2后.

故选:A

【点睛】

本题考查抛物线的方程应用，同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.

6、D

【解析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S的变化以4为周期出现，由此可得结论.

【详解】

233

S=4,，=1;S=—1,，=2;S=—,，=3;S=—,，=4;5=4,，=5；如此循环下去，当7=2020时，S=—;S=4,i=2021,

322

此时不满足，<2021,循环结束，输出S的值是4.

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构.解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论.

7、B

【解析】

根据题意，分析可得AD=1,由余弦定理求得。C的值，由

8E•A3=（3。+£>E）••A3+OE••A3可得结果.

【详解】

根据题意，AB=3,BD=2AD,则AD=1

在ADC中，又AC=2,44C=60。

则DC2=AD-+AC2-2AD-DCcosABAC=3

则。C=G

则CDLAB

则3543=（3。+。石）48=3。48+。石43=3。48=3*2*（；05180=-6

故选：B

【点睛】

此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.

8、C

【解析】

由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

其中AABC,NBCD,AAZJC为直角三角形.

该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.

9、B

【解析】

设数列的公差为d,d/O.由％+«2+%=13,成等比数列，列关于4“的方程组，即求公差d.

【详解】

设数列的公差为d,d，O,

ax+a2+a5=13,二3al+5d-13①.

%,%,生成等比数列，，（q+d）2=q（«i+4d）②，

解①②可得d=2.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.

10、C

【解析】

，=85（2%+夕）在对称轴处取得最值有85（高+9）=土1,结合可得e=易得曲线E的解析式为

y=cos12x+2,+高，结合其对称中心为匕.可得8=£—2/eZ）即可得到6的最小值.

【详解】

JT

•.•直线x=2是曲线C的一条对称轴.

3

71兀

.,.2x—+0=左》(左EZ),又|0|<一.

32

n

(p——

3

二平移后曲线后为＞=352x+2，+（.

曲线E的一个对称中心为?•（）.

71717T

」.2x—+2。+—=br+—（左eZ）.

432

k兀jr

0=-------（左eZ）,注意到。＞0

26

故。的最小值为三.

故选：C.

【点睛】

本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道

中档题.

11、B

【解析】

先根据复数的乘法计算出z,然后再根据共轨复数的概念直接写出三即可.

【详解】

由z=（l+i）（2+i）=l+3"所以其共轨复数1=1一33

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算以及共朝复数的概念，难度较易.

12、D

【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】

因为力=(1,2),6=(2,4—2),且万，B，

a，b=2+2(4—2)=0,

则2=1.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13-,一

9

【解析】

根据定积分的计算，得到/(/)=-六(1-2。9+±,令『=1,求得/。)=!，即可得到答案.

18189

【详解】

根据定积分的计算，可得

/(r)=£(l-C；2x++...—CJ128X7+C；256/)dx=£(1-2x)8公=—R(1—2x)91„

=-—(l-2O9+—,

1818

令UI,贝厅⑴=—《(1—2xl)9+《=5，

即f(O的展开式中各项系数和为;.

【点睛】

本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得了«)的表示

是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

14、83x2100-3(写为21°°+2KH—3也得分)

【解析】

由4=1,%4+1=2"得，出=2.当”22时，。"口"=21,所以誓=2,所以｛4｝的奇数项是以1为首项，以2

an-\

为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则&=2x2?=8,

lx(l-2100)2x(l-2100)件「132a5002

邑。。=~]~2--~=22-3=3x2-3.

15、4区

【解析】

可证/ABC=90°,则E为AABC的外心，又Q4=M=PC则平面ABC

即可求出PB,/方的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.

【详解】

解：AB=2,5c=6,AC=3

AB2+BC-=AC2

:.ZABC=90°,因为E为AC的中点，所以E为AABC的外心,

13

:.BE=-AC=-

22

B

因为PA=PB=PC,所以点P在AA5C内的投影为AABC的外心E,

所以PEL平面ABC,

BEu平面ABC

:.PE工BE,

所以PB=2EF=3,

所以PE=y/PB2-BE2=-73,

一2

又球心。在PE上，设PO=厂，贝彳乎一rj=〃，所以r=6,所以球。体积，V=g»，=4昌.

故答案为：4邪）兀

【点睛】

本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题.

16、32〃

【解析】

设即=a,根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE，EZXAM=x,根据三棱锥的体积公式，运用基本不等

式，可以求出AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.

【详解】

设ED=a,贝！|C£)=0a.可得CE2+DE2=CD2,：.CEVED.

当平面A5O,平面BCD时，当四面体C-EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x.

贝(I四面体C-EMN的体积=(«-x)x—xaxxx^^-=显ax(a-x)v正q(x+ar)2=2,当且仅当*=色时

3221212232

取等号.

解得a=2五.

此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积=4万,=32万.

故答案为：32万

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)夕+=0=2cos，；(2))1mx=2拒+2

【解析】

(1)先将直线/和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程;

(2)写出点”和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出|ON|和|OM|,利用三角函数的性质求出箴的最大

值.

【详解】

解：(1)/:%+>=—,pcos0+psmO=—,

即极坐标方程为夕sin=乎，

C:(x-l)2+y2=1,极坐标方程Q=2cosd.

1

(2)由题可知0/2、，N(2cosa,a)

sina+cosa

|ON\_pN_2cosa

由I

2

sina+cosa

=4cosa(sina+cosa)

=2sin2a+2(cos2a+1)

=20sin（2a+工）+2,

4

•♦•当a=时’（篇）max=2拒+2.

【点睛】

本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.

4

18、（I）直线/的直角坐标方程为x—y—1=0；曲线C的普通方程为/=4x；（II）

【解析】

（I）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得：+/2=2夜,柩2=-14,而根据直线参数方程的几何意义，知

1++归+幻-%代入即可解决.

1PMi到用团kilfelMM

【详解】

（I）由x=pcos0,y=psin0,

可得直线/的直角坐标方程为%-y-l=0.

由曲线C的参数方程，消去参数加，

可得曲线C的普通方程为y2=4x.

f°V2

X—2H----1

（n）易知点P（2,I）在直线/上，直线/的参数方程为:《为参数）.

y=l+—t

[-2

将直线I的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得t2-2万-14=0.

设％,才2是方程产-2万—14=0的两根，则有tA+t2=2ntit2=-14.

.1।1=\1=.+问」=4%

''|^||PN「M|他|一,闵—M

+4x144

一14-5

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.

19、(1)=3+A/3(2)/(x)的递减区间为和~\2"71

【解析】

71

(1)化简函数/(%),代入x=一，计算即可；

12

71

(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合工£即可求出.

【详解】

(1)/(x)=6cos2%-6sin2%=3(1+cos2x)-百sin2x

=-V3sin2x+3cos2x+3

=-2A/3sin-yj+3,

从而/［总=3+6.

兀冗冗

(2)令----F2左〃*<2%------<—F2左肛左£Z.

232

JI57r_

解得-----Fk/c<xW------Fk/c,keZ.

1212

jr57r

即函数/(x)的所有减区间为-c+k兀,F+ki,keZ,

JI冗、冗n万

考虑到，取左=0,1,可得入£—---，乃

12

jr57r1\TT

故/(X)的递减区间为和元环.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.

20、(1)1-+/=1；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；

⑵设点P(2,%)，N(%,%)，由PMLOM，PN,ON,结合斜率公式化简得出2—2石—%%=0,

2-2々-%%=°，即加(西,乂)，刈*2，%)满足2-2%-»0=0,由凡的任意性，得出直线肱V恒过一个定点

(1,0).

【详解】

a2=b-+c-

a2=2

1r

(1)依题意得--2a-2b=2yf2,解得,

b2=c2=1

c_^2

a2

即椭圆C:y+/-l；

（2）设点尸（2,%）,1（%,%）,N@,%）

其中x；+y；=2,x；+y；=2

由？WOM,WON得X二乌•n=T,

玉一2再x2-2x2

即d+城一2%一%%=0,x；+y；-2X2-y2y0=0

注意到x；+y；=2,x；+£=2

于是2-2占一%%=0,2-2x2-%为=°

因此N(%2，%)满足2-2兀-》()=0

由为的任意性知，x=l,y=0,即直线MN