湖北荆州2023年中考数学试卷

2023年湖北省荆州市中考数学一模试卷

题号—二三总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.的相反数是（）

A.5B._5C.£D.

55

2.下列几何体中，主视图是长方形的是（）

BA

c®

3.下列计算正确的是（）

A.。3.&3=2a3B.（—2a>=4Q2

C（a+b）2=a2+b2D-（a+2）（a—2）=a2-2

4.一副三角尺的位置如图所示,其中三角尺AO6绕点力逆时针旋转a度，使它的某一边

与BC平行，则a的最小值是（）

D

A-15°B.30°C.60。D.150。

5.平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是（）

第1页，共26页

A.y=Jf2B.y=：C.y=2x-4D.y=_x（x>0）

6.如图，在中，Z/1CB90"，按以下步骤作图：〃.以8为圆心，任意长为

半径作弧，分别交84、BC于M、N两点；一，分别以M、N为圆心，以大于:MN的长

为半径作弧，两弧相交于点P；8作射线BP,交边4c于。点.若48=10,BC=6,

7.将无限循环小数0，化为分数，可以设o.7=x,则10x=7+*，解得：x=三防

此，将无限循环小数0.21化为分数为（）

A.LB.ZC.马D.巴

113310199

8.如图，C）0是A5C的外接圆，0E145交0。于点E，

垂足为点D,AE,CB的延长线交于点E若。。=3,4B=8,

则尸C的长是（）

A.10

B.8

C6

D.4

9.关于”的分式方程工—4=上的解为正数.为得到k的取值范围，下列过程或结论,

X-22-x

其中不正确的是（）

A-x-4（x-2）=AB.x=>o

C•等#2D-卜>-8且刀/一2

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10.在平面直角坐标系中，若直线y—X+川不经过第一象限，则关于大的方程

mx2+%+1=。的实数根的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.1或2个

、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.函数y=2±l中，自变量x的取值范围是____.

'2x-4

12.一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2,3,5.

从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的

球的编号之和为偶数的概率是

13.如图，从楼顶4处看楼下荷塘c处的俯角为45。，看楼下荷

塘。处的俯角为60二，已知楼高45为30米，则荷塘的宽CO

为米（结果保留根号）.

14.如图，平行于BC的直线CE把△A8C分成面积相等的两

部分，则”的值为.

15.如图，点p（4«,a）是反比例函数y>0）与00的一个交点,

图中阴影部分的面积为17〃，则反比例函数的解析式为.

16.已知y是关于”的函数，若该函数的图象经过点pg.t），则称点p为函数图象上的

“相反点”，例如：直线y=2*—3上存在“相反点”P（l,—1）,若二次函数

y=x?+2mx+m+3的图象上存在唯一"相反点"，则"1=.

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

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17.若a=2tan45。2-1(2V3)°»求关于*的不等式2x+a>3(x—1)的解

集.

18.先化简（工_*+1）+*2_,再从_i，0,1中选择合适的x值代入求值.

'工+1'X2+2X+1

19.如图，在iox10的正方形网格中（小正方形的顶点称为格点），请按要求画图，且

所画的点都必须是格点，两端点都在格点上的线段称之为格点线段.

（1）作格点线段AN,使aB/lN是等腰直角三角形（作一种情况即可）；

（2）作点4关于8。的对称点M,保留格点线段.

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20.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，学校从全校1500

名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分x均为不小于60的

整数)，并将测试成绩分为四个等第：基本合格(60Wx<70),合格(70Wx<80),

良好(80Wx<90),优秀(90SxS100),制作了如图统计图(部分信息未给出).

所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图所抽取的学生知识测试成绩的扇形统计图

(1)求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图.

(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.

(3)这次测试成绩的中位数是什么等级？

(4)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学

生有多少人？

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21.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为

为纵坐标，描出相应的点，如图所示.

(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象;

(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

8点4(-5,%),见一分2)，C(x*),。(j6)在函数图象

上，则yiy2,与；(填“>”，“=”

或“<”)

2当函数值y=2时，求自变量X的值；

总在直线X=—1的右侧的函数图象上有两个不同的点p(x3,y3),

Q(X4，y»)，且>3=丫4，求均+八的值；

/若直线y=a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围.

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22.如图，。。是△48C的外接圆，是00的直径，F是；W延长线上一点，连接CD,

CF,S.ADCF=ACAD.

（1）求证：CF是0。的切线；

（2）若cosB=g,AD=2,求FD的长.

23.一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该

商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）。为正整数）之间满足一次函数关系，下表

记录的是某三周的有关数据：

%（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若

某一周该商品的销售量不少于6000件，设这一周该商场销售这种商品获得的

利润为w（元）,求w与x之间的函数关系式，并指出”的取值

范围.

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24.如图［,在矩形.BCD中，AR=8>BC=6，点"为线段CD上的一个动点，点P从D点

出发，以每秒4个单位的速度从点。向点C运动，过点P作4C的平行线交4。于点Q,

将△PDQ沿PQ折叠，点。落在点E处，连OE、AE,如图2,设运动的时间为/•秒；

(1)观察猜想：

/当点P运动时的大小是否发生变化？若发生变化，求sinUDE的变化范围，

若不发生变化，直接写出sinzJDE的值.

②在P点运动过程中，线段AE的最小值为(直接写出答案)；

(2)推理探究：设APQE与△4CD的重叠部分的面积为5,请你直接写出S与t的函数

解析式，并写出自变量t的取值范围.

(3)拓展延伸：延长PE交直线4c于F，交直线B4于G,在运动过程中，当尸为EG的

中点时(如图3),试求出t的值.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义.

根据相反数的定义，即可解答.

【角度】

解：一士的相反数是a

2.【答案】A

【解析】解：圆柱体的主视图是长方形，圆锥的主视图是等腰三角形，球的主视图是圆

形，四面体的主视图是三角形，

故选：A.

根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可.

本题考查简单几何体的三视图，主视图就是从正面看该物体所得到的图形.

3.【答案】B

【解析】解：a3-a3=a6,故选项A错误；

(—2a)2=4a2,故选项B正确；

(a+b)2-a2+2ab+b2,故选项C错误；

(a+2)(a-2)=a2-4,故选项D错误；

故选：B.

根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.

本题考查整式的运算，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法.

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【答案】A

【解析】解：如图，当4E//BC时,

••/.CAD=15°,

即a的最小值是15。.

故选：A-

当4E//BC时，由平行线的性质可得出/CAE=60。，则可得出答案.

本题考查了旋转的性质，平行线的性质，正确画出图形是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：4、y=x2,关于y轴对称，此选项不符合题意；

、y=2,两个分支处在一、三象限，关于原点对称，此选项符合题意；

X

C、y=2x-4，过一、三、四象限，此选项不符合题意；

D、y=_*(x>0)，第四象限的角平分线，此选项不符合题意•

故选：B-

分别根据函数的性质来判断是否对称.

本题考查反比例函数的对称性，解题的关键是要熟练掌握反比例函数不但关于原点对

称，也关于象限的角平分线对称.

6.【答案】A

C

【解析】解：由作法得5D平分445C，

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EMB

过。点作DEI4B于E,如图，则DE=DC,

在Rt△ABC中，AC=y/AB2—BC2=V102—62=8，

,:S»BD+S»BCD=S&8C，

**•—,D£*x10-1—•CDx6=—x6x8,

222

即5DE+3CD=24,

:.CD=3.

故选：A-

利用基本作图得8。平分/NBC,过。点作0E148于E,如图，根据角平分线的性质得到

则DE=DC,再利用勾股定理计算出AC=8,然后利用面积法得到

i-DExlO+^CDx6=1x6x8,最后解方程即可.

本题考查了作图一基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）.也考查了角平分

线的性质.

【答案】B

【解析】解：设0.21=X，

则100x=21+x,

移项，可得：100x-x=21,

合并同类项，可得：99x=21,

系数化为1,可得：x=f

**7

・・・0.21=—.

33

故选：B.

设0.21=x，则100x=21+x,根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可.

此题主要考查了无限循环小数化分数的方法，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握

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解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

【答案】A

【解析】解：由题知，4C为直径，

=90。，

vOE±AB,

OD//BC,

•••04=OC,

•••OD为三角形4BC的中位线，

AD=-AB=-X8=4,

22

又•••OD=3,

0A=V/1D2+OD2=V42+32=5,

:.0E-OA=5,

vOE//CF,点。是AC中点，

•••OE是三角形4CF的中位线，

CF—20E-2x5=10,

故选：A.

由题知，4c为直径，得OD//BC,且OD是△48C的中位线，OE是三角形4FC的中位

线，根据勾股定理求出圆的半径即可.

本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的

性质是解题的关键.

9.【答案】A

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【解析】解：去分母得：x-4(x-2)=-k,

解得：x=节

x>0且x*2,

...?>0且殍#2,

解得：4>一8且*#一2,

二选项符合题意；

故选：A-

根据题意列出求k的取值范围的解答过程，再对比每个选项即可得出答案.

本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，根据题意正确得出不等式组是解决问题

的关键.

【答案】D

【解析】解：•直线y=-x+m不经过第一象限，

:.m<0,

当m=0时，方程ntx2+x+1=o是一次方程，有一个根，

当m<0时，

••・关于x的方程mV+x+1=0,

I2—4m>0,

二关于x的方程m*2+*+1=0有两个不相等的实数根，

故选：D.

由直线解析式求得，nW0,然后确定△的符号即可.

本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ox2+bx+c=0(a*0)的根

与△=〃-4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方

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程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根.

【答案】x>1且x丰2

【解析】解：由题意得，x-lNO且2》一4工0,

解得x>1且x丰2.

故答案为：丫21且万R2.

根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

12.【答案】s

8

【解析】

【分析】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出"，再

从中选出符合事件4或8的结果数目，”，求出概率.

画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果

数，然后根据概率公式求解.

【解答】

解：根据题意画图如下：

开始

1235123512351235

页，共26页

共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，

则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是2=

故答案为：

8

【答案】(30-10V3)

【解析】解：由题意可得，Z4DB=60°,44cB=45°,AB=30m,

在RtAABC中,

-.-Z.ACB=45°,

AAB=BC,

在Rt△ABD中,

・・・4。8=60。，

BD=gAB=10V3(m),

CD=BC-BD=(30-10V3)m,

故答案为：(30—10百).

在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案.

本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提.

14.【答案】①

2

【解析】解：・・・DE//BC,

Z-ADE-zfi,Z.AED=zC,

:△ADES^ABC,

.(AD\2_%/DE

•••SyDE=S四边形BCED，

9AD_DE_42

*9"AB~正一W

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故答案为：g

2

由。E//BC可得出△4DE"公力8C,利用三角形相似的性质结合SAADE=5四必施"。，

可得出=变=立即可求解.

ABBC2

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方

是解题的关键.

15.【答案】y="

【解析】解：•••图中阴影部分的面积为17万，

二圆的面积=4x17n-68",

.•.圆的半径=2旧，

P(4a,a)在圆上，

16a2+a2=(2V17)2,解得a=2或一2(舍去)，

尸点坐标为(8,2),

把P(8,2)代入y=三导k=8X2=16,

.••反比例函数的解析式为y=—.

故答案为丫=—.

根据反比例函数图象的对称性得到圆的面积=4x177r=68",再计算出圆的半径

=2旧，然后利用勾股定理得到16a2+a2=(2g)2,解得a=2或—2(舍去)，则P点

坐标为(8,2),然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求得仁

本题考查了待定系数法以及反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形

又是中心对称图形，对称轴分别是：/二、四象限的角平分线y=—x；②一、三象限的

角平分线y=x；对称中心是：坐标原点.

16.【答案】且或—在

22

第16页，共26页

【解析】解：由题意可知，方程一t=t2+2mt+m+3有唯一解，

整理得：t2+(2m+l)t+m+3=0,且4=0.

即(2m+I)2—4x(m+3)=0,

解得m=土弓.

故答案为：理或一旦.

22

根据题意列出关于t的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于"1的一元二次

方程，解方程即可求解.

此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，新定义、一元二次方程根的判别式、解

一元二次方程等，对“相反点”的理解是解决本题的关键.

17.【答案】解：Ya=2xl—+1

=2-1+1-1

=1,

工把a=1代入不等式得：2x+1>3(x—1),

去括号得：2x+l>3x-3,

移项合并得：—x>-4,

解得：x<4.

【解析】利用特殊角的三角函数值，零指数嘉、负整数指数嘉法则，以及算术平方根定

义求出a的值，代入不等式计算即可求出解集.

此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键.

18.【答案】解：(H__x+i)士/一

、*+1'X2+2X+1

=[二…+

lx+lJ(x+1)2

x2-(x+l)(x-l)(x+1)2

X+1(x+l)(x-l)

]X+1

x+1x-1

第17页，共26页

-x-f

•・,分式的分母x+1*0,x2—10,/+2》+1/0,

解得：XW±1,

・,•取x=0,

当x=0时，原式=7—7=—L

0—1

【解析】先算括号内的加法和减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可.

本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键.

19.【答案】解：。）如图所示，线段AN即为所求・

（2）如图所示，点M即为所求.

【解析】（1）作点B关于4。的对称点即可；

（2）作以48、4。为邻边的菱形即可得出答案.

本题主要考查作图一轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质及菱形的

性质等知识点.

20.【答案】解：（1）30+15%=200（人），

200-30-80-40=50（人），

直方图如图所示：

第18页，共26页

所摘取的学生知识渊试成援的探数・方图

(2)“良好”所对应的扇形圆心角的度数=36(Tx兽=144。.

(3)这次测试成绩的中位数是良好.

(4)1500X孩=300(人)，

答：估计该校获得优秀的学生有300人.

【解析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题

的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

(1)根据基本合格人数和已知百分比求出总人数即可解决问题.

(2)根据圆心角=360。x百分比计算即可.

(3)根据中位数的定义判断即可.

(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可.

21.【答案】(1)如图所示:

(2)4X(-5,九)，B(-py2),

A与B在y=-j上，y随x的增大而增大，二月v丁2；

第19页，共26页

C(x1(1),D(X2,6),

观察图象可得XI<x2；

故答案为V,<;

②当y=2,x4—1时，2=-j二*=-1；

当y=2时，x>-1时，有2=|x-1|,

x=3或x=-1；

③P(x3,y3)，Qg，")在*=一1的右侧，

.••-1WXW3时，点关于x=l对称，

»=丫4，

与+X4=2;

1由图象可知，0<a<2；

【解析】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准

确的画出函数图象是解题的关键.

(1)描点连线即可；

(2)J4与B在y=-：上，y随x的增大而增大，所以yi<y2；观察图象可得

②当y=2时，2=|x-l|,则有x=3或》=一1;

3由图可知-1WXW3时，点关于X=1对称，当旷3=时+工4=2；

，由图象可知，0<a<2；

22.【答案】解：

(1)连接0C,

第20页，共26页

・・・4。是00的直径，

••/.ACD=900,

AZ4DC4-ZC4D=90°,

又・・・0C=OD9

••Z-ADC=zOCD,

又：乙DCF=Z-CAD.

AzDCF+zOCD=90°,

・・・NOCT=90。，

即OC1FC,

FC是0。的切线；

3

(2)vzff=Z-ADC,cosB=

3

:.cos^-ADC=

在RSACD中,

•••cosN4DC=?=g,AD=2,

5AD

•••CD=AD-COS/.ADC=2x|=|,

AAC=V4D2-CD2=心一(J=冬

.CD_3

••就―1，

乙FCD=£FAC,Z.F=ZF,

/.△FCD9FAC,

.CD_FC_FD_3

a，7c~7A~7c~49

设FD=3x,则ZT=4x,4F=3x+2,

又•・•FC2=FDFA,

即(4x)2=3x(3x+2),

解得x=，或x=0（舍去）,

第21页，共26页

:.FD=3x若.

【解析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三

角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答

的前提.

(1)根据切线的判定，连接0C,证明出OC±FC即可，利用直径所得的圆周角为直角以

及等腰三角形的性质可得答案；

(2)由cosB=g,根据锐角三角函数的意义，圆周角定理和勾股定理可求出CD、AC反

—证明在R4C,再根据相似三角形的性质得到兽=；,设FD=3x,则

AC4FC4

FC=4x,4F=3x+2,进而可求出答案.

则(

23.【答案】解：(1)设y和X的函数表达式为/;4丫+乩4k+b=10000

、(5k+b=9500'

解得触温

故y和x的函数表达式为y=-500x+12000；

(2)设这一周该商场销售这种商品的利润为w元,

由题意得｛:高：1/：2000>6000)

解得3sxs12,

则w=y(x-3)=(-500x+12000)(x-3)=-500x2+13500x-36000,

•••w与x之间的函数关系式w=-500x2+13500X-36000,自变量的取值范围为

3<x<12.

【解析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)由周利润二每件的利润x销售量列出函数解析式，并根据销售单价不低于成本价，且

不高于15元/件求出自变量x的取值范围.

本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际

应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式

第22页，共26页

组.

24.【答案】2

s

【解析】解：的大小不变，sin/-ADE=理由如下:

•••四边形48CD是矩形，

•••4D=90。，

AAC=V/1D2+CD2=10,

由折叠得：ZF=ZD=90°,乙EPQ=3PQ,

.-.zD+zE=180°,

•••点。、Q、E、P共圆，

AADE=乙EPQ=/.DPQ,

"PQ1AC,

'.Z.ACD=Z.DPQ,

ALACD—/-ADE,

vsin/-ACD=-AC=­10="S,

:.sin/-ADE=1；

2由sin4DE=g,

318

・・・当4E1DE时，4E@小=AD-sinZ-ADE=6x-=",

故答案是：蔡；

(2)vzD=90°,

・•・DQ=PD・tanzDPQ=PD-tanz.4CD=4t•-=3t,

8

当0<tv2时，

s=LPDDQ=^X4t-3t=6t2,

第23页，共26页

如图1,

连接DE交PQ于尸交4c于。点，

312

vDF=PD'sinZ-ACD=4t--=-t,

：.DE=2DF=^-t,

•••DO^CD-sinz4CD=8x3=g24,

•••EO=DE-OD=g(t-1),

由△ERT-DCA得，

'OD)