湖南省“一起考”大联考2024届高三年级下册模拟考试数学试题（解析版）

湖南省“一起考”大联考2024届高三下学期模拟考试

数学试题（一）

一、选择题

1,已知aeR,若（3+1）。—㈤为纯虚数，贝产=

）

A.-3B.-2C.2D.3

1答案］A

k解析U因为(3+i)(l—oi)=(3+a)+(l—3a)i,acR,且(3+i)(l—ai)为纯虚数,

3+Q=0,

所以《1。八解得々=一3,

1—3aw0,

故选：A.

2.已知,=4,W=3,2与B的夹角为60。，则(a+2Z?)•(a-38))

A.-32B.-38C.-44D.-50

k答案IC

|2|2

K解析』［a+2b^•(a-3b^-a-6b-a-b=|tz|-6M-卜M|COS6二

42-6X32-4X3COS60°=-44)故选：C.

3.已知函数Ax）的图象如图所示，那么该函数可能为（)

Inlxl

B.

x

Inx八

x-1-----z-,X>0

------,%>0X

C./(%)=<e%D./(%)=

g,x<。

(%+l)ex,%<0

X

K答案』B

（解析力由图可知，函数/（X）为奇函数，而选项A中对应的函数是非奇非偶函数，于是排

除选项A;

当x-ff0,排除C；

当xe（O,l）时，从图象可知，/（%）<0,而对于选项。，lnx<0,三>0,所以/（幻>0,

与图象不符，排除选项。.

故选：B.

4.夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知

该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中

所=20cm,8=14cm,AE=3cm,AC=3技cm,则该容器的容积为（）（不考

虑材料厚度）

C.12957rcm3D.13957rcm3

k答案UD

K解析X由题意得，圆台的高/z=(理=79x26-9=15cm)

故该容器容积V=nxlO2x3+jX^uxlO2+7ix72+71X10X7)X15=1395兀(cm'),

故选：D.

5.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,8两点，点尸在圆（x—2p+y2=2上，则

面积的取值范围是

A.[2,6]B.[4,8]

C.[应，3应]D.[20,3&]

（答案』A

（解析U直线x+y+2=。分别与X轴，y轴交于A,B两点,

.•.A(-2,0),B(0,-2)则\AB\=242

点尸在圆(X—2)2+/=2上

|2+0+2|

圆心为(2,0),则圆心到直线距离4==2^/2

加

故点P到直线x+y+2=O的距离4的范围为[372]

1l

则5叱=5M到4=后出«2,6]

故(答案』选A.

6.已知函数〃x)=sin[2；Yj,将/(x)的图象向右平移,个单位长度后可以得到

g(x)的图象，则/(%)+g(%)的一个对称中心为()

、

B.

7

(答案』D

g(x)=/L—^Usin—兀=si.n。2x——兀=-cos。2x,

K解析』由题意可得:6I2

则/(x)+g(x)=sin2x---cos2x=—sin2x--cos2x-cos2x=

I622

sin2x--cos2x=Gsin(2x一父，

22I

AC兀1Ajt兀7_

令2%——=加=x=---\--.kGZ,

326

当左=一1时，x=-1,故［g,。)是/⑴+g(x)的一个对称中心

E1

兀

兀

左

由

+金Z

一--

26-3-3-故A错；

E24

兀

由

+n仁Z

一--

26-63-，故B错

E2

兀

兀

由

+n任

一--

26-6-3-Z,故C错;

故选：D.

7.如图所示，面积为兀的扇形中，Af,N分别在轴上，点尸在弧上（点尸与

点不重合），分别在点RN作扇形。儿W所在圆的切线I/且乙与人交于点Q，其

中4与无轴交于点A,则|NQ|+|Q?|的最小值为（）

A.4B.2A/3C.76D.2

K答案工B

K解析X因为扇形的面积为兀，即:兀叶=兀，所以|。"=2,

设/POM=e,则在RtAOPR中，|PH|=2tan。，

连接OQ,根据切线的性质知\QN\=\QP\,ZNOQ=|ZNOP=^-1,

则在RLANOQ中，|NQ|=2tan]]—

所以|NQ|+1QR|=|PR|+21NQ|=2tan6+4tan]：一■|16J。,1

令&=4一2,则夕=二一2。，且

422I4j

2.l-tan2a

所以原式二2tan1+4tana+4tana=+4tana

tan2a-----------tana

=3tanaH--一>2J---3tana=2A/3,

tanavtana

当且仅当3tana=^—,即tana=且时，等号成立,

tana3

jr

又所以。=—=9=NPOM时,|NQ|+|QR|取得最小值，为2g，

6

故选：B

13

8.设。=51口0.2/=0.16,。=—In—,贝ij(

22

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

K答案』D

K解析』设〃x)=sinx-(九一%2),x£[o,o.2],尸(x)=cosx—l+2x,

设g(x)=/'(%)，g'(x)=-sinx+2>0,所以g(x)lg(0)=°,

所以函数“可在［0,02］上单调递增,

所以/(0.2)=sin0.2-(0.2-0.22)=sin0.2-0.16>/(0)=0,即“>b.

1311.211+0.2

根据已知得c=—l1n—=—1In—=—1In-----,

2220.821-0.2

可设/z(%)=+九)一In。一九)]-sinx,x<0,0.2],

「，/'1111

贝股(%)=-----+-----COSX=--------7-cosx>0,

\)2U+X1-xJ1-x2

所以函数人⑺在［0,0.2］上单调递增,

所以/2（0.2）>九（0）=0,即c>a.

综上，c>a>b.

故选：D.

二、选择题

9.已知〃>0,人>0,。+6=",则(

A.a+b<4B.ab>4

122

C.a+4b<9D.▼+

a2b23

K答案工BD

K解析X对于A和B,因为a+b=，所以a+Z?»4,当且仅当a=8=2时,

等号成立,

a+b=ab>2y[ab，则当且仅当Q=/?=2时，等号成立，故A错误，B正确;

对于C,若a+b=ab,则,+―=1,

ab

所以。+4〃=（。+4人）［工+工］=5+4+竺之5+2、^^=9,

b）bavZ?a

a4b3

当且仅当;=丝，即6=—,a=3时，等号成立，故C错误；

ba2

对于D,若a+b=ab,则,+,=1,

ab

122

所以3+：=+一，

a2b2b2b2b［b3J3

由a>03>0及4+工=1,可知0<工<1,则当

abbb3

3122

即a=—力=3时，=+言取得最小值;，故D正确.

2a2b23

故选：BD.

10.如图，在正方体ABC。—A4G2中，E,歹分别为3C,CC]的中点，则下列结论正确

A.直线A也与所所成的角的大小为60

B.直线A2〃平面£)£厂

C.平面DEF，平面BCG用

D.四面体O—ETC外接球的体积与正方体ABC。-aqGR的体积之比为为

8

K答案XABD

K解析工对于A：连接5cle4,如图，由正方体的结构特征知，忸£|=|4同=|4。，

即VA3C]为正三角形.又因为瓦歹分别为BC,CG的中点，则所〃BG，

因此直线A.B与针所成的角即为直线A.B与BG所成的角，即4BQ或其补角，

又NABG=6O,所以直线46与所所成的角的大小为60，A正确；

对于B：因为EF〃BG,所以AD]〃E”A，<z平面DEREEu平面DEF，

故直线A，//平面。郎，B正确；

对于C：取所的中点为/,连接DM,显然|。同=|。耳，口的中点为/,则WEF,

假设平面DEF，平面BCC]BI,而平面DEFC平面BCC.B,=EF,

于是DM1平面3。£用，又。C,平面3CC由，则£>A/〃OC,与DM〔DC=D矛

盾，C错误；

对于D：不妨设正方体的棱长为2a,则正方体的体积为匕=8/,又因为四面体C-DEF

的三条侧棱CE,CF,CD两两垂直，则它的外接球即为以CE,CF,CD为棱的长方体的外接

球,

于是球的直径2R=+/+（2Q）2=血〃,

体积为匕=4兀7?3=3兀x（如a]=y/6na3,于是匕：％=则，D正确，

-3312J218

故选：ABD.

11.玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑

球”为A，“第一次取得白球”为&,“第二次取得黑球”为耳，“第二次取得白球“为8”则

A.2（44）=尸（4与）B.P（A52）=P（44）

C尸（4|A）+P（图4）=1D.P（囱A）+P（4|4）＞1

k答案1BCD

C11

K解析》对A,由题意，第一次取得黑球概率p（a）=才=a，

第一次取得白球的概率p（4）="=j,

C1C11

第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率

C6c513

CC42

第一次取得白球、第二次取得白球的概率。（4与）=不疗=1，

C6c5〉

则尸（44）/?（4与），所以A错误；

c；c；=4

对B,第一次取得黑球、第二次取得白球的概率。（44）=

第一次取得白球、第二次取得黑球的概率,

C6c513

则尸（4鸟）=尸（&4）,所以B正确;

14

对c,由F⑻4）=靠=早=＞网4）=常=

15=f

1-5

33

得「（4|4）+。（匐4）=1，所以c正确;

4

P")

对D,由尸㈤4）=号二，得所以D正确.

尸(4)455

3

故选：BCD.

三、填空题

12.已知全集。={—3,—2,—1,0,123,4},集合4={—集一1,0,3,4},3={0,1,2,3},则

(”)IA=

(答案】{-3,-1,4}

k解析》由已知65={—3,—2,—1,4},又人={—3,—1,0,3,4},

所以@3)A={-3-1,4}.

故K答案』为:{-3-1,4}

13.已知椭圆。：=+2=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为耳，F2,P是c上一点，且

ab"

PF?工FR,//是线段尸耳上靠近耳的三等分点，且OHPF]=。,则C的离心率为

[答案X

-2

k解析I由题意，不妨设点尸在第一象限，如图.

因为尸招上片鸟，则|PFJ=_L,\pp\=2a-—=Cl+C,|孙|=3%1+c

aaa33〃

因为OH.P£=0,则OH，尸耳，可知△尸耳工6/\。""，

则怩K町即2c

则网L一I西I’即K——一，整理得c2-46ac+O1=0-

c

a

由e十得片-瓜+1=。，解得e="或八号〉一舍去）,

所以c的离心率为近二正

2

故（答案I为：二一佟

2

14.已知数列｛4｝为公差不为0的等差数列，生=5,且%，生，《4成等比数列，设[尤]表示

不超过X的最大整数,如同=3,[―1.5]=—2,记bn=[log2a„],Sn为数列也｝的前〃项和,

则^100=---------.

K答案』573

K解析I由数列｛4｝是等差数列，设其公差为d（dw。），因为〃2，%，％4成等比数列，

所以〃2〃i4=d，即（5—d）（5+lld）=（5+2d）2,解得d=2或d=O（舍去），

所以%=5+2（九一3）二2〃一1,贝IJ%OO=199.

当2"KXV2"+I时，。（^司二〃，

n

即[log2（2+1）]=[log2（2"+3）]==[1叫（2用—明=〃，共有2"T个",

因为2,<199<28,所以岳0G=4+4++Z?100=[log21]+[log23]++[log2199]

199—127

=0+2°义1+21义2++25X6+------------X7=1X2°+2X2,+3X22++6X25+36X7

2

4?；,=1X2°+2X21+3X22++6X25,贝ij2]=1x2]+2x2?+3x2,++6x26,

两式相减得一方=2°+:+2++25-6X26,则7；=5X26+1,

所以Roo=5x26+1+36x7=573,

故[答案X为：573.

四、解答题

3

15.在一ABC中，内角A,3,C的对边分别为a,/?,c,且cosA=g,(a+c)(sinA+sinC)=

bsinB+3csinA.

(1)证明：A5c是锐角三角形；

(2)若。=2,求的面积.

(1)证明：因为(Q+c)(sinA+sinC)=/?sinB+3csinA,

所以由正弦定理得(a+c)2=〃+3ac,整理得1+C2—方2=改.

a2+c2-b2

则cosB=匹=工，因为6e(O,7i),所以B=

laclac2'’3

/

3j_7171，因为A+C=@

因为COSA=g£~T~,AG(0,71),所以Ae

224,J3

71571|

所以Ce所以一ABC是锐角三角形.

34

(2)解：因为cosA=q,所以sinA=《,

sinAcosBcosAsinB=lxl4x^=^

所以sinC=sin(A+j?)=+

525210

2_c

在JRC中，由正弦定理得一匕=」一，即4—4+3g，

sinAsinC工-------

510

所以c=

4

二匚l、【AiV1777；Tn1.r*1c4+3^/^,\/39+

所以ABC的面积为一acsinB=—x2x--------x-^—=---------

22428

16.如图，在多面体A3CDE/中，四边形A5CE和四边形CDE厂是全等的直角梯形，且这

JT

两个梯形所在的平面相互垂直，其中ZABC=ZBCE=ZCDE=NDEF=—,CE=

2

EF=2AB=2CD.

A

(1)证明：。£上平面BCD；

(2)求平面BCD和平面AB/的夹角的余弦值.

(1)证明：因为平面ABC£_L平面COM,平面ABCEc平面CD£F=C£,

71

又NBCE=—,即3cl.cE,且BCu平面ABCE,所以3C_L平面CDEF,

2

又DEu平面CDER故5C，£)£,

jr

又/CDE=—,即DEIC。，且3CcCD=C,BC,CDu平面BCD,

2

所以DE，平面BCD；

(2)解：取跖的中点G,连接CG,如图.由防=2CD,EF//CD,得EG//CD,EG=CD,

故四边形CDEG为平行四边形，则CG〃0E,又CD：LDE,所以CGJLCD.

由(1)知平面CDEE所以BCLCD.BCLCG,

则直线CG,CD,CB两两垂直，以C为原点CG、CD、CS所在的直线分别

为X、外z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设CD=1,则AB=1,EF=CE=2,

由勾股定理得DE=&CF=2,由全等关系知BC=^3,AE=2,

故。(0,0,0),。(0,1,0),3(0,0,后),6(石,0,0)

川6—1,0)司国,0),A伸

''(22J

21大RF

从而氏4=Iy，5,0｝板=

设平面A2F的法向量为“=(x,y,z),

BF-n=0

令x=l,则)=—V§\z=2,故〃=(1,—.

由(1)知。石工平面BCD故平面BCD的法向量为。石=(6,0,0),

设平面BCD和平面ABF的夹角为6,

n-DE6=g

故cos6=cosn,DE\

i+M2忘义百一4

17.己知函数/(x)=ox+lnx+l,g(x)=xel-2x.

(1)若以x)的极大值为1,求实数a的值;

(2)若。=一1,求证：/(x)<g(x).

(1)解：/⑺的定义域为(0,+8),f\x)=a+-=^-.

XX

当时，f'(x)>0,"X)在(0,+8)上单调递增，函数/(X)无极值;

当4<0时，令/'(x)>。，得0<%<—,令/'(X)<。，得九〉—，

aa

所以在［°，一)］上单调递增，在［-g,+")上单调递减，

故当％=—，时，〃尤)取得极大值，极大值为/=L］=1,解得〃=—工.

a\\aJe

经验证a=-工符合题意，故实数〃的值为-L

ee

(2)证明：当a=—l时，/(x)=lnx-x+l,故要证/(x)Kg(x),

即证xe*-x-lnx-l>0-

令F(x)=xex-x-lnx-1,则F'(x)=(x+l)ex---1=(x+l)|ex--|,x>0.

xx)

令G(x)=e、—！，x>0,贝UG'(x)=eX+3>0,

XX

所以G(x)在(0,+8)上单调递增,

又因为G7e-2<0,G(l)=e-l>0,

使得(即。=工，

所以3x0ef—,1G%)=0,1

xo

当xe(O,Xo)时，G(-r)<0,当工武的+⑹时，G(x)>0,

所以F(x)在(0,x0)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以尸(%)疝n=尸(％)=/e阳-x0-lnx0-l.

打1

又因为e%=一,即Xo=_lnxo,

%

所以/(©min=1_/+/_1=0,

所以b(x)»0,即疣工―x—lnx—GO，故/(X)<g(x)得证.

18.某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高

二学生和机(加>50)位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热

爱”的观点，得到如下数据：

百一

观点同一*IWJ三

热爱3020

不热爱20

(1)以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二

学生中随机抽取3名学生，记X为这3名学生中热爱数学的学生人数，求X的分布列和期

望；

(2)若根据小概率值。=0.01的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数加

的最小值.

2_n（ad-be）?

八（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

303

解：(1)由题意可知，高二学生热爱数学概率为尸=一=—,热爱数学的学生人数

505

贝1JP（X=O）=P（X=1）=C；

P（X=2）=C[|）]|J喂

故X的分布列为:

X0123

8365427

P

125125125125

3Q

X的期望为E（X）=3x]=].

(2)因为根据小概率值。=0.01的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关,

所以力2_（50+m）[30（m-20）-400]2

>6.635，

50x50xmxm

令/（帆）=（50+w）[30（加一20）—400]2-6.635x50x50xmxm,则/（m）>0,

所以广（加）=25（108/7?-2527m-80000）,

因为y=25（108m2-2527m-80000）的对称轴为m=/孺<50,

且当加=50时，y>0,

所以（m）=25（108，"2-2527m-80000）在［50,-H»）上恒大于0,

所以/（m）在［50,+s）上单调递增,

而〃56）<0,〃57）>0,

所以实数小的最小值为57.

22

19.已知双曲线E：=_1=1（a>0,%>0）一个顶点为4（一2,0）,直线/过点。（3,0）

ab

交双曲线右支于M,N两点，iB,AMN,AA