小学尺规作图教学的思考与实践

【摘

要】尺规作图是《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域小学部分的新增内容，对培养学生的核心素养起着重要作用。以“作三角形”内容为例，通过先后两轮教学设计及改进实施，发现：“作三角形”对学生来说有一定的难度，教学中，可以动手操作奠基，动态演示助力，拓展练习延伸，更好地发展学生的几何直观与推理意识。【关键词】尺规作图；作三角形；几何直观；推理意识“尺规作图”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称为《课程标准》）“图形与几何”领域小学部分的新增内容，对培养学生的核心素养起着重要作用。尺规作图是指用无刻度直尺和圆规进行作图。直尺的作用是画线段、射线和直线，圆规的作用是画圆或截取相等的长度。［1］尺规作圖过程能将抽象的推理过程直观化、外显化，使学生做到手脑并用、做学合一，培养了学生的推理意识和几何直观。以前，尺规作图要到初中阶段才开始学习，现在将尺规作图下移至小学阶段，这使得尺规作图教学遇到了全新的挑战。那么，小学阶段应该如何开展尺规作图的教学设计与实践呢？本文以“作三角形”为例，通过两轮教学设计及实施，探索小学尺规作图的教学路径。一、小学阶段引入尺规作图的原因（一）加强中小学课程衔接针对尺规作图，中小学数学课程存在衔接问题。以往的小学数学课程中，只涉及用圆规画圆的内容，到初中阶段，学生学习用尺规作图时，就会遇到很大的困难。因此，《课程标准》依据学生身心发展规律，在小学阶段增加了“会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段”（简称“作等长线段”）、“经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线的过程，直观感受三角形的周长”（简称“作三角形三条边”）、“要引导学生经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三边”（简称“作三角形”）三个尺规作图内容，为初中尺规作图的学习奠定基础，以实现义务教育阶段数学课程的连续性、统一性、整体性［2］。（二）注重核心素养的培养尺规作图是培养学生几何直观和推理意识的有效手段。一方面，学生利用尺规作图，可以将头脑中的思维转化为直观图形，通过实际画图，让思维可视化，有助于培养学生的几何直观。另一方面，在作图操作过程中，学生可以加深对定理和命题的理解，有助于培养学生的推理意识。［3］（三）实现“做中学，创中学”尺规作图是典型的“做中学，创中学”方法。通过尺规作图，学生积极想象，动手操作，主动构造，从而激发了学习兴趣。学生构思如何用直尺和圆规作图的过程是“做中学，创中学”的具体体现。构思时，学生首先应考虑作图的关键是什么。他们要先初步想象出利用尺规作图后所形成的图形，其次构思具体操作步骤，最后将作图的过程有条理地表达出来。［4］以“作三角形”为例，学生需要在头脑中构思，先作一条边，然后确定第3个顶点。再通过不断尝试、操作，经历找点的过程，及时反思，最终体会到需要找到两弧的交点。整个学习过程，学生通过想象、操作、推理活动，培养了创新能力和探究能力。［5］二、教学设计与实践六年级学生的几何思维正处于从非形式化水平向形式化水平过渡的阶段。［6］学生四年级时通过摆小木棒活动直观感知了“三角形任意两边之和大于第三边”的三角形三边关系，六年级在“圆”单元又学习了用圆规画圆对用尺规作图作三角形有一定的基础。同时，学生也面临一些挑战：习惯用有刻度直尺，不习惯使用无刻度直尺；对圆规的使用仅停留在画圆层面；未学习过用圆规作等长线段，直接“作三角形”对他们而言具有挑战性。本内容是在学生学习了“认识三角形”“三角形三边关系”“圆的认识”的基础上展开的，重点是引导学生理解并掌握“借助无刻度的直尺和圆规画出指定边长的三角形”的做法。基于此，笔者在北京市海淀区某小学六年级两个班先后实施两轮教学。具体教学目标如下。（1）通过对比多种画三角形的方法，掌握用尺规画圆弧作三角形的方法，培养推理意识。（2）利用尺规作图感知三角形的任意两边之和大于第三边。（3）在与他人的合作交流中，能提出问题，并对自己及他人的问题解决过程给出合理解释，会用数学的思维来思考问题，提高学习成就感。教学重点：会用尺规画圆弧作三角形，理解三角形任意两边之和大于第三边，能有条理地表达作图过程。教学难点：经历尺规作图的过程，提高学生的尺规作图技能，能根据条件作三角形，能理解作图的依据。（一）第一轮教学设计及分析1.第一轮教学过程（1）活动1：回顾旧知教师提问：“大家学习过用圆规画图，圆规可以画什么图形？画出来的图形有什么特点呢？”引导学生回顾圆规能画圆，并回忆圆的相关知识。教师出示无刻度直尺，提问：“仔细观察这把直尺，它和我们平时使用的直尺有什么区别？它可以用来画什么？”明确无刻度直尺能画直线。同时让学生想象一下圆规和无刻度直尺能画什么图形，鼓励学生用尺规动手画一画。（2）活动2：合作探究、作三角形教师引导学生回忆三角形的特征，并提问：用尺规可以作出三角形吗？布置任务：尝试用圆规和无刻度直尺，将任务1中的三条线段围成三角形。展示交流：展示学生的不同作图方法。方法1：用直尺大概作图（如图1）。方法2：利用圆规卡出两个点，大概作图（如图2）。方法3：用圆规画圆弧的方式作图（如图3）。教师引导全班学生交流讨论，分析每种方法的优缺点，共同总结结论：第1、第2种作图方法不够精确，第3种作图方法能准确、快速作出三角形。（3）活动3：探究三角形三边关系在活动2基础上，教师引导学生思考：任何三条线段都能画成一个三角形吗？接着出示任务2，让学生观察三组线段，判断哪些能构成三角形，并动手画一画，验证判断结果。学生通过动手作图进行验证后，教师启发他们思考：每组任务三条边的长度有什么关系？构成三角形的三边必须满足什么条件？2.教学实施结果分析对任务1中的学生作图方式进行统计，发现：由于受到圆规画圆的思维定式的影响，约有21.4%的学生采取随意画圆的方式作图，但没能作出三角形（如图4）；由于六年级学生之前没有学习过用尺规作等长线段，约有47.6%的学生通过卡长度画三角形（如图2）；约有7.2%的学生在理解了“任意两边之和大于第三边”的情况下，选择凑出一个三角形（如图5）；仅有约23.8%的学生通过画圆弧作三角形（如图3）。可见本次教学设计存在较大问题，学生的学习效果并不理想。在第一轮教学设计实施之后，對教学设计作如下调整。（1）在任务单上直接给出三角形底边（其中一条边）的位置，给学生一个尺规作图的支架，防止他们随意画圆，并引导学生将重点放在“如何找到第3个顶点”上。（2）从用小木棒摆三角形引入，帮助学生搭建学习基础，让他们直观地体会画圆弧的过程，将小木棒抽象成线段，培养学生的抽象能力。（3）第一轮教学设计中的活动3是在预设学生未学过“任意两边之和大于第三边”的三角形三边关系的情形下开展的。第二轮教学设计则将三角形三边关系作为前提进行教学。（4）设计拓展习题，打开学生思路，帮助学生突破惯性思维，激发学生的创新意识，培养学生的思维能力和空间想象能力。基于以上对第一轮教学设计的调整，继续开展第二轮教学活动，并在同一学校六年级的另外一个班实施教学。（二）第二轮教学设计及分析1.第二轮教学过程（1）活动1：摆三角形教师带领学生完成热身游戏：用工具袋中的3根小木棒拼成一个三角形。让学生动手操作，直观感受拼三角形的过程，明确在不断调整小木棒摆三角形的过程中蕴含着圆弧，为用圆规画圆弧作三角形奠基。教师提问：“你是一下就拼成三角形的吗？你做了怎样的调整？”教师展示学生的操作调整过程，提问：“调整到什么时候就拼成了三角形？”然后利用课件动态演示摆小木棒的过程（如图6），引导学生关注2根小木棒相交时产生的交点，即拼成三角形的关键是确定第3个顶点。（2）活动2：作三角形教师引导学生通过动态演示总结出小木棒与圆规有相同之处，并提问：用尺规可以作出三角形吗？布置任务：运用圆规和无刻度直尺作出一个三角形，以任务1中的c作为三角形的一条边，a和b作为另外左右两条倾斜的边。展示交流：展示学生的不同作图方法。方法1：用直尺大概作图（如图1）。方法2：利用圆规卡出两个点，大概作图（如图2）。方法3：用圆规画圆弧的方式作图（如图3）。教师引导全班学生交流讨论，分析每种方法的优缺点，共同总结结论：第1、第2种作图方法不够精确，第3种作图方法能准确、快速作出三角形。（3）活动3：探究三角形三边关系在活动2基础上，教师提问：“任意三条线段都能画成一个三角形吗？”引导学生回忆四年级学过的结论“任意两边之和大于第三边”，并以此为猜想，通过动手作图来验证猜想。学生通过动手作图进行验证后，得出结论“当任意两条线段的长度和大于第三条线段的长度时，才能画出三角形”。（4）课外作业：拓展练习布置课外作业：点A在直线l上，点B在直线l外，请在直线l上找到点C，使得△ABC构成等腰三角形。通过尺规作图作等腰三角形，既可分别将线段AB作为底边或腰，作出多个等腰三角形，也可采用对折方法完成。这样的拓展练习既可以拓宽学生的思考视野，又可以培养他们的创新意识。2.教学实施结果分析对第二轮教学任务1中学生的作图方式进行统计，发现：约有84.6%的学生能直接想到画圆弧的方式来画三角形，仅有15.4%的学生用圆规卡长度的方式作三角形，且没有随意画圆的学生。由此可见，在改进教学设计后，学生的学习效果得到明显提升，作图情况有了较大变化。三、教学思考（一）动手操作奠基，开启思维之门小学生的思维水平总体较低，动手画图的活动经验积累较少，难以直接借用知识和经验去解决问题。第二轮教学中，教师在开展探究活动前，让学生动手操作摆三角形，在此的基础上引导学生将3根小木棒抽象成三条线段，为使用圆规画圆弧奠基，学生的学习效果得到明显提升。因此，只有让学生的思维顺着支架螺旋式上升，才能让学生掌握学习数学的思维方式。（二）动态演示助力，增强几何直观小学生因其自身的年龄特征和心理特征，对动手操作、动态演示比较敏感，能直观感知其数学本质。在第二轮教学中，教师先引入“用3根小木棒搭三角形”的活动，再利用课件动态演示“确定第3个顶点”的过程，最后，以操作演示轨迹类比用尺规作图，引导学生掌握用尺