高考数学一轮复习课后限时集训56圆锥曲线中的定点与定值问题文北师大版

课后限时集训56圆锥曲线中的定点与定值问题建议用时：45分钟1．(2019·威海模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.(1)求p的值；(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为－eq\f(8,3)，证明直线MN过定点，并求出定点的坐标．[解](1)设Q(x0,4)，由抛物线的定义，得|QF|＝x0＋eq\f(p,2)，又|QF|＝2|PQ|，∴2x0＝x0＋eq\f(p,2)，解得x0＝eq\f(p,2)，将点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，4))代入抛物线C的方程，得p＝4.(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝8x，∴点T的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))，设直线MN的方程为x＝my＋n，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),8)，y1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),8)，y2))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋n，,y2＝8x))得y2－8my－8n＝0，∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，∴kMT＋kNT＝eq\f(y1＋2,\f(y\o\al(2,1),8)－\f(1,2))＋eq\f(y2＋2,\f(y\o\al(2,2),8)－\f(1,2))＝eq\f(8,y1－2)＋eq\f(8,y2－2)＝eq\f(8y1＋y2－32,y1y2－2y1＋y2＋4)＝eq\f(64m－32,－8n－16m＋4)＝－eq\f(8,3)，解得n＝m－1，∴直线MN的方程为x＋1＝m(y＋1)，过定点(－1，－1)．2．(2019·郑州模拟)已知F是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且eq\o(MF,\s\up8(→))＝(4,0)．(1)求抛物线C的方程．(2)直线AB与抛物线C分别相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|x2－x1|＝3，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．[解](1)设M(x0，y0)，由题知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以eq\o(MF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x0，\f(p,2)－y0))＝(4,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x0＝4，,\f(p,2)－y0＝0，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－4，,y0＝\f(p,2)，))将其代入x2＝2py(p＞0)中，得16＝p2，解得p＝4或p＝－4(舍去)，所以抛物线C的方程为x2＝8y.(2)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋b.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＝8y，))整理得x2－8kx－8b＝0，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝8k2＋2b，设AB的中点为Q，则点Q的坐标为(4k,4k2＋b)，由条件设切线的方程为y＝kx＋t(t≠b)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,x2＝8y，))整理得x2－8kx－8t＝0.因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝64k2＋32t＝0，所以t＝－2k2.则x2－8kx＋16k2＝0，解得x＝4k，所以y＝2k2.所以切点N的坐标为(4k,2k2)．又点Q的坐标为(4k,4k2＋b)．所以NQ⊥x轴，所以|NQ|＝4k2＋b－2k2＝2k2＋b，因为|x2－x1|＝3，(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝64k2＋32b，所以2k2＋b＝eq\f(9,32).所以S△ABN＝eq\f(1,2)|NQ|·|x2－x1|＝eq\f(1,2)(2k2＋b)·|x2－x1|＝eq\f(27,64)，所以△ABN的面积为定值，且定值为eq\f(27,64).3．(2019·黄山模拟)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，设P，Q分别是椭圆C的上、下顶点，且四边形PF1QF2的面积为2eq\r(3)，其内切圆周长为eq\r(3)π.(1)求椭圆C的方程；(2)当b＞c时，A，B为椭圆C上的动点，且PA⊥PB，试问：直线AB是否恒过一定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．[解](1)依题意，四边形PF1QF2的面积为2eq\r(3)，则4×eq\f(1,2)×b×c＝2eq\r(3)，即bc＝eq\r(3)，四边形PF1QF2的内切圆周长为eq\r(3)π，设内切圆半径为r.由2πr＝eq\r(3)π，得r＝eq\f(\r(3),2)，由bc＝ar＝eq\r(3)，得a＝2，又a2＝b2＋c2＝4，且bc＝eq\r(3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,c＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝\r(3).))所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)因为b＞c，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，则P(0，eq\r(3))．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝kx＋m，))消去y，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，则x1＋x2＝eq\f(－8km,4k2＋3)，x1x2＝eq\f(4m2－12,4k2＋3)，Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＞0(*)，由PA⊥PB，可得eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PB,\s\up8(→))＝0，即(x1－0)(x2－0)＋(y1－eq\r(3))(y2－eq\r(3))＝0，即x1x2＋y1y2－eq\r(3)(y1＋y2)＋3＝0，又y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，所以eq\f(4m2－12,4k2＋3)＋eq\f(4k2m2－12k2,4k2＋3)－eq\f(8k2m2,4k2＋3)＋m2＋eq\f(8\r(3)k2m,4k2＋3)－2eq\r(3)m＋3＝0，整理得eq\f(7m2－6\r(3)m－3,