高考数学（理）创新大一轮第五章平面向量复数第4节

第4节数系的扩充与复数的引入最新考纲1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设eq\o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)．[常用结论与微点提醒]1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)原点是实轴与虚轴的交点．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小．答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．(2018·湖州调研)设i是虚数单位，复数1－2i的虚部是()A．－2 B．2 C．－2i D．2i解析复数1－2i的虚部是－2.答案A3．(2017·全国Ⅱ卷)eq\f(3＋i,1＋i)＝()A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i解析eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝2－i.答案D4．(选修2－2P112A2改编)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i解析∵A(6，5)，B(－2，3)，∴线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.答案C5．已知(1＋2i)eq\o(z,\s\up6(－))＝4＋3i，则z＝________．解析∵eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(（4＋3i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，∴z＝2＋i.答案2＋i6．(2018·金华调研)设a∈R，若复数eq\f(a＋i,1＋i)(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________，|eq\o(z,\s\up6(－))|＝________．解析复数eq\f(a＋i,1＋i)＝eq\f(（a＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(a＋1＋（1－a）i,2)，由于复数eq\f(a＋i,1＋i)(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＋1＝1－a，解得a＝0，则z＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，则|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2).答案0eq\f(\r(2),2)考点一复数的有关概念【例1】(1)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A．i B．－i C．1 D．－1(2)(2018·台州调考)已知复数z＝eq\f(1＋ai,i)(a∈R)的实部为1，则a＝__________，|z|＝__________．解析(1)因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i.所以应选A.(2)z＝eq\f(1＋ai,i)＝a－i，实部a＝1，所以z＝1－i，|z|＝eq\r(2).答案(1)A(2)1eq\r(2)规律方法(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．【训练1】(1)(2017·天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若eq\f(a－i,2＋i)为实数，则a的值为________．(2)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________．解析(1)eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(（a－i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(（2a－1）－（a＋2）i,5)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(a＋2,5)i为实数，则eq\f(a＋2,5)＝0，即a＝－2.(2)因为复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，即eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2－b2i2＝a2＋b2＝3.答案(1)－2(2)3考点二复数的几何意义【例2】(1)(2018·浙江“超级全能生”联考)在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为eq\o(OP,\s\up6(→))，复数z2对应的向量为eq\o(OQ,\s\up6(→))，那么向量eq\o(PQ,\s\up6(→))对应的复数为()A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i(2)(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)解析(1)因为z2＝－2i，而eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))，故向量eq\o(PQ,\s\up6(→))对应的复数为－2i－(1－i)＝－1－i，故选D.(2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的对应点在第二象限，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,1－a>0，))∴a<－1，故选B.答案(1)D(2)B规律方法因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．【训练2】(1)复数z＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为()A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)(2)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________．解析(1)因为z＝i(1＋i)＝－1＋i，故复数z＝i(1＋i)在复平面内所对应点的坐标为(－1，1)，故选D.(2)(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.答案(1)D(2)－1考点三复数的运算【例3】(1)(2017·山东卷)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝()A．－2i B．2i C．－2 D．2(2)(2018·绍兴调测)已知i是虚数单位，复数z＝eq\f(1,2＋i)，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．25 B．5 C.eq\f(1,25) D.eq\f(1,5)解析(1)由zi＝1＋i，得z＝eq\f(1＋i,i)＝1－i，∴z2＝(1－i)2＝－2i.(2)∵z＝eq\f(1,2＋i)＝eq\f(2－i,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(2－i,5)＝eq\f(2,5)－eq\f(1,5)i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(2,5)＋eq\f(1,5)i，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(1,5)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)＋\f(1,5)i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,5).答案(1)A(2)D规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i；④eq\f(a＋bi,i)＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．【训练3】(1)(2016·北京卷)复数eq\f(1＋2i,2－i)＝()A．i B．1＋i C．－i D．1－i(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(6)＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________．解析(1)eq\f(1＋2i,2－i)＝eq\f(（1＋2i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(2＋i＋4i＋2i2,4－i2)＝eq\f(5i,5)＝i，故选A.(2)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（1＋i）2,2)))eq\s\up12(6)＋eq\f(（\r(2)＋\r(3)i）（\r(3)＋\r(2)i）,（\r(3)）2＋（\r(2)）2)＝i6＋eq\f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝－1＋i.答案(1)A(2)－1＋i基础巩固题组一、选择题1．(2018·金华十校模拟)已知i为虚数单位，则|3＋2i|＝()A.eq\r(5) B.eq\r(7) C.eq\r(13) D．3解析|3＋2i|＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13).答案C2．(2017·全国Ⅰ卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i)解析由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C.答案C3．(2017·全国Ⅲ卷)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析由题意：z＝－1－2i，其在复平面内所对应的点位于第三象限．答案C4．(2017·山东卷)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\o(z,\s\up6(－))＝4，则a＝()A．1或－1 B.eq\r(7)或－eq\r(7) C．－eq\r(3) D.eq\r(3)解析由已知得(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝4，∴a2＋3＝4，解得a＝±1.答案A5．(2018·杭州模拟)设z＝eq\f(i,1－i)(i为虚数单位)，则eq\f(1,|z|)＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2) C.eq\f(1,2) D．2解析复数z＝eq\f(i（1＋i）,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，则|z|＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,|z|)＝eq\r(2).答案B6．已知复数z＝eq\f(1＋2i,2－i)(i为虚数单位)，则z的虚部为()A．－1 B．0 C．1 D．i解析∵z＝eq\f(1＋2i,2－i)＝eq\f(（1＋2i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(5i,5)＝i，故虚部为1.答案C7．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于()A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i解析由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.答案C8．(2018·浙江三市联考)若复数z＝eq\f(a＋3i,i)＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是()A．－4 B．－3 C．1 D．2解析因为z＝eq\f(a＋3i,i)＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，所以a<－3，选A.答案A9．设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0解析举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.答案C10．(2017·北京东城综合测试)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为()A．－1 B．0 C．1 D．2解析因为复数(m2－m)＋mi为纯虚数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m＝0，,m≠0，))解得m＝1，故选C.答案C11．(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A．1 B.eq\r(2) C.eq\r(3) D．2解析由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＝y))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))所以|x＋yi|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(2)，故选B.答案B12．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则eq\o(z,\s\up6(－))1＝eq\o(z,\s\up6(－))2B．若z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2，则eq\o(z,\s\up6(－))1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·eq\o(z,\s\up6(－))1＝z2·eq\o(z,\s\up6(－))2D．若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)解析A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故eq\o(z,\s\up6(－))1＝eq\o(z,\s\up6(－))2，成立．B中，z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2，则eq\o(z,\s\up6(－))1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1·eq\o(z,\s\up6(－))1＝z2·eq\o(z,\s\up6(－))2，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋eq\r(3)i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝－2＋2eq\r(3)i，zeq\o\al(2,2)＝4，zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2).答案D二、填空题13．设i是虚数单位，则复数i－eq\f(1,i)＝________．解析i－eq\f(1,i)＝i－eq\f(i,i2)＝2i.答案2i14．(2017·江苏卷)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．解析z＝(1＋i)(1＋2i)＝－1＋3i，所以|z|＝eq\r(（－1）2＋32)＝eq\r(10).答案eq\r(10)15．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．解析由已知(a＋bi)2＝3＋4i.即a2－b2＋2abi＝3＋4i.从而有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,ab＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))则a2＋b2＝5，ab＝2.答案5216．(2018·宁波质测)若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＝________；b＝________．解析eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(（3＋bi）（1＋i）,2)＝eq\f(1,2)[(3－b)＋(3＋b)i]＝eq\f(3－b,2)＋eq\f(3＋b,2)i.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3－b,2)，,b＝\f(3＋b,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝3.))答案03能力提升题组17．设z＝eq\f(1,1＋i)＋i，则|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2) D．2解析∵z＝eq\f(1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i,（1＋i）（1－i）)＋i＝eq\f(1－i,2)＋i＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，故选B.答案B18．(一题多解)(2018·金丽衢十二校二联)设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．4解析法一|z－i|≤2表示复数z在复平面上的对应的点在以(0，1)为圆心，半径为2的圆内(含边界)，而|z|表示此圆内(含边界)到原点的距离，其最大值为1＋2＝3.法二因为2≥|z－i|≥|z|－|i|＝|z|－1，即|z|≤3.答案C19．(一题多解)eq\o(z,\s\up6(－))是z的共轭复数，若z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝2，(z－eq\o(z,\s\up6(－)))i＝2(i为虚数单位)，则z等于()A．1＋i B．－1－i C．－1＋I D．1－i解析法一设z＝a＋bi，a，b为实数，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.∵z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝2a＝2，∴a＝1.又(z－eq\o(z,\s\up6(－)))i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.法二∵(z－eq\o(z,\s\up6(－)))i＝2，∴z－eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(2,i)＝－2i.又z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝2，∴(z－eq\o(z,\s\up6(－)))＋(z＋eq\o(z,\s\up6(－)))＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.答案D20．(2018·温州月考)已知复数z＝(cosθ－isinθ)·(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()A．θ＝eq\f(π,4) B．θ＝eq\f(π,2) C．θ＝eq\f(3π,4) D．θ＝eq\f(5π,4)解析因为z＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i，所以当θ＝eq\f(3π,4)时，z＝－eq\r(2)i为纯虚数，当z为纯虚数时，θ＝kπ－eq\f(π,4)(k∈Z)．故选C.答案C21．若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3解析依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2p＋q＝0，,p＋1＝0，))解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故选C.答案C22．(2018·杭州月考)i是虚数单位，若eq\f(2＋i,1＋i)＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是()A．－2 B．－1 C．0 D.eq\f(1,2)解析∵eq\f(（2＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(3－i,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i＝a＋bi，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝－\f(1,2)，))∴lg(a＋b)＝lg1＝0.答案C23．若复数z满足i·z＝－eq\f(1,2)(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是()A．－eq\f(1,2)i B.eq\f(1,2)I C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析i·z＝－eq\f(1,2)(1＋i)⇒z＝eq\f(－\f(1,2)（1＋i）,i)＝eq\f(－\f(1,2)（1＋i）·i,i·i)＝eq\f(1,2)(－1＋i)，则z的共