平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（基础巩固）-2021年中考数学一轮基础知识复习和巩固提升训练

平面直角坐标系与一次函数、反比例函数一基础巩固

【知识梳理】

考点一、平面直角坐标系

1.平面直角坐标系

平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对

应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”(平面内的点)

和“数”(有序实数对)紧密结合起来.

2.各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点

点P(x,y)在第一象限O尤>0,y>0；

点P(x,y)在第二象限-x<0,y>0；

点P(x,y)在第三象限<=>%<0,y<0；

点P(x,y)在第四象限=无>0,y<0；

点P(x,y)在x轴上Oy=0,x为任意实数；

点P(x,y)在y轴上U>%=0,y为任意实数；

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上。x,y同时为零，即点P坐标为(0,0).

3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上Ox与y相等；

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上Ox与y互为相反数.

4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.

5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点P'关于x轴对称O横坐标相等，纵坐标互为相反数；

点P与点P'关于y轴对称o纵坐标相等，横坐标互为相反数；

点P与点P'关于原点对称o横、纵坐标均互为相反数.

6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于|y|；

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于国；

(3)点P(x,y)到原点的距离等于.

7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式

如果直角坐标平面内有两点4(王，%\B(X2,y2),那么A、B两点的距离为：

AB=&1-v)2+(M-％)2.

两种特殊情况：

(1)在直角坐标平面内，x轴或平行于左轴的直线上的两点A&,力夙声，y)的距离

222

为：AB=7(^1-x2)+(y-y)=7(^1-^2)=|七一芍I

⑵在直角坐标平面内，y轴或平行于y轴的直线上的两点夙%,名)的距离

为：川=小一城+(%一乃)2=J(必一%)2=卜1一刃

方法指导：

(1)注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限；

(2)平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐

标.

考点二、函数

1.函数的概念

设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.

2.自变量的取值范围

对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保

证数学式子有意义.

3.表示方法

⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.

4.画函数图象

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.

方法指导：

(1)在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；

(2)确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.

考点三、几种基本函数(定义一图象一性质)

1.正比例函数及其图象性质

(1)正比例函数：如果y=kx(k是常数，kWO),那么y叫做x的正比例函数.

(2)正比例函数y=kx(kWO)的图象：

过(0,0),(1,K)两点的一条直线.

蝮经过一、三象限直蟀由二、四象限

(3)正比例函数y=kx(kWO)的性质

①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大;

②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.

2.一次函数及其图象性质

(1)一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，kWO),那么y叫做x的一次函数.

(2)一次函数y=kx+b(kWO)的图象

系数特征图象特征不经过的图例

象限

b>0直线从左直线与y轴在X轴上

k>0到右取向的交点方四21x

上方向Ux

0

b<0M(o,b)在X轴下

二|M

方

直线从左直线与y轴在X轴上y

b>0到右取向的交点方三X

k<0下的方向-1y

——x

b<0M(o,b)在X轴下—M|

方

(3)一次函数尸kx+b(kWO)的图象的性质

一次函数y=kx+b的图象是经过(0,力点和(_2,0)点的一条直线.

k

①当k〉0时，y随x的增大而增大;

②当k〈0时，y随X的增大而减小.

(4)用函数观点看方程(组)与不等式

①任何一元一次方程都可以转化为ax+6=0(a,6为常数，aWO)的形式，所以解一元

一次方程可以转化为：一次函数/="才+灰次，6为常数，4W0),当y=0时，求相应

的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y=Ax+6,确定它与x轴交点的横坐

标.

_y=k,x+b,

②二元一次方程组1।对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”

y=k2x+b2

的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值

是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标.

③任何一元一次不等式都可以转化ax+6>0或ax+力<0(a、6为常数，aWO)的形式，

解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值

范围.

方法指导：

(1)当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；

(2)确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=(kWO)中的常数k.

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+Z?(k/0)中的常数k和b.

解这类问题的一般方法是待定系数法.

(3)直线yi=kix+bi与直线yz=k2x+b?(ki#0,k，0)的位置关系.

①kiWkzOyi与yz相交；

kk

②<i2Oyi与y2相交于y轴上同一点(0,bi)或(0,b)；

山=%2

③1Oyi与y2平行；

也。b2

④1与y?重合.

也=匕2

3.反比例函数及其图象性质

（1）定义：一般地，形如y=K（左为常数，k手o）的函数称为反比例函数.

X

k

三种形式：y=—（kWO）或y=kxt（kWO）或xy=k（k#0）.

x

（2）反比例函数解析式的特征：

①等号左边是函数y,等号右边是一个分式.分子是不为零的常数左（也叫做比例系数

k）,分母中含有自变量x,且指数为1；

②比例系数女工0；

③自变量x的取值为一切非零实数；

④函数y的取值是一切非零实数.

（3）反比例函数的图象

①图象的画法：描点法

列表（应以0为中心，沿。的两边分别取三对或以上互为相反的数）；

描点（由小到大的顺序）；

连线（从左到右光滑的曲线）.

②反比例函数的图象是双曲线，y=-（左为常数，左力0）中自变量XHO,函数

X

值ywO,所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，

但是永远不与坐标轴相交.

③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是y=x和y=-％）和中心对称图形（对

称中心是坐标原点）.

④反比例函数y=七（左#0）中比例系数左的几何意义是：过双曲线y=K（左H0）

XX

上任意点引X轴、y轴的垂线，所得矩形面积为限.

（4）反比例函数性质：

y='(4w0)

函数

X

k的符

k>0k<0

号

4

4

图像

①X的取值范围是X/0,①x的取值范围是xW0,

y的取值范围是yw0；y的取值范围是yw0；

性质②当k〉0时，函数图像的两个分支分别②当k<0时，函数图像的两个分支分

在第一、三象限.在每个象限内，y别在第二、四象限.在每个象限内，y

随X的增大而减小.随X的增大而增大.

(5)反比例函数解析式的确定:

利用待定系数法(只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出左)

(6)“反比例关系”与“反比例函数”：

成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函数y=七中的两个变量必成反

x

比例关系.

(7)反比例函数的应用

反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数y=K(左/0)图像上

X

任一点P(x,y)作X轴、y轴的垂线PM,PN,垂足为M、N,则所得的矩形PMON的面

积S=PM*PN=|y|•忖=|xy|.

k

•：、=_,xy-k,5=|Z:|.

x

(8)正比例函数和反比例函数的交点问题

k

若正比例函数y=尤%(41W0),反比例函数y=二■(左2。0)，则

x

当左总<。时，两函数图象无交点;

当人/2>0时，两函数图象有两个交点,

坐标分别为(

由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称.

方法指导：

(1)用待定系数法求解析式(列方程［组］求解)；

(2)利用一次(正比例)函数、反比例函数的图象求不等式的解集.

【基础巩固训练】

、选择题

下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是(

2.直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是()

A.(-4,0)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,0)

3.若正比例函数y=(l-2m)x的图象经过点A(xi,yi)和点B(X2,y2),当xi<X2时，

yi>y2,则m的取值范围是()

11

A.m<0B.m>0C.m<—D.m>—

22

k.

4.已知正比例函数y=匕wO)与反比例函数,。0)的图象有一个交点的坐标

为(-2,-1),则它的另一个交点的坐标是()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

5.若直线尸kx+b经过一、二、四象限，则直线尸bx+k不经过第()象限.

6.反比例函数图象上有三个点(修，必)，(%2，为),区，为)，其中

<x2<0<x3,则yx,y2,y3的大小关系是（

A.B・乃<乃<乃C・乃<乃<乃D・必<为<必

二、填空题

7.已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12,则y关于x的函数关系式是.

8.从-2,T,1,2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y=kx+b的系数k,b,

则一次函数

y=kx+b的图象不经过第四象限的概率是.

9.已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是.

10.过点P(8,2)且与直线y=x+l平行的一次函数解析式为.

11.如图，点人(*1,以)、8(乂2,丫2)都在双曲线>>=—(X>0)上，且x、-X]=4,升-y?=2；

X

分别过点A、B向X轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F,AC与BF相交于G点，四

边形FOCG的面积为2,五边形AEODB的面积为14,那么双曲线的解析式为.

12.在直角坐标系中，直线y=x+l与y轴交于点A,按如图方式作正方形AiBCCkABCG、

A3B3c3c2…，Ai,Az、A3…在直线y=x+l上，点Ci、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的

三、解答题

13.已知一次函数y=(3-k)x-2k2+18.

(1)k为何值时，它的图象经过原点？

(2)k为何值时，它的图象经过点(0,-2)?

(3)k为何值时，它的图象平行于直线y=-x?

(4)k为何值时，y随x的增大而减小？

14.某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在正

比例函数关系：%=kx,并且当投资5万元时，可获得利润2万元；

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二

次函数关系：yB=ax2+bx,并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可

获利润3.2万元.

(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数的表达式；

(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投

资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.

15.小张骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数图象如图所示.

(1)小张在路上停留h,他从乙地返回时骑车的速度为km/h.

(2)小李与小张同时从甲地出发，按相同路线匀速前往乙地，小李到乙地停止，途中小

李与小张共同相遇3次.请在图中画出小李距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数的大致图

象.

(3)小王与小张同时出发，按相同的路线前往乙地，距甲地的路程y(km)与时间x(h)的

函数关系为y=12x+10,小王与小张在途中共相遇几次？请你计算出第一次相遇的时间.

16.如图，已知反比例函数y=%的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(1,4)

x

和点B(n,-2).

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时,

答案与解析

一、选择题

1.【答案】C；

【解析】考查函数的定义.

2.【答案】D；

【解析】直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2-6=2x-4,

当y=0时，x=2,

因此与x轴的交点坐标是（2,0）,故选：D.

3.【答案】D；

【解析】本题考查正比例函数的图象和性质，因为当xiVxz时，yI>yz,说明y随x的

增大而减小，

所以故正确答案为D.

2

4.【答案】A；

【解析】通常我们求交点坐标的方法是将两个函数解析式联立方程组，来求交点坐标

所以需要先通过待定系数法求出正比例函数>=320）与反比例函数

>=坛（左2/0）的

X

解析式，将（-2,-1）代入两个函数解析式求得勺=工,鼠=2

2

1

y=-Xc_r_2

,解得「=一或广，,另一交点坐标为（2,1）

_2ly=-i[y=l

yv—~

IX

5.【答案】B；

【解析】•..直线y=kx+b经过一、二、四象限，对于直线丫4乂+L

b>0

k<Q,

.•.图像不经过第二象限，故应选B.

b>0

6.【答案】B；

[解析】该题有三种解法：解法①，画出y=g的图象，然后在图象上按匹</<0<与

x

要求描出三个已知点，便可得到%,当，%的大小关系;解法②，特殊值法，将三个已知点（自

变量X选特殊值）代入解析式，计算后可得到％,为，0，%的大小关系；解法③，根据反比例

函数的性质，可知y“yz都小于0,而y3>0,且在每个象限内，y值随x值的增大而减小，

xi<x2,...yzVyiCO.故>2<M<%，故选B.

二、填空题

7.【答案】y=2x+2；

【解析】设y关于x的函数关系式为y=k(x+1).

,当x=5时，y=12,

A12=(5+1)k,.\k=2.

；.y关于x的函数关系式为y=2x+2.

8.【答案】—；

6

【解析】

k:-2-112

/1\/|\/1\/1\

bl2-11-221-2-12-2-11

一次函数图象不经过第四象限的概率是」.

6

9【答案】m》0；

【解析】提示：应将y=-2x+m的图像的可能情况考虑周全.

10.【答案】y=x-6；

【解析】设所求一次函数的解析式为y=kx+b.

,直线y=kx+b与y=x+l平行，/.k=l,

/.y=x+b.将P(8,2)代入,得2=8+b,b=-6,.,•所求解析式为y=x-6.

n.【答案】y=--,

X

【解析】本题考查反比例函数的面积不变性，由四边形F0DB的面积二四边形E0CA的面

积二k,又因为五边形AE0DB的面积二四边形F0DB的面积+四边形E0CA的面积-四边形F0CG的面

积+三角形ABG的面积，所以14=2k-2+4,因此k=6.

12.【答案】2.；

【解析】•・•直线y=x+l,当x=0时，y=l,当y=0时，x=-1,

AOAi=l,0D=l,

AZ0DAi=45°，

：.NA2A1B尸45

A2BI=AIBI=1,

,-.Si=lxiXl=l,

22

VA2Bi=AiBi=l>

.­=2：

1

/.S2=lx(2)=2'

2

同理得：A3c2=4=2。，…,

23

S3=lx(2)=2

2

n-1z2n-3

.\sn=lx(2)=2

2

13.【答案与解析】

解：(1)图象经过原点，则它是正比例函数.

'—2左2+18=0,

3—kw0,

・•・当k=-3时，它的图象经过原点.

(2)该一次函数的图象经过点(0,-2).

.\-2=-2k2+18,且3—kW0,

/.k二土410

.•.当k=±Ji6时，它的图象经过点(o,-2)

(3)函数图象平行于直线y=-x,

3-k--1,

/.k=4.

...当k=4时，它的图象平行于直线x=r.

(4):随x的增大而减小，

.\3-k<0.

/.k>3.

.♦