2023-2024学年福建省部分高中高一下学期期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则的实部为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，由，得，，解得，故的实部为，故选：C.2.在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，在平行四边形中，且，A：，故A正确；B：，故B正确；C：由，得，故C错误；D：，故D正确.故选：C.3.下列说法中错误的是（）A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线〖答案〗C〖解析〗由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确；由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确；直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥，是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误；在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确.故选：C.4.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，又，所以，即，整理得.故选：A.5.下列说法错误的是（）A. B.，是单位向量，则C.若，则 D.两个相同的向量的模相等〖答案〗C〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，，单位向量，则，故B正确；对于C，若，则不能比较大小，故C错误；对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确.故选：C.6.已知为三个不同的平面，为三条不同的直线，若，，，，则下列结论正确的是（）A.与相交 B.与相交 C. D.与相交〖答案〗C〖解析〗，平面，，，故A错误；同理可得，，故B错误；由A，B知，故C正确；由A知，平面，平面，，故D错误．故选：C.7.第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（）A.km B.km C.15km D.km〖答案〗A〖解析〗在中，，由正弦定理得，，在中，易知，，所以，所以，由余弦定理得．故选：A.8.我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．某粮仓如图3所示，其对应的立体图形是由双曲线和直线及围成的封闭图形绕轴旋转一周后所得到的几何体（如图4），类比上述方法，运用祖暅原理可求得该几何的体积等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由双曲线渐近线为，与的交点为，对于双曲线上半部，构造底面半径为，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，当截面与顶点距离为时，小圆锥底面半径为，则得，此时，双曲线把代入，即，解得：，阴影部分截面面积：，与所构造圆柱底面积相等，故双曲线绕y轴旋转后，上图阴影部分所成几何体的体积与所构造圆柱体的体积相等，由祖暅原理得旋转后所得几何体的体积：.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，满足，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗，，，，所以，，故选：ABD.10.下列说法正确的是（）A.B.若，则与的夹角是钝角C.向量能作为平面内所有向量的一个基底D.若，则在上的投影向量为〖答案〗AD〖解析〗，A正确；当与反向时，，此时与的夹角为，B不正确；因为，所以，所以向量不能作为基底，C不正确；在上的投影向量为，D正确.故选：AD.11.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（）A.该正八面体结构的表面积为B.该正八面体结构的体积为C.该正八面体结构的外接球表面积为D.该正八面体结构的内切球表面积为〖答案〗ACD〖解析〗对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积，故A正确；对B：连接，则，底面，故该正八面体结构的体积，故B错误；对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；对D：该正八面体结构的内切球半径，故内切球的表面积，故D正确.故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则______．〖答案〗〖解析〗由向量，不共线，得，由向量与共线，得，则，所以.故〖答案〗：.13.若向量分别表示复数，则=__________．〖答案〗〖解析〗因为，又向量分别表示复数，所以表示复数，所以.故〖答案〗为：.14.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是______.〖答案〗〖解析〗设圆锥底面圆的半径为r，则底面圆的周长为，即展开后的扇形弧长为，又扇形的圆心角为，半径为1，所以，所以，故圆锥的侧面积为，表面积为，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为，即这个圆锥表面积与侧面积的比是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）.（1）求m的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解：（1）由题意，复数，所以，则，因为为纯虚数，所以，解得.（2）复数，因为复数在复平面对应的点在第一象限，所以，解得.16.已知与的夹角为.（1）求在方向上的投影向量;（2）求的值;（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.解：（1）在方向上的投影向量为.（2）.（3）因为向量与的夹角为锐角，所以，且与不共线，对于，得，解得，若与共线，则存在，得，解得，所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为.17.在中，角的对边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积．解：（1）因为，所以根据正弦定理得，因为，所以，即，即，因为，所以，因为，所以．（2），因为，所以①，因为，所以②，联立①②可得，解得（负根舍去），故的面积为．18.如图，在梯形中，，在平面内过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．（1）求此旋转体的表面积．（2）求此旋转体的体积．解：（1）在梯形中，，，且，，，，，．以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，且圆柱高为，底面半径为，圆锥的母线长为，底面半径为，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，圆柱的底面积，圆锥的底面积，组合体上底面积，旋转体的表面积．（2）由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，圆柱的体积，圆锥的体积，旋转体的体积．19.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的〖答案〗是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点．（1）求角；（2）若，求的值；（3）若，求的取值范围．解：（1），，，，又，，，，.（2）∵，又，，设，，，，三角形的三个角均小于120，根据题意可得，又，，，．（3）由，，，由余弦定理可得，同理可得，，相加可得，又，所以，由于，所以又故，所以，故，且，故，当且仅当时等号成立，又，所以，，令，则，所以，由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数，故，进而.福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则的实部为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，由，得，，解得，故的实部为，故选：C.2.在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，在平行四边形中，且，A：，故A正确；B：，故B正确；C：由，得，故C错误；D：，故D正确.故选：C.3.下列说法中错误的是（）A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线〖答案〗C〖解析〗由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确；由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确；直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥，是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误；在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确.故选：C.4.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，又，所以，即，整理得.故选：A.5.下列说法错误的是（）A. B.，是单位向量，则C.若，则 D.两个相同的向量的模相等〖答案〗C〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，，单位向量，则，故B正确；对于C，若，则不能比较大小，故C错误；对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确.故选：C.6.已知为三个不同的平面，为三条不同的直线，若，，，，则下列结论正确的是（）A.与相交 B.与相交 C. D.与相交〖答案〗C〖解析〗，平面，，，故A错误；同理可得，，故B错误；由A，B知，故C正确；由A知，平面，平面，，故D错误．故选：C.7.第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（）A.km B.km C.15km D.km〖答案〗A〖解析〗在中，，由正弦定理得，，在中，易知，，所以，所以，由余弦定理得．故选：A.8.我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．某粮仓如图3所示，其对应的立体图形是由双曲线和直线及围成的封闭图形绕轴旋转一周后所得到的几何体（如图4），类比上述方法，运用祖暅原理可求得该几何的体积等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由双曲线渐近线为，与的交点为，对于双曲线上半部，构造底面半径为，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，当截面与顶点距离为时，小圆锥底面半径为，则得，此时，双曲线把代入，即，解得：，阴影部分截面面积：，与所构造圆柱底面积相等，故双曲线绕y轴旋转后，上图阴影部分所成几何体的体积与所构造圆柱体的体积相等，由祖暅原理得旋转后所得几何体的体积：.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，满足，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗，，，，所以，，故选：ABD.10.下列说法正确的是（）A.B.若，则与的夹角是钝角C.向量能作为平面内所有向量的一个基底D.若，则在上的投影向量为〖答案〗AD〖解析〗，A正确；当与反向时，，此时与的夹角为，B不正确；因为，所以，所以向量不能作为基底，C不正确；在上的投影向量为，D正确.故选：AD.11.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（）A.该正八面体结构的表面积为B.该正八面体结构的体积为C.该正八面体结构的外接球表面积为D.该正八面体结构的内切球表面积为〖答案〗ACD〖解析〗对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积，故A正确；对B：连接，则，底面，故该正八面体结构的体积，故B错误；对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；对D：该正八面体结构的内切球半径，故内切球的表面积，故D正确.故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则______．〖答案〗〖解析〗由向量，不共线，得，由向量与共线，得，则，所以.故〖答案〗：.13.若向量分别表示复数，则=__________．〖答案〗〖解析〗因为，又向量分别表示复数，所以表示复数，所以.故〖答案〗为：.14.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是______.〖答案〗〖解析〗设圆锥底面圆的半径为r，则底面圆的周长为，即展开后的扇形弧长为，又扇形的圆心角为，半径为1，所以，所以，故圆锥的侧面积为，表面积为，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为，即这个圆锥表面积与侧面积的比是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）.（1）求m的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解：（1）由题意，复数，所以，则，因为为纯虚数，所以，解得.（2）复数，因为复数在复平面对应的点在第一象限，所以，解得.16.已知与的夹角为.（1）求在方向上的投影向量;（2）求的值;（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.解：（1）在方向上的投影向量为.（2）.（3）因为向量与的夹角为锐角，所以，且与不共线，对于，得，解得，若与共线，则存在，得，解得，所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为.17.