2024年1月高考数学“七省联考”考前预测卷5（新高考地区专用）含答案

2024年1月“七省联考”预测卷05

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合一5^[,'=["inQ"2）｝,则2门8=（）

A.B.卜

C.1x|l<x<D,

2.复数z满足（l+z>z=l—产）25,则1的虚部为（）

A.iB.-1C.-iD.1

3.英国数学家哈利奥特最先使用和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影

响深远.对于任意实数。、b、c、d,下列命题是真命题的是（）

A.若/<〃，则〃<bB.若〃<b,则QC<be

C.若Q<b,c<d,则ac<bdD.若Q<b,c<d,则a+cvb+d

4.如图所示，。为射线。4,05的夹角，44。,=乌，点尸（一1,3）在射线05上，则sinQ+m）_（）

一

4coser

1

.2+百R-2+V3,273+1D.R

r\.----------D.------------C.-----------

2222

5.下列函数中，既是偶函数又在（0,2）上单调递减的是（）

A.y=2忖B.>=-x3

x2—x

C.y=cos—D.y=In--------

-2-2+x

。为坐标原点，贝“厉+砺的最

6.已知圆C:（x-l）2+（y-l）2=l上两动点a8满足A48c为正三角形,

大值为（）

A.2GB.272

C.2V2-V3D.2V2+V3

7.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一

家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生

甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是()

8.a=21nl.01,6=lnl.02,c=Vr04-l，贝I()

A.a<b<cB.b<C<aC.C<a<bD.a<c<b

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是()

A.若样本数据历,々,…,4的方差为2,则数据2%-1,2々-1,…,24-1的方差为8

2

B.若尸(2)=0.6,尸(8)=0.8,尸(2|8)=0.5,则尸(5|=§.

C.在一组样本数据(加%)4々,为)，…，。"，^)，("22,xl,x2,---,xn,不全相等)的散点图中，若所有

样本点(x„j,)(z=1,2,­••,«)都在直线了=-+1上，则这组样本数据的线性相关系数为

D.以模型y=ceh去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设2=3，求得线性回归方程为

z=4x+0.3,则c#的值分别是e03和4

10.已知函数/(x)=cos21x+R(0<0<7i)的一个对称中心为则()

A./(X)的最小正周期为兀

C.直线》=正是函数/(x)图像的一条对称轴

D,若函数y=/(ox)(0〉O)在［0,可上单调递减，则

11.己知正项数列｛%｝的前〃项和为S,,,%=1,且2(S“+S,”J=d+l(〃22),-----

anan+\

北为｛4｝的前"项和.下列说法正确的是()

=

A.a?2B.an=(-1)"

C.a=2M-1D.T<-

nn"2

12.如图所示的六面体中，SA,SBSC两两垂直，ST连线经过三角形A8C的重心且

SM=271/7(2>0),贝I()

T

A.若2=L则TC，平面7X8

2

B.若4=2,则眼〃平面7BC

C.若s,4民C,T五点均在同一球面上，则4=工

2

D.若点T恰为三棱锥S—48c外接球的球心，则4=2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知非零向量£,b>"满足同=问，)=若"为B在Z上的投影向量，则向量Z，B夹角的余

弦值为________

14.(/+1)(%一2)4展开式中v项的系数为.

15.已知直线y=Qc与y=左2%(勺>白)是曲线V=ax+21nW(aeR)的两条切线，则尢—左2=.

丫2

16.已知椭圆。：乙+黄=1的左、右焦点分别为片，居，〃是C上异于顶点的一点，。为坐标原点，E

4

为线段〃耳的中点，/耳〃5的平分线与直线£。交于点P,当四边形孙尸耳的面积为2啦时，

sinZMF2F1=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在A48C中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=b(百sinC+cosC).

A

(1)求5；

(2)已知8C=2百，D为边45上的一点，若RD=1,ZACD=-,求ZC的长.

2

18.如图，三棱锥尸—N8C的平面展开图中，AB1BC,PlB=AB=46,P2A=AC=4,P©=2后,

E为鸟Z的中点.

(1)在三棱锥尸—Z8C中，证明：BEVAC,

(2)求平面尸8C与平面48c夹角的余弦值.

19.已知数列｛4｝是各项都为正整数的等比数列，为=3,且%是电与小4的等差中项，数列｛4｝满足

4=1也+i=2b“+1.

(1)求数列{4},{4}的通项公式；

(2)若左—a“N8〃+2左—24对任意〃eN*恒成立，求实数后的取值范围.

2

20.某中学有4,8两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都

在学校就餐，近一个月(30天)选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况(午餐，晚餐)(4N)(48)(民幺)(B,B)

王同学9天6天12天3天

张老师6天6天6天12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率.

(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；

(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)假设M表示事件"/餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去/餐厅就餐”，已知推出

优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明.

尸可.

21.如图，在平面直角坐标系X。中，/为x轴正半轴上的一个动点.以厂为焦点、。为顶点作抛物线

C:/=2px（p>0）.设尸为第一象限内抛物线C上的一点，。为x轴负半轴上一点，设。（一见0）,使得尸。

（2）是否存在点尸，使圆G与。2的面积之和取到最小值.若存在，求出点少的坐标；若不存在，请说明

理由.

22.已知«eR,函数/(x)=q+lnx,g(x)=ax-tax-2.

(1)当/(X)与g(x)都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数。的值;

112

⑵若/（Xj=/（X2）=2（X|HX2）,求证：—+—

人］人？Lt-

2024年1月“七省联考”押题预测卷05

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

8451n（2，—2）},则zn”（）

A.1x|0<x<-||B.|x|l<%<g]

C.1x|l<X<jD.卜

【答案】B

【解析】由3-2x〉0解得x<|,所以幺={x|x<||,

由2*-2〉0解得x>l，所以5={x|x〉l},

所以Nc5=<x<g].

故选：B

2.复数Z满足(1+Z>2=1—严25,则三的虚部为()

A.iB.-1C.-iD.1

【答案】D

【解析】v(l+z)-z=l-z2025=l-z,

,(1")_-2i；

"—l+厂+-2-，

所以[的虚部为1.

故选：D.

3.英国数学家哈利奥特最先使用“〈”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影

响深远.对于任意实数a、b、c、d,下列命题是真命题的是（）

A.若“<〃，贝U6B.若〃<b,则QC<be

C.若Q<b,c<d,则QC<bdD.若Q<b,c<d,则a+c<6+d

【答案】D

【解析】对A：因为“</,可能b<〃<0,故错误；

对B：当c<0时，若a<b,贝ijac>bc,故错误；

对C：当c<dvO时，则故错误；

对D：右a<b,c<d,则a+cv6+d,故正确.

故选：D.

1:，点P(-l,3)在射线OB上，则sm(a+§)

4.如图所示，a为射线。4,03的夹角，ZAOx=-

i.

COS。

.2+V3-2+V3c2百+1D2--1

r\.-----tr5.------

2222

【答案】A

3V1001V10

【解析】设射线03所对的角为则有sin£=1=■—,cosp—i——,

VioioVioio

7T

又因为尸=0+4,

JT

所以1=4一1,

r.F)。,年../7

(sinB-cosB)-----，cosa-cos(/?——)

4N34

圻I、J./兀、1.A/32V5+V1L5

所以sin(a+—)----cosa=----------,

32210

./兀、2逐+&?

所以

costtV52

V

故选：A.

5.下列函数中，既是偶函数又在(0,2)上单调递减的是()

A.y—2WB.y=-x:)

X12—x

C.y=cos-D.y=In

2+x

【答案】c

【解析】对于A,函数/(x)=2国的定义域为R,关于原点对称

且/(-x)=2T=2M=/(%),所以函数/(x)为偶函数,

当xe(0,2)时〃x)=2，，函数/(x)单调递增，故A不符合题意；

对于B,函数/(》)=-》3的定义域为R,关于原点对称，

且/(—x)=_(—x)3=/=一/⑴，所以函数f(x)为奇函数，

由嘉函数的性质知函数>=/在R上单调递增，

所以函数/(x)=-/在R上单调递减，故B不符合题意；

对于C,函数〃x)=cos］的定义域为R,关于原点对称，

XX

且/(—X)=C0S(—］)=C0S2=/(X),所以函数/(x)为偶函数，

当xe(0,2)时芦(0,1),又(0』)寺,口，

Y

所以函数〃X)=COS］在(0,1)上单调递减，故C符合题意；

对于D,函数/(x)=In三的定义域为(-2,2),关于原点对称，

2+x

且f(-x)=In2+'=ln(---)-1=-In---=-f(x),

')2-x2+x2+xv7

112x

所以/(x)是奇函数，又/'(x)=^——丁，

2-x2+x(2-x)一(2+x)、

令/r(x)<0=>-2<x<0,令>0=>0<x<2,

所以函数/(x)在(-2,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，故D不符合题意.

故选：C.

6.已知圆C:(x-l)2+(y-l)2=l上两动点出8满足为正三角形，。为坐标原点，贝“厉+砺|的最

大值为()

A.2GB.2A/2

C.2V2-V3D.2V2+V3

【答案】D

【解析】由题可知是边长为1的正三角形，

设48的中点为则=

又所以点M的轨迹方程为(x—I)?+(y—1)2=：,目JOC卜

因为厉+砺=2而，所以|。4+。@=2|。拉］,

__n

^\OM\<\OC\+\MC\=41+^~,

当且仅当点C在线段。河上时等号成立,

所以|而|的最大值为肥+斗,

所以W+得的最大值为2V2+V3.

故选：D.

7.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一

家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生

甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是()

1123

A.-B.-C.-D.—

46710

【答案】C

【解析】3名女生需要住2个房间或3个房间.

若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为C；C；A；；

若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为

其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种数为C；A；,

C：A；2

所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是c|cx+|cx7-

故选：C

8.a=21nl.01,Z?=lnl.02,c=VlXM-b贝U()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】依题意，a-c=21nl.01+l-VT04,c-Z)=Vf04-l-lnl.02,

令/(x)=2ln(l+x)+1-Jl+4x,0<x<1,

2_2_22=2

求导得/(x)=>0,

]+xJl+4xJl+2x+x2Jl+4xJl+3xJl+4x

因此函数，(x)在(0,1)上单调递增，/(0.01)>/(0)=0,即a—c>o,则a〉c；

，/、111I

令g(x)=Jl+2x-1-ln(l+x),0<x<1,求导得g(x)=/——-:—=―,

Vl+2x1+x+2xJl+2x+x~

因此函数g(x)在(0,1)上单调递增，g(0.02)〉g(0)=0,即C—6>o,则c>b,

所以A<c<a.

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是()

A.若样本数据再,々，…，4的方差为2,则数据2玉—1,2々-1,…,24-1的方差为8

2

B.若尸(2)=0.6,尸(8)=0.8,P(幺|6)=0.5,则尸(5|Z)=j.

C.在一组样本数据(项,必),(々/2)，…，(x“，S)，(n>2,玉,々，…，x“，不全相等)的散点图中，若所有

样本点(x„Z)(z=1,2,­••,«)都在直线了=-+1上，则这组样本数据的线性相关系数为-g

D.以模型y=ceh去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设2=3，求得线性回归方程为

z=4x+0.3,则c,左的值分别是e03和4

【答案】ABD

【解析】对于选项A：若样本数据…，4的方差为2,则数据2』-1,2/-1,…,24-1的方差为

22x2=8/7，故A正确；

对于选项B：若尸(4)=0.6,尸(3)=0.8,尸(出3)=0.5,则

2

尸⑷⑷二个组尸⑷尸⑷叽处”—>故B正确;

P(A)P(A)0.6

对于选项C：在一组样本数据(西,%),(%,必),…,(毛,%),(«>2,占,%，…，毛，不全相等)的散点图中，

若所有样本点=…/)都在直线^=—；x+l上，其中—9是线性回归方程的一次项系数，不

是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[T,1],当相关系数为正时呈正相关

关系，为负时呈负相关关系，故C不正确；

对于选项D：以模型y=ceb去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=3，

则z=ln^=lnc+lne"=lnc+Ax,由题线性回归方程为3=4x+0.3,贝!JInc=0.3,左=4,故G左的值

分别是e03和4,故D正确.

故选:ABD.

x+£卜0<°<兀）的一个对称中心为711

10.已知函数/(x)=cos?，贝1J()

6；2

A./（x）的最小正周期为兀

兀

B.

12

57r

C.直线X=三■是函数/（X）图像的一条对称轴

若函数了=/（5）（。〉0）在［0,可上单调递减，则0e10,A

D.

【答案】AC

1171TlTT

【解析】/(%)=—cos(2x+0)+—则有2x—+0=—+E,左eZ,解得。=—+E,左eZ,

22626

11

因为0<。（无，所以。=百，所以/（%）=-cos2x+-+-,

62I6J2

则/（%）的最小正周期为兀，故A正确;

71!cosg+==g,故B错误;

122324

2Xn+i=71,则直线x=1^是/（X）图像的一条对称轴，故C正确;

1[.兀I兀7T_71

J=/(0X)=—cos2Gx+一H—,当XE[0,兀]时，2(DXH-G一,2版+一,

262666

若函数V=/（ox）3>0）在［0,可上单调递减，则有25+巴V兀,

6

解得则外£0,2,故D错误.

I12

故选：AC

11.已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“,%=1,且2(S"+S“_J=+1(/7>2),“eN*也=

a“4+i

北为｛4｝的前〃项和.下列说法正确的是（)

A.a?—2B.«„=(-1)"

C.a=2n-lD.7；<-

n'2

【答案】CD

【解析】2(S“+S〃T)=a；+l(〃22),%〉0,

可得〃=2时，2(1+g+1)=。；+1，解得？=3，故A错误，

当〃23时，由2(S“+Si)=a；+1,可得2(%+兀)=吮+1，

上面两式相减可得2伍"+%_])=说-a>=(a„+a„_1)(a„-a„_j)，

由于%+%_产0,所以%=2,

而出一%=2,则=&+2(〃-2)=3+2(“-1)=2附-1,首项也符合,

所以%=2"—1,〃eN.故B错误，C正确,

==_()

anan+i(2〃-1)(2〃+1)22n-l2n+l

-----)=—(1)<—D正确,

2«+1--22”+1---2

故选：CD

12.如图所示的六面体中，SA,SB,SC两两垂直，ST连线经过三角形4BC的重心且

SM-AMT(A>0),贝U()

A.若则TCL平面力43

2

B.若2=2,则64〃平面加C

C.若S,48,C,T五点均在同一球面上，则彳=!

2

D.若点T恰为三棱锥S—48c外接球的球心，则4=2

【答案】BCD

【解析】因为六面体中，SA,SB,SC两两垂直，ST连线经过三角形48c的重心",

所以可以将六面体放在长方体中，点T在对角线MV上运动，

以S为坐标原点，S8,SC,S4所在直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系，

设SB—m,SC-n.SA=t,

设BC的中点/，连接/尸，与MV交于点M,且⑷=

-j—k2~~~*/\2।TYlTl

设〃（q,叫e）,由尸得®w,eT）=1—

3D'NN

—•1—■

解得q=—m,yv=—n,e=-t,故一机,一〃,―/SM=-SN,

33313333

1—-1—.

A选项，若彳=—,即SM=—MT,此时点T在点N处，

22

此时TC=（0,〃,0）-（私〃,/）=（-私0,T）,TA=,

由于美•泊=（一/,0,T＞（—%,f,0）=疗#0,故TC,力4不垂直,

故TC与平面不垂直，A错误；

______（innt

B选项，若2=2,即豆7=2而，此时点T为对角线SN的中点，此时T万，5,5

设平面TBC的法向量为］=（x,y,z）,

jCB=(x,j,z)0)=mx-ny=0

解得z=o,令％=〃，贝=故7=(2机,o),

又&4=(0,0,1),故j-SA=(M,OT,O)-(O,O,?)=0,

故J,旗，所以"〃平面形C,B正确;

c选项，由于长方体的顶点在同一球面上，若s,a民C,T五点均在同一球面上，

则点T一定在点N处，此时彳=」，C正确；

2

D选项，三棱锥S-48c的外接球即为长方体SN的外接球，

若点T恰为三棱锥S-ABC外接球的球心，则点T为对角线MV的中点，

所以2=2,D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知非零向量£,B，"满足|[=W，c=1a,若"为B在£上的投影向量，则向量Z，B夹角的余

弦值为________

【答案】-

3

_1—_

【解析】由c=-a,"为B在£上的投影向量，

所以:a=cos(a,B)a,故cos(al)=；

故答案为：—

3

14.(d+IXx—2)4展开式中Y项的系数为.

【答案】8

【解析】由题意可知：(x—2)4展开式的通项公式为£+]=C1x4，(—2y/=0,l,2,3,4,

4

所以(V+1)(X-2)展开式中V项的系数为C：x(_2?+C；x(-2)=16-8=8.

故答案为：8.

15.已知直线y=々x与歹=心》(勺>自)是曲线V=办+2MW(aeR)的两条切线,则k{-k2=

4

【答案】一

e

【解析】由已知得，曲线的切线过（0,0）,

x>0时，曲线为y=ax+21nx,设士>0,直线y=幻在曲线上的切点为（石,%+21nxJ,

,2

V=a+—,

X]

2)

切线：^一(办1+21nxJ=a+—(x—xj,又切线过(0,0)

Ix\)

2]zx2

_ciXy_2InXj—QH—(一Xj),・，・X]=e,k1=aT—,

I\)e

同理取x<0,曲线为y=ax+21n（—x）,设％2<0，直线天二e工在曲线上的切点为

f一,

(x2,ax2+21n(-x2)),y=Q+

(2)

切线：一又切线过

j-(ax2+21n(-x2))=a+(x-x2),(0,0)

%=-e,k?=a—,:・k[_k?=_,

ee

4

故答案为：一

e

.己知椭圆亍+/的左、右焦点分别为片，是上异于顶点的一点，为坐标原点，

16c：=1F2,MCOE

为线段〃4的中点，/片〃区的平分线与直线交于点尸，当四边形两尸鸟的面积为2忘时,

sinZA/7^7^=

【答案】丑

【解析】

由题可知阳闻=2百，|阿|+W啊=4.

因为M3平分/片上与，所以尸到上明，儿与的距离相等,

设为人则5犯”=，|町|+|M|)/z=2鼠

易知。£是△片〃片的中位线，延长耳P,“区交于点G,则尸为片G的中点，

过片作片8_LMG于8,

易得\FxH\=2h=\FxF21sin/4/耳，则SMF^=l^smZMF.F,=2后，从而sin/4里片=平.

故答案为：逅

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在A48C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=b(GsinC+cosC).

（1）求8；

（2）已知8C=2g，。为边48上的一点，若BD=l,ZACD=-,求NC的长.

2

【答案】（1）5=m.（2）ZC=@.

62

【解析】（1）。=6（百sinC+cos。），根据正弦定理得，sin^4=sin5V3sinC+cosC）,

即sinBcosC+cosBsinC=y/3sinBsmC+sinBcosC，

所以cosBsinC=V3sin5sinC，因为sin。＞0,

n

所以cosB=CsinB，所以tanB=——，

3

因为兀），所以5=9

6

（2）因为3C=2百，BD=1,3=5，根据余弦定理得

6

222V3

CD=BC+BD-2BC-BD-cosB=1+12-2x1x143X--=----7，CD=5.

2

,JNBDC=g兀+ZA,：.sinZBDC=sin|+ZAj=cosA.

2

BCCD

在ABDC中，由正弦定理知,

sinZBDC

••.cos除理，心„,所以sinz=¥

.一nZ上"M：心叵

cosA3AC2

18.如图，三棱锥尸—NBC的平面展开图中，AB1BC,^3=AB=46,P2A=AC=4,4c=2/，

E为的中点.

（1）在三棱锥尸—48。中，证明：BEVAC.

（2）求平面尸8C与平面N8C夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

33

【解析】（1）

由片8=45=J4,得PB=AB=迎,且E为P4的中点，

所以8£，尸4,

取NC中点为R，连接E尸，BF，

PCr-

可得£尸=——=J2,

2

在△尸员4中，BE=YIAB2-AE2=V2，

Ar

在AZBC中，BF=——=2,

2

所以BE?+FE?=BF?，

所以BELEF

因为所nPZ=E,EF,PNu平面尸4C,

所以BE，平面0/C,

因为ZCu平面尸4C,

所以B£_L/C；

(2)如图，过点E作EG,尸Z,交NC于点G,

以反,EA＞而分别为x轴，了轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.

则£(0,0,0),/(0,2,0),5(0,0,72),尸(0,-2,0),

在AABC中，可得点C到PA距离为币,

故可得c(J7,—1,0),

方=(0,-2,向，5C-(V7,-1,-V2),P5-(0,2,72)

设平面48c与平面尸8C的一个法向量分别为〃i=(xi，%,zj,々=(x2,j2,z2),

平面PBC与平面ABC的夹角为9,

〃“5=-2%+任1=03s舟

由＜———►I—I—，取y=l=x=-----4=72，

«1-5C=V7x1-j1-V2z1=07

’3g

所以,1,V2,

"1=~T

7

«2-PB=2y2+V2z2=0V?

由＜

———►/—i—，取y=—l=>x=z9

n2BC=sf7x2-y2-V2z2=07

・〃2V_V165

所以cos6=HL

-

〃2V30xV2233

所以两平面的夹角的余弦值为巫5.

33

19.已知数列｛4｝是各项都为正整数的等比数列，q=3,且％是生与的等差中项，数列｛4｝满足

bi=1也+i=2"+L

（1）求数列｛与｝,｛〃｝的通项公式；

（2）若晨空土*—%28〃+2左一24对任意〃eN*恒成立，求实数左的取值范围.

2

【答案】（1）%=3X2〃T,〃=2"—1；（2）[4,+8）.

【解析】（1）设数列｛%｝的公比为9,则qeN*,

33

。3是。2与W“4的等差中项，「.2a3=%+W“4，

32

2q=l+-q~,解得q=2或q=§（舍去），.•.%=3X2〃T

•.•%=24+1,.也+|+1=2色,+1）,

又4+1=2,.•.数列｛4+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

:也+1=2",;也=2"—1；

（2）由左—------ci28〃+2k—24,

2"

整理可得左（2"1+2）—3X2〃T28（〃一3）+2左，即（左一3）28（〃一3）,

左一3〃一3

对任意neN*恒成立，

162

令小）=展，则/（〃+1）-/（〃）=--展2）/（"3）=宗

，当"＜4时，/（«+1）＞/（«）,当〃25时，/（«+1）＜/（；7）,

.・・当〃=4或5时，/（〃）取得最大值，

“（〃）s=/（4）=16

k-31

，——2—.解得上24.

1616

故实数左的取值范围是［4,+8）.

20.某中学有4,8两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都

在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）（4N）（幺㈤（民/）

王同学9天6天12天3天

张老师6天6天6天12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率.

（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；

（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望£（x）；

（3）假设M表示事件Z餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去/餐厅就餐”，P（M）＞0,已知推出

优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明.

尸（阂N）＞P（M可.

【答案】（1）0.6（2）分布列见解析，1.9（3）证明见解析

【解析】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，

因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为6+12=18,

1Q

所以尸（0=痛=0.6.

（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，

则X的所有可能取值为1和2,

所以/＞（刀=1）=0.3、0.2+0.1、0.4=0.1,

p（X=2）=l-P（X=l）=0.9,

所以X的分布列为

X12