2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3黑龙江省双鸭山市饶河县2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、单选题1.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗故选：C.2.在空间直角坐标系中，，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.-1〖答案〗A〖解析〗因为，又，所以，解得，故选：A.3.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故虚部为.故选：C4.已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗椭圆的方程为，则该椭圆的长短半轴长分别为，离心率，解得，对于A，，A符合；对于B，，B符合；对于C，，C不符合；对于D，，D符合.故选：C5.设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，且，则，由正态曲线得，所以．故选：C．6.根据如下样本数据得到回归直线方程，其中，则时y的估计值是（）x2345y25385055A.73.5 B.64.5 C.61.5 D.57.5〖答案〗A〖解析〗因为回归直线方程必过，由题中表格数据得，则，故，则当时，，故选：A．7.由数字组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为（）A.42031 B.42103 C.42130 D.42301〖答案〗C〖解析〗由数字组成各位上没有重复数字的五位数中，1在万位的有（个）；2在万位的有（个）；3在万位的有（个）；4在万位的有（个）；则从小到大排列第88个数为4在万位的五位数.4在万位0在千位的有（个）；4在万位1在千位的有（个）；4在万位2在千位的有（个），则从小到大排列第88个数为4在万位2在千位的五位数.4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为：则从小到大排列第88个数为.故选：C8.已知数列满足，且，则数列的前项和为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵数列满足，且，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴数列的前项和为，.故选：B.二、多选题9.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由可得：，令，则，解得：，故B正确，A不正确；所以，令，则，故C正确，D不正确故选：BC10.“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（）A.从始发车站到A点的所有里程碑个数为14B.从A点到B点的所有里程碑个数为16C.从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987D.从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984〖答案〗ABD〖解析〗由题意知，A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，则从始发车站到A点的所有里程碑个数为，A选项正确；从A点到点的所有里程碑个数为，B选项正确；从A点到点的所有里程碑上的数字之和为，D选项正确，则C选项错误；故选：ABD.11.如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，则下列说法中正确的是（）A.该平面图形是一个平行四边形但不是正方形B.该平面图形的面积是8C.该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是D.以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为〖答案〗BC〖解析〗如图所示将直观图还原为平面图形，由题意可得，AC=4=BD，故该平面图形为正方形.即A错误；面积，即B正确；将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为2，故体积，即C正确；以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，体对角线长为，即D错误.故选：BC12.已知直线与圆：相交于A，B两点，则（）A.直线过定点B.若的面积取得最大值，则C.的最小值为D.线段的中点在定圆上〖答案〗ACD〖解析〗直线即直线，联立，解得，，所以直线过定点，故A正确；因为，所以的面积取得最大值时，利用勾股关系得到直线的距离为，所以，解得或，故B错误；，要使取到最小值，只需取最大，在中，，所以取最大时，弦长AB最短，当直线AB与原点和点直线垂直时，弦长AB最短，因为原点C到点的距离为，此时，，所以，故C正确；联立，得，设，，则，从而，设的中点坐标为，则，消去，可得，所以线段的中点在定圆上，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.展开式中的系数为______.〖答案〗135〖解析〗展开式的通项公式为，令，解得，所以含的项的系数为.故〖答案〗为：135.14.已知是奇函数，则实数__________．〖答案〗2〖解析〗由题意得，所以，解得．15.如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗如图所示，设双曲线的左焦点为点，连接，设，则，由双曲线的定义可得，由于，则,又，则四边形为矩形，在中，由勾股定理得，即，解得，在中，由勾股定理得，即，．故〖答案〗为：.16.已知函数，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗依题意，当时，恒成立，即恒成立，所以，在上恒成立，构造函数，则，由得，由得所以函数在区间上递减，在区间上递增，所以，函数在处取得极小值也即是最小值，故，所以，，即实数的取值范围是故〖答案〗为：.四、解答题17.已知函数.（1）求最小正周期及单调递增区间；（2）求在区间上的值域.解：（1）因为，即函数的最小正周期，由，解得，即在上单调递增，所以，函数的最小正周期为，单调递增区间是.（2）因为，则，所以，所以，所以在区间上的值域为.18.设是等差数列，其前n项和为，是各项都为正数的等比数列，其前n项和为，且，，.（1）求，的通项公式；（2）求的最小值.解：（1）设的公差为d，数列的公比为，则，解得，∴，由，解得，（舍去），∴；（2）由题可知，，∴，当时，，当时，，当时，，当时，，所以当时，递增，即，∴的最小值为.19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男55女合计（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差．附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635参考公式：解：（1）根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100根据列联表中的数据，得到，，所以能在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的概率是，由题意知，从而X的分布列为：X012345，.20.如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）求点到平面的距离.解：（1）以为原点，､､所在直线分别为､､轴建立空间直角坐标系，如图则，，，，取的中点，作交于点因为所以，又，所以，所以，四边形为平行四边形，又，所以，由所以，故，∵，，，∴，，即，，∵，平面，平面，∴平面；（2）由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，而，，则，令，可得，设平面与平面CSD的夹角为，∴，即平面ASD与平面CSD的夹角的余弦值为；（3），平面的法向量为，设点到平面的距离为，∴，即点到平面的距离为.21.在椭圆C：，，过点与的直线的斜率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的右焦点，P为直线上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当取最大值时，求直线MN的方程．解：（1）过点与的直线的斜率为，所以，即，又，即，解得，．所以椭圆C的标准方程是．（2）如图所示，由题知，设点，则直线FP的斜率为．当时，直线MN的斜率，直线MN的方程是；当时，直线MN的方程是，也符合的形式，将直线MN的方程代入椭圆方程得，且，设，，则，，所以．又，令，则，当且仅当，即时等号成立，由，解得，即当时取最大值时，此时直线MN的方程为或．22.设函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个极值点，①求a的取值范围；②证明：．解：（1）当时，，故，所以，当时，；当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）①，依据题意可知有两个不等实数根，即有两个不等实数根．由，得，所以有两个不等实数根可转化为函数和的图象有两个不同的交点，令，则，由，解得；由，解得；所以在单调递增，在单调递减，所以．又当时，，当时，，因为与的图象有两个不同的交点，所以．②由①可知有两个不等实数根，联立可得，所以不等式等价于．令，则，且等价于．所以只要不等式在时成立即可．设函数，则，设，则，故在单调递增，得，所以在单调递减，得．综上，原不等式成立．黑龙江省双鸭山市饶河县2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、单选题1.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗故选：C.2.在空间直角坐标系中，，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.-1〖答案〗A〖解析〗因为，又，所以，解得，故选：A.3.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故虚部为.故选：C4.已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗椭圆的方程为，则该椭圆的长短半轴长分别为，离心率，解得，对于A，，A符合；对于B，，B符合；对于C，，C不符合；对于D，，D符合.故选：C5.设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，且，则，由正态曲线得，所以．故选：C．6.根据如下样本数据得到回归直线方程，其中，则时y的估计值是（）x2345y25385055A.73.5 B.64.5 C.61.5 D.57.5〖答案〗A〖解析〗因为回归直线方程必过，由题中表格数据得，则，故，则当时，，故选：A．7.由数字组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为（）A.42031 B.42103 C.42130 D.42301〖答案〗C〖解析〗由数字组成各位上没有重复数字的五位数中，1在万位的有（个）；2在万位的有（个）；3在万位的有（个）；4在万位的有（个）；则从小到大排列第88个数为4在万位的五位数.4在万位0在千位的有（个）；4在万位1在千位的有（个）；4在万位2在千位的有（个），则从小到大排列第88个数为4在万位2在千位的五位数.4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为：则从小到大排列第88个数为.故选：C8.已知数列满足，且，则数列的前项和为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵数列满足，且，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴数列的前项和为，.故选：B.二、多选题9.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由可得：，令，则，解得：，故B正确，A不正确；所以，令，则，故C正确，D不正确故选：BC10.“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（）A.从始发车站到A点的所有里程碑个数为14B.从A点到B点的所有里程碑个数为16C.从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987D.从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984〖答案〗ABD〖解析〗由题意知，A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，则从始发车站到A点的所有里程碑个数为，A选项正确；从A点到点的所有里程碑个数为，B选项正确；从A点到点的所有里程碑上的数字之和为，D选项正确，则C选项错误；故选：ABD.11.如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，则下列说法中正确的是（）A.该平面图形是一个平行四边形但不是正方形B.该平面图形的面积是8C.该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是D.以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为〖答案〗BC〖解析〗如图所示将直观图还原为平面图形，由题意可得，AC=4=BD，故该平面图形为正方形.即A错误；面积，即B正确；将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为2，故体积，即C正确；以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，体对角线长为，即D错误.故选：BC12.已知直线与圆：相交于A，B两点，则（）A.直线过定点B.若的面积取得最大值，则C.的最小值为D.线段的中点在定圆上〖答案〗ACD〖解析〗直线即直线，联立，解得，，所以直线过定点，故A正确；因为，所以的面积取得最大值时，利用勾股关系得到直线的距离为，所以，解得或，故B错误；，要使取到最小值，只需取最大，在中，，所以取最大时，弦长AB最短，当直线AB与原点和点直线垂直时，弦长AB最短，因为原点C到点的距离为，此时，，所以，故C正确；联立，得，设，，则，从而，设的中点坐标为，则，消去，可得，所以线段的中点在定圆上，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.展开式中的系数为______.〖答案〗135〖解析〗展开式的通项公式为，令，解得，所以含的项的系数为.故〖答案〗为：135.14.已知是奇函数，则实数__________．〖答案〗2〖解析〗由题意得，所以，解得．15.如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗如图所示，设双曲线的左焦点为点，连接，设，则，由双曲线的定义可得，由于，则,又，则四边形为矩形，在中，由勾股定理得，即，解得，在中，由勾股定理得，即，．故〖答案〗为：.16.已知函数，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗依题意，当时，恒成立，即恒成立，所以，在上恒成立，构造函数，则，由得，由得所以函数在区间上递减，在区间上递增，所以，函数在处取得极小值也即是最小值，故，所以，，即实数的取值范围是故〖答案〗为：.四、解答题17.已知函数.（1）求最小正周期及单调递增区间；（2）求在区间上的值域.解：（1）因为，即函数的最小正周期，由，解得，即在上单调递增，所以，函数的最小正周期为，单调递增区间是.（2）因为，则，所以，所以，所以在区间上的值域为.18.设是等差数列，其前n项和为，是各项都为正数的等比数列，其前n项和为，且，，.（1）求，的通项公式；（2）求的最小值.解：（1）设的公差为d，数列的公比为，则，解得，∴，由，解得，（舍去），∴；（2）由题可知，，∴，当时，，当时，，当时，，当时，，所以当时，递增，即，∴的最小值为.19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男55女合计（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差．附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635参考公式：解：（1）根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100根据列联表中的数据，得到，，所以能在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的概率是，由题意知，从而X的分布列为：X012345，.20.如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）