2022年云南高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集。=氏集合M={x|x<l},N={x|x>2},贝！|（e、）cN=（）

A.{x|x>2}B.{x|x»l}C.{x|l<x<2}D.{x|x>21

2.已知集合4={x|1082（%—1）<2},3=乂则4B=（）

A.{2,345}B.{2,3,4}C.{123,4}D.{0,1,2,34}

3.已知直四棱柱A3CD-A4G。的所有棱长相等，NA3c=60°，则直线BC】与平面ACQA所成角的正切值等

于（）

.V6RV10「有nV15

A.•----15•------L・•------

4455

4.已知等差数列{4}的前“项和为S",且S25=50,则知+每=（）

A.4B.8C.16D.2

5.已知集合「={》|》一2<0},。=卜|—<01,贝!!（备「）。为（）

A.[0,2）B.（2,3]C.[2,3]D.（0,2]

6.记几个两两无交集的区间的并集为九阶区间如（YO』U[2,3]为2阶区间，设函数/（力=丽，则不等式

八〃x）]+3W0的解集为（）

A.2阶区间B.3阶区间C.4阶区间D.5阶区间

7.已知函数/（*）=（2«+2）lnx+2ad+5.设若对任意不相等的正数为，/，恒有二，（二）28,

%一/

则实数”的取值范围是（）

A.（-3,-1）B.（-2,-1）

C.（-co,-3]D.（-oo,-2]

8.已知抛物线C：炉=20；（夕>0）的焦点为b（0,1）,若抛物线C上的点A关于直线/：y=2x+2对称的点3恰好在

射线y=H（x<3）±,则直线AE被C截得的弦长为（）

91100118127

A.—B.-----C.-----D.——

9999

9.设等差数列｛4｝的前"项和为S“，若2+生=4+。：,,则邑=()

A.28B.14C.7D.2

10.已知等差数列｛%｝的前13项和为52,则（-2尸=()

A.256B.-256C.32D.-32

11.若复数z满足(―+2i,则|z|=()

A.也B.之C.典1

D.-

2222

2

12.已知丹，生是双曲线丫2=1（。>（））的两个焦点，过点耳且垂直于x轴的直线与。相交于A,B两点,

a

若|A8|=JL则小A取2的内切圆的半径为（）

A0R6「2拒n2^/3

A.B.C.------D.------

3333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在等比数列｛4｝中,a3a4a5=64,%=8,则%=.

Inx

14.已知函数/（x）=L，，若/（a）.L则。的取值范围是一

〔3\七1

15.设集合A=｛1,3｝,B=｛X|X2-2X-3<0｝,则AB=.

16.如图，在△ABC中，AB=4,。是A3的中点，E在边AC上，AE=2EC,CD与BE交于点O,若。3=0OC,

则4ABC面积的最大值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=a+2t

17.(12分)在平面直角坐标系x0y中，直线/的参数方程为《■为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半

Iy=v

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为加="19

3+sin0

(1)若a=-2,求曲线C与/的交点坐标;

(2)过曲线C上任意一点P作与/夹角为45。的直线，交I于点A,且的最大值为而，求。的值.

18.(12分)已知在多面体ABCDE尸中，平面平面ABCD,且四边形ECDb为正方形，且DC〃AB,

AB=3DC=6,AD=BC=5,点尸，Q分别是AD的中点.

(1)求证：PQ//平面EEC。；

(2)求平面与平面PC。所成的锐二面角的余弦值.

19.(12分)已知函数/(x)=|x+2|+|x-4|.

⑴求不等式/(x)W3x的解集;

⑵若/(%)2左|x—11对任意％cR恒成立，求k的取值范围.

20.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，平面平面ABC,AB^BC,24，。。.点石，F,。分别为线

段K4,PB,AC的中点，点G是线段CO的中点.

(1)求证：QA_L平面

(2)判断bG与平面EBO的位置关系，并证明.

21.(12分)设数列｛4｝,其前〃项和S"=—3〃2,又也｝单调递增的等比数列，姑24=512,q+4=%+4.

(1)求数列｛4｝,也｝的通项公式；

b2

(11)若分=仅_2)就_1)'求数列{g}的前n项和北,并求证：

22.(10分)如图，三棱柱ABC-ABC1的所有棱长均相等，⑸在底面ABC上的投影。在棱上，且人田〃平面

ADCX

(I)证明：平面ADC1，平面3。。1片；

(II)求直线与平面ADG所成角的余弦值・

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

先求出访“，再与集合N求交集.

【详解】

由已知，^M={x\x>l},又N={x|x>2},所以e〃cN={x|x〉2}.

故选:A.

【点睛】

本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.

2.B

【解析】

解对数不等式可得集合A,由交集运算即可求解.

【详解】

集合4={%|1。82(%-1)<2},解得4={[1<%<5},

B二N,

由集合交集运算可得Ac3={祖<x<5}cN={2,3,4},

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.

3.D

【解析】

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AD所在直线为V轴，A4所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系.求解平面ACGA的法向量，利用线面角的向量公式即得解.

【详解】

如图所示的直四棱柱A3CD—A4G。1，ZABC=6Q°，取中点E,

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，4。所在直线为V轴，A4所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系.

设=2,则A(0,0,0)，4(0,0,2),5(石,-1,0),。(石,1,0),G(6,1,2),

BCi=(0,2,2),AC=(V3,l,0),A4,=(0,0,2).

设平面ACGA的法向量为n=(x,y,z),

n-AC=#>x+y=0,

则{一取x=l,

n-AA{=22=0,

得几=(1,—0).

设直线Be】与平面ACQ4所成角为0,

Eg."_|-273|_A/6

贝（Isin0=।----i------=\—r=一尸二—-，

\BCi[\n\|V8-V4|4

直线BQ与平面ACC】A所成角的正切值等于半

故选：D

【点睛】

本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

4.A

【解析】

利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.

【详解】

25(〃1+%s)

S25=-------——=50=>a[+a25=4=>〃]]+。]5=4・

故选：A.

【点睛】

本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查基本量的计算，难度容易.

5.B

【解析】

先求出P={x|xW2},Q={x|0<xW3},得到以P={x|x〉2},再结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合P={x|x—2<0},Q=1x|一V。1,

所以尸={x|xW2},Q={x|0<xW3},则备尸={村工〉2},

所以◎2)Q={x|2<xW3}=(2,3].

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能

力，属于基础题.

6.D

【解析】

可判断函数为奇函数，先讨论当％>0且XW1时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应

常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解

【详解】

当x>0且％w1时，/(x)=x)2.令/'⑺=°得X-e•可得/(%)和/⑺的变化情况如下表：

Xx—0(0,1)(Le)e(e,+8)

/'(X)/——0+

“X)/(无)—0e/

令/(x)=f,则原不等式变为/⑺4-3,由图像知/⑺4-3的解集为&,-1)R/)，再次由图像得到

〃x)e(_oo,幻也,-1)的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D

【点睛】

本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想,

属于难题

7.D

【解析】

求解/(龙)的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数小尤2,构造新函数，讨论其单调性即可求解.

【详解】

〃龙）的定义域为（0,+“），r（x）=atZ+4以=2仅心+a+l）,

XX

当4<-1时，/'（尤）<0,故/（九）在（0,+8）单调递减；

不妨设玉<々，而4<-1，知/（九）在（0,+8）单调递减，

从而对任意再、羽e（0,+8），恒有"“）""）>8,

F_%2

即|/（尤1）一/■（九2）怛8忖一即，

〃玉）（巧）28（*2-%），〃%）+8%2“+）+8叫，

令g（无）=7•（*）+8.X,贝ijg，（x）=加上2+4公+8,原不等式等价于g（x）在（0,+。）单调递减，即

JC

6Z+1

-----b2ox+4<0,

x

从而。4上口=巴日—2,因为巴里―2»—2，

2%2+12%2+12%2+1

所以实数a的取值范围是（-8,-2]

故选：D.

【点睛】

此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.

8.B

【解析】

由焦点得抛物线方程，设A点的坐标为（利一根2）,根据对称可求出点A的坐标，写出直线AF方程，联立抛物线求

4

交点，计算弦长即可.

【详解】

抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为/（0,1）,

则3=1,即。=2,

2

1,

设A点的坐标为（加，二次），3点的坐标为（",11），n<3,

如图:

34

m二------

m-63

解得或35(舍去),

n=一

9

A(6,9)

4

•*.直线AF的方程为y=-x+l,

设直线AF与抛物线的另一个交点为D,

2

4,x=——

y——x+1x-63

由＜3,解得＜。或1

2[y=91

x=4y)二一

9

：.D141

2

1\100

I~~9~

9

故直线A尸被C截得的弦长为—.

9

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.

9.B

【解析】

根据等差数列的性质%,+%=%+%并结合已知可求出肉，再利用等差数列性质可得S产7(，；%)=7%,即可求

出结果.

【详解】

因为&+%=%+%，所以2+%=。4+。5，所以%=2,

所以s7=誓®=7%=14,

故选：B

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质及前几项和公式，属于基础题.

10.A

【解析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.

【详解】

由兀=13%=52,%=4,得(—2)%+%=(-2y=256.选A.

【点睛】

本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.

11.C

【解析】

1313

化简得到彳=—+i,z=±i,再计算复数模得到答案.

2222

【详解】

_1+2，(l+2z)(l+z)—1+3，13.

(l+z)z=l+2z,故z=k(l+i)(j)=k=—+—i

22

故z=_:_3,国=回.

22112

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的化简，共物复数，复数模，意在考查学生的计算能力.

12.B

【解析】

设左焦点片的坐标，由的弦长可得”的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形A3尸2

的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.

【详解】

由双曲线的方程可设左焦点耳（-c,0）,由题意可得AB=—=y[2,

a

由b=l，可得a=,

所以双曲线的方程为：—-/=1

2•

所以耳（-括,0）,月（百,0）,

所以SABF•耳玛=1•、历=1&

三角形45尸2的周长为C=AB+”+=AB+（2a+纯）+（2a+）=4a+2AB=4&+20=6夜

设内切圆的半径为r,所以三角形的面积5=工-。"=工-6挺"=3点『，

22

所以3yf2r=\[6）

解得「=立，

3

故选:B

【点睛】

本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角

形的面积可得半径的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

设等比数列｛«„｝的公比为您再根据题意用基本量法求解公比，进而利用等比数列项之间的关系得。2=/=/=1即

可.

【详解】

设等比数列{。“}的公比为4.由％%%=64，得（的旷=64,解得%=4.又由%=8,得£=&=2.则

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.

14.[O,l]o[e,+oo）

【解析】

根据分段函数的性质，即可求出。的取值范围.

【详解】

当°>1时，In.1,

a.e,

当④1时，当.1,

所以既打1,

故。的取值范围是

故答案为：[0』]u[e,+8）.

【点睛】

本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.

15.{1}

【解析】

先解不等式尤2—2%-3<0,再求交集的定义求解即可.

【详解】

由题,因为尤2—2%—3<0,解得」<大<3,即5={x|T<x<3},

则AB={1},

故答案为:{1}

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式.

16.8A/2

【解析】

先根据点共线得到OC=OD,从而得到。的轨迹为阿氏圆，结合三角形ABC和三角形30。的面积关系可求.

【详解】

设C0=XCr)=4cA+4cB=2cE+4cB

2222

32Q1

B,0,E共线，则彳+,=1,解得力=不，从而。为C。中点，故03=00。=&OD.

在小吕。。中，BD=2,OB=yflOD，易知。的轨迹为阿氏圆，其半径厂=20，

=

故^AABC4sAs0。＜2BD-r=8A/2.

故答案为：80.

【点睛】

本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(—2,0),；(2)a=l或a=—1

【解析】

(1)将曲线C的极坐标方程和直线/的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线C与/的交点坐标；

(2)由直线/的普通方程为x+2y-a=0,故C上任意一点P(2cosa,6sina),根据点到直线距离公式求得尸到

直线/的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.

【详解】

3p2+p2sin26>=12.

x=pcosO..

由.c，得3x2+4/=12,

y=夕sm”

22

曲线。的直角坐标方程为二+乙=1.

43

当a=—2时，直线/的普通方程为x+2y+2=0

x+2y+2-0rfx=1

一

一x=-2.、

—+^=ib=oL=-

43i72

从而C与/的交点坐标为(-2,0),

(2)由题意知直线/的普通方程为x+2y-a=0,

x=2cosa

C的参数方程为厂（a为参数）

y=sina

故C上任意一点P(2costz,A^sin«)到l的距离为

4sinaH——\-a

712cosa+2A/3sina-a\I6j

a=-------------T=--------------------

A/5一忑

垃4sin[a+彳）一a

则d

\PA\==y/2d=

sin450A/5

当。之。时，IPAI的最大值为二7-一=&3所以a=l；

当"0时，IPAI的最大值为亚口

=710,所以a=—1.

综上所述，。=1或。=一1

【点睛】

解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属

于中档题.

17

18.(1)证明见解析；⑵

【解析】

(1)构造直线PQ所在平面由面面平行推证线面平行；

(2)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的

余弦值.

【详解】

(1)过点PHLBC交BC于H点,连接如下图所示:

因为平面CD尸E，平面ABC。，且交线为CD,

又四边形CDEE为正方形，故可得CELCD,

故可得CE_L平面ABC。，又CBu平面ABC。,

故可得CELCB.

在三角形CBE中，因为P为班中点，PHLCB,CELCB,

故可得PH〃CE,H为CB中点;

又因为四边形ABC。为等腰梯形，”,。是。3,4。的中点,

故可得HQ〃CD；

又PHcHQ=H,CDcCE=C,

且P〃,〃Qu平面P〃Q,CD,"u平面EC,

故面PHQ〃面EEDC,

又因为PQu平面「〃Q,

故PQ//面庄C£>.即证.

(2)连接AE,AC,作DM,AB交AB于M点,

由（1）可知CE,平面ABC。，又因为DF〃CE,故可得D-，平面A3CD,

则。尸，。河,。尸，。C；

又因为AB〃CD,DMLAB,故可得£>MJ_DC

即DM，DC,Z）厂两两垂直,

则分别以DM，DC,DF为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-肛z,

£)(0,0,0),F(0,0,2),E(0、,2,2),

A(7H,-2,0),P3,1,C(0,2,0)

~r7

设面的法向量为加=(苍y,z),则在=(0,2,0),AR=(—01,2,2),

m-FE=02y=0

则n

m-AF=0-121x+2y+2z=0

可取〃2=(2,0,A/21),

设平面的法向量为〃则

PDC=(x,y,z),DC=(0,2,0),Dp=

2y=0

n-DC=0

则=>#x+3y+z=(/

几DP=0

可取〃=(2,0,—向)，

可知平面AEF与平面PC。所成的锐二面角的余弦值为

cIn-ml|2x2-21|17

cost)—■；~；-；—r——----------——

|n||m|2?+2125

【点睛】

本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题.

19.(1)；(2)(—00,2].

【解析】

(1)通过讨论x的范围，分为x>4,x<—2,—2WxW4三种情形，分别求出不等式的解集即可;

33

(2)通过分离参数思想问题转化为上《1+--+1——-，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到上的范围.

x-1x-1

【详解】

(1)当尤>4时，原不等式等价于x+2+x—4W3x,解得2,所以x>4,

2

当x<—2时，原不等式等价于—x—2—x+4W3x,解得所以此时不等式无解，

当—2<xW4时，原不等式等价于x+2—x+4W3x,解得了之2,所以2WxW4

综上所述，不等式解集为[2,+8).

(2)由上得卜+2|+上一4|2左上一1|，

当x=l时，620恒成立，所以上GR；

1+W

当xwl时,+

当且仅当+即XZ4或2时，等号成立，

所以左<2；

综上上的取值范围是(f,2].

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.

20.(1)见解析(2)FG//平面£30.见解析

【解析】

(1)要证K4,平面E30,只需证明OELPA,即可求得答案；

(2)连接AE交鸵于点Q,连接QO,根据已知条件求证/G//QO,即可判断尸G与平面理。的位置关系，进

而求得答案.

【详解】

(1)

p

AB=BC,。为边AC的中点，

BO±AC,

平面PAC，平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,BOu平面ABC,

NO_L平面PAC,

BOLPA,

在AR4C内，。，E为所在边的中点，

OE//PC,

又PALPC,OE±PA,

24，平面£»0.

(2)判断可知，FG//平面E30,

证明如下：

连接AF交3E于点Q,连接

E、F、。分别为边1%、PB、AC的中点，

.AO

••-----2•

OG

又。是的重心，

,AQAO

..-----1------,

QFOG

FG//QO,

FG<Z平面E30,QOu平面EBO,

FG//平面E30.

【点睛】

本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力

和空间想象能力，属于中档题.

+1

21.(1)an=-6n+3,bn=2"；(2)详见解析.

【解析】

(1)当〃=1时，%=S]=—3,当〃22时，