2024新高考数学模拟试题及答案 (五)

数学

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试

题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第I卷选择题

一,选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知全集。=R,能表示集合/=一―x—2<0｝与5=｛x[0<x<5｝关系的57图是（）

2.已知复数z-1与复数（2+1）2-8i都是纯虚数，则2=（）

A.l+iB.l+2i

C.l±2iD.l-2i

3.设2tan22.50力=2sinl3°cosl3°,c=—c°s50°，则有（）

1-tan222.5°\2

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

4.为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不

断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现

抽取10个班级的平均成绩：70、71、73、76、78、78、81、85、8990，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位

数为（）

A.77B.78C.76D.80

—.—.—.12

5.已知点。在△NBC的边BC上（不包括端点），向量4D=x48+vZC,则一+一的最小值为（）

xy

A.2V2B.2V2+2C.2V2+3D.2V3+2

6.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器4BC-4用。1，现往内灌进一些水，设水深为人.将容器底面

的一边45固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为A481C,如图2,则〃=

（）

\\y

<.1

图1图2

A.3B.4C.4V2D.6

7.已知函数/(x)=sin%x的图象的一部分

yKlb

图1图J

8.设ae(O,l),若函数/(x)=优+（1+。『在（0,+“）递增，则。的取值范围是（）

一也-1V5+11「小

A.,B.

22J

、

C.2/D.0,2

\7\7

二、多选题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设48为两个互斥的事件，且尸(Z)〉0,尸(8)〉0,则()

A.P(AB)=O

B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(AuB)=l

D.P(4DB)=/(/)+尸(B)

10.已知圆C:（X—2）2+J?=1,点p是直线/：尤+>=0上一动点，过点尸作直线P4PB分别与圆C相切于

点48,则（）

A.圆C上恰有一个点到/的距离为-

2

B.直线48恒过定点

C.\AB\的最小值是④

D.四边形NCAP面积的最小值为2

11.如图，在长方体/BCD—44GA中，==28。=4,M川分别为棱44、44］的中点，则（）

A.MN〃平面48G

B.4O_L平面CAW

C.异面直线CN和AB所成角的余弦值为

3

D.若P为线段4G上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值

12.已知函数/（X）=sinx+；sin2x,则（

)

A.2万是/（x）的一个周期

B./(x)在［0,2句上有3个零点

C./(x)的最大值为手

D./(x)在0,|上单调递增

第n卷非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分.

13.以下4幅散点图所对应的样本相关系数不公弓、〃的大小关系为.

3535

，030.

2525-•••

2020-

1515-

1010-・•♦・.

5-

°0~5-101520253035°0■—5io：52。is3七3?

(0相关系数为八(2)相关系数为々

(3)相关系数为勺(4)相关系数为"

14.高中数学教材含必修类课本2册，选择性必修类课本3册，现从中选择3册，要求两类课本中各至少选一

册，则不同的选法共有种.(用数字作答)

15.如图，在三棱锥S—48C中，SA^AB=BC=1,SALAB,BCLAB,若SC=2,则直线£4与8C所

成角的大小是.

16.“三等分角”是三大尺规作图不能问题之一.现借助圆弧和双曲线给出一种三等分角的方法：如图，以角C的

顶点为圆心作圆交角的两边于48两点；取线段45的三等分点。、。；以5为焦点，4。为顶点作双曲线X.

记双曲线H与弧4g的交点为E,连接C£,则=

3

①双曲线H的离心率为.

②若ZACB=~,\AC\=30CE交AB于点P,则|。尸|=

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

记S”为数列〉0,〃6》>)的前〃项和，已知｛JT｝是公差为"的等差数歹人

(1)求｛4｝的通项公式;

1111

(2)设q=],证明：-----1-----1--1------<―

«i«2a2a3anan+i2

18.(本小题满分12分)

如图，长方体ABC。—481GA中，/8=2,8。=。。1=1.若在线段0)上存在点£,使得平面

ABXDX.

(1)求的长；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

19.(本小题满分12分)

某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20%.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此

药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否

则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.

(1)如果新药有效，把治愈率提高到了80%,求经试验认定该药无效的概率夕；(精确到0.001,参考数据:

1+x22+C1x24+x26+Qtx28=62201)

(2)根据(1)中。值的大小解释试验方案是否合理.

20.(本小题满分12分)

在凸四边形48CD中，对角线交于点£,S.BE=ED,AE=2EC,AB=4,AD=26.

(1)若EC=1,求NR4。的余弦值;

7T

(2)若NABD=—,求边的长.

4

21.(本小题满分12分)

226

设椭圆三+£=1伍〉b〉0)的离心率为,上、下顶点分别为4B,|/叫=4.过点£(0,1),且斜率为左的

直线/与x轴相交于点G,与椭圆相交于C、。两点.

(1)若|GC|=p£|,求)的值;

(2)是否存在实数左，使得直线ZC平行于直线5。？证明你的结论.

22.(本小题满分12分)

己知函数/(x)=aex,aGR.

(1)若函数＞=/(力的图象在点(1,/(功处的切线过点(3,3),求函数歹=^(x)的单调区间；

(2)设g(x)=x2,且。〉0,若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)存在唯一的公切线，求实数。的值.

数学参考答案及评分标准

一、单选题（每道5分，共40分）.

12345678

DDCACADB

二、多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分）.

9101112

ACDBCADABC

三、填空题（每道5分，共20分）

13.r2<r4<0<r3<ri14.915.60。/0（120。或笄•不得分契猫）

16.①2；②7-3百（第一个空2分，第二个空3分）

四、解答题（每道5分，共20分）

17.（1）an=（2〃-1居，nGN*

（2）裂项相消求和，不等式恒成立，详见解析。

解：（1）由题意得，y[s^-+（n-_=

2

%>0Sn=n•%

当〃=1时，q=q恒成立；

22

当”22时，an=Sn-Sn_i=n-a{-（n-1）=（2w-l）-a1

经检验，”=1时，%=为符合上式：

即an=（2«-1）-0,

（2）由（1）得,an=（2n—1）•<：],因此,当q=l时，an=2n-1}

则_J_=]=1O______二

a”%（2n-l\2n+1）212〃一12M+1>

第1页共6页

+....

a”明+i

扑……

2I5+:(*-蒲)

1

……_J___qji-L-L」---

2133557+2n-l2/1+1J2(2/1+1J24n+2

11

•/ncN：BP=--<—

焉皿24〃+22

8V13

18.(1)DE=-x(2)

239

解：（1）由题意，长方体Z3CD-44GA中，DA,DC,£0两两垂直，以D点为坐标原

点，分别以的方向为x,y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如

图所示：设。E=a,则4(101)£(0,a,0)4(1,0,0)B,(1,2,1),.(0,0,1),

=(0,2,1)/"=(-1,0,1),4后=(一1，a,-l)

设蔡=（再，必，马）为平面幺用2法向量，则7_1_丽，盛（7公,

2y,+z,=0._,

m-AB=0,7M-AD=0,即,令Z]=2,则再=2,必二一1,

}}一再+Z]=0

/.平面4BR的一个法向量为m=⑵-1,2）,

若A】E1平面ABA,则A.E=九加=(22,-2,22),

-1=2A

,•*AXE=(^-1,a,—1),-a=-2,解得4=—•a=—2=—»BPDE=—

,222

-1=22

(2)由(1)得，8(1,2,015,(1,2,1),/o,-,O|,ABBt=(0,0,l),5E=f-1,--,o\

\2JI27,

设”=（》2，%，Z2）为平面法向量，则〃_L函，nrBE,

第2页共6页

z2=0

：.n-~BB{=Q,nBE=0,即13,令%=2,则/=一3,

f］力=o

二平面BB.E的一个法向量为n=（-3,2,0）,忖=7（-3）2+22=屈

设平面8片E与平面/与A所成角为6,由题意，。为锐角；

由（1）得平面48a的一个法向量获=（2,-1,2）,=722+（-1）2+22=3,

则cos*二』（-3卜2+妙1）+。、2|=迤-

m•nV13x339

19.（1）0,006；（2）合理。

解：（1）将10个病人服用新药视为10重伯努利试验，在每次试验中，每个病人痊愈

的概率为且每个病人是否痊愈是相互独立的，设X代表这10个病人中痊愈的

人数，则X〜设8=“经过试验该药物被认定为无效”，则事件B发生

的概率p等价于尸=（X44）,即

p=p=（X<4）

1、7

1

+C：。-

（5八5）

1,2,4,6,8

=利+C：。变+G：钾+G%无+Gt支

。机+。；。22+党24+。然6+6；28

510

62201

〜0.006

9765625

即经过试验该药物被认定为无效的概率约为0.006；

（2）由题意，实际上该药物是有效的，当痊愈的病人数达不到5人时，认定新药无效,

此时做出了错误的判断.由（1）得做出该错误判断的概率仅为0.006,故该试验方

案是合理的。

第3页共6页

20.(1)；(2)—o

42

解：(1)由题意，•点E是AD的中点，.,•4£是BD边上的中线，则

AE=^AE^{AB+7D]=~+AD2+2AB-AD=；ylAB2+AD2+2AB-AD-cos^BAD

若EC=1,代入：AE=2EC=2,AB=4,AD=2y[2,解得cosZR4D=-J

4

(2)若乙430=工，在AABD中，由余弦定理，得ZD?=432+802—2/8.8。.©os43。,

4

代入=AB=4,AD=2y[2,解得50=2五，则4E='。2加+2加一心

42

=#2.42+2.(2⑸_(2辱=V10,CE=^AE=乎

由题意，•.•点E是AD的中点，.•.BE=Z)E=Vi

“入—、上4人力—e/曰八AE2+DE2-AD2=(4\o\+(V2T-(2V2y

在4AED中，由余弦定理，得cosN4ED=------------~!—■C')

2AE-DE2-V10-V2

4_V5

=T275=T

.,.在4BCE中，ZBEC=ZAED,即cosNBCE=cos4ED=半

在4BCE中，由余弦定理，得BC?=BE?+CE?-2BE•CE•cosZBEC

BC2=BE2+CE2-2BECE-cosZAED,

即5c2=(⑸+(乎)12万乎§

BC2=2+--2=-

22

即BC邛=卓=叵

V2722

第4页共6页

21.(1)—+^-=1；(2)k=+—o

--=1;K=±—

643

26=4

解：(1)由题意，得e=£=更，解得卜=卷，故椭圆的方程为£+£=1；

64

(2)由题意知，k/0,直线/的方程为歹=丘+1,则G=[-匕0),联立・石+]

可得到：(2+3左2*+6丘_9=0,△=36左2+36(2+3公)>0,设交点

。(孙弘)，%),贝

D[X2,iJX|+X2=Y^r,xrx2=--1-y,

NIJ/v，'I3K

则CD的中点的横坐标为五士三二二^,

,--£=(0,1),G=f--,o\则EG中点横坐标为一工，

V7{kJ2k

又,：灰=员,且C,E,G,D四点共线，取EG中点H,则而=近

：.GC-GH=DE-HE,即玩=而，，H是CD的中点，即CD和EG的中点重

22.(1)单调增区间为[-1,+8),单调递减区间为(-8,-1)；(2)a=4

e

解：(1)由题意，明显的，awO,则/(x)=ae",且/<%)=。/(工6火)，

又・・•/⑴=ae,・••在x=l处的切线范围为尸ae=a心-1),切线过点(3,3),

代点(