九年级数学上册第26课 圆章末复习

第26课圆章末复习

课程标准

(1)理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关

系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

(2)了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线,

会过圆上一点画圆的切线；

(3)了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆：

(4)了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥

的侧面积及全面积；

(5)结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能

力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

知识点01圆的定义'性质及与圆有关的角

1.圆的定义

(D线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

【注意】

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可：

②圆是一条封闭曲线.

2.圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形,对称中

心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距,这四组量中的任意一组相等，那么它所对

应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的凫径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

【注意】

在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个

条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：”过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直

径)

3.两圆的性质

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.

4.与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等:在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90。的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为宜角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补:外角等于它的内对角.

【注意】

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

知识点02与圆有关的位置关系

1.判定一个点P是否在。。上

设。O的半径为r,OP=d,则有

d>rQ点P在(DO外;

d=ro点P在(DO上;

do点P在OO内;

【注意】

点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道

数量关系也可以确定位置关系.

2.判定几个点人2、…An在同一个圆上的方法

当4O=4O=K=40=及时，4,4，L4在。o上.

3.直线和圆的位置关系

设。O半径为R,点O到直线/的距离为让

(1)直线/和。O没有公共点。直线和圆相离,0d>R.

(2)直线/和。0有唯一公共点o直线和圆相切=d=R.

(3)直线/和。。有2个公共点o直线和圆也束=d〈R.

4.切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直壬这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直王过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹

角.

5.圆和圆的位置关系

设ea，ea的半径为昆尸(火>尸)，圆心距GO2=d.

(l)eQ和eO2没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的处部=eq.eQ外离。d>R+r；

(2)eQ和ea没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的内部oe«.eQ内含=d<R-r；

(3)eQ和eO?有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的外部OeQ,e2处切

od=R+r；

(4)e«和eC>2有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的内部o内切

od=R—r：

⑸ea和eO2有2个公共点=ea,e0二相交=R-r<d<C+r；

知识点03三角形的外接圆与内切圆'圆内接四边形与外切四边形

1.三角形的内心、外心、重心、垂心

(D三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形

三边的距离相等，通常用表示.

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，

直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，

通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点,在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2_倍，通

常用G表不.

(4)垂心：是三角形三边高线的交点.

【注意】

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半,

即S=；Pr(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：

名称确定方法图形性质

7

外心(三角形外三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定

接圆的圆心)交点!Z)在三角形内部

(1)到三角形三边距离相等；

内心(三角形内三角形三条角平分线(2)OA、OB,OC分别平分

切圆的圆心)的交点ZBAC,NABC、ZACB；

(3)内心在三角形内部.

BZ1

2.圆内接四边形和外切四边形

(D四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.

知识点04圆中有关计算

圆的面积公式：S=TTR2，周长

圆心角为〃°、半径为R的弧长/一""..

180°

圆心角为〃°,半径为R,弧长为1的扇形的面积

36002

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R,母线长为1的圆柱的体积为足部，侧面积为全面积为

2

2兀RI+2TTR-

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R,母线长为1,高为h的圆锥的侧面积为不R/,全面积为7R/+4及2,

母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有存十f「户.

【注意】

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1。的扇形面积是圆面积的36°,即36°36°；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求

出第三个量.

=—lRS=—ah

(3)扇形面积公式S1a彩2,可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式2有点类似，可

类比记忆：

(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形360。2.

考法01圆的基础知识

【典例1】如下图，菱形O/CB的三个顶点A、C、8在。。上，则().

A.100°B.150°C.120°D.60°

【答案】C

【详解】：连结oc,

・・,点A、。、8在OO上，

：.OA=OB=OC,

又・・•四边形。1C3为菱形，

・•・OA=AC=CB=OB=OC,

・・・△CMC和△03。均为等边三角形,

・•・ZACO=ZBCO=60°f

：.ZACB=ZACO+ZBCO=120°.

故选：C.

【即学即练】如图，已知48、力。是的弦，N8=30。，点。在弦上，连接CO并延长CO交于

于点。，40=20。，则N切。的度数是（）

D

A.30°B.40°D.60°

【答案】C

【详解】解：连接04

"：OA=OB,：./O48=NB=30°,

•；OA=OD,：.ZOAD=ZD=20°,

/.ZBAD=ZOAB+ZOAD=50°,

故选：C.

【典例2】如图NC=90。,力8=2,以C为圆心的圆过Z8的中点D,贝l」/C=().

A.2B.3D.6

【答案】D

【详解】解：如图示，连接C。,

在放“8C中，点。是的中点，则3如笄=1,

?.BC=CD=l

，依据勾股定理可得：AC=ylAB2-BC2=A/22-12=百.

故选：D.

【即学即练】如图，CM为。。半径，点尸为。4中点，。为。。上一点，且乙小。=135。，若04=2,则

的长为（）

【答案】D

【详解】解：如图，作0ELPQ于点E,连接0Q,

由题意，0A=0Q=2,ZOEP=90°,

•.•点P是0A的中点，

；.OP=1,

4P0=135。，

，ZEPO=ZEOP=45°,

.•.PE=OE=—,

2

在RtZiOEQ中，由勾股定理，得:

故选择：D.

【典例3】如图，中，ZJ=50°,O是8。的中点，以。为圆心，05长为半径画弧，分别交4sze

于点。，£,连接。。。石，测量NDOE的度数是.

0

A

【答案】80。##80度

【详解】解：如图，连接OE、0D,

根据题意得：OC=OB=OD=OE,

\'ZA=50°,

，N8+NC=130°,

：.ACEO+ZBDO=\3Q°,

：.ZAEO+ZADO=230°,

...NEO0=36O°-NA4EO-//£)O=36O°-5O°-23O°=8O°,

故答案为：80°.

【即学即练】如图，圆内4个正方形的边长均为2a,若点4B,C,D,E在同一条直线上，点E,F,G

在同一个圆上，则此圆的半径为.

【答案】些a

2

【详解】解：•・,点E,尸在。。上,

二圆心。在E尸的垂直平分线尸。上，连接OG、OE,

・・・4个正方形的边长均为2〃，

PQ=Sa,EQ=a,PG=3a,

设PO=x,则OQ=3a-x,

•：OG=OE,BPOG2=OE2,

：.PG2^P（y=O^QE2,即（3。）2+/=（&仪）2+/,

77

解得：x=—a即尸—a,

22f

785

/.OG2=(3a)2+(—a)2=—a2

：.OG=J^-a,

2

故答案为姬

2

【典例4】如图，在A/8C中，ZC=90°,以点C为圆心，8C为半径的圆交48于点。，交4C于点E,若

//=25。，求NDCE的度数;

【答案】40°

【详解】解：•/Z^C5=90°,N/=25°,

，NB=90°-25°=65°,

,:CB=CD,

：.NB=NCDB=65°,

：.ZBCD=180°-65o-65o=50°,

/./£>CE=90°-50°=40°.

【即学即练】如图，线段/D过圆心。交。。于。，C两点，/E交。。于点8,且N5=0C.

(1)若乙4=25°,求NOOE的度数;

(2)若/。。£=90。，AC=\,求48的长.

【答案】⑴75°：(2)=

2

【详解】(1)连接08.

,/AB=OC=OB,：.ZBOC=4=25°,

OB=OE,：.NOEB=2EB0=ZBOA+4=50°,

，ZDOE=NE+4=75°.

(2)VZDOE=90°,：.ZA=-ZDOE=30°(由(1)证明可知)

3

・•・OA=43OE，

OC=OE=x,x+1=V3x»解得x="+'，

2

.i_,>/3+1

,*AD—•

2

考法02弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理

【典例5】如图，N8为。。的弦，半径。CL/2于点。,且Z8=6,OD=4,则。C的长为（）

A.1B.2C.2.5D.5

【答案】A

【详解】解：如图，连接40，

"半径OCJ.Z5与点

AD=-AB=3,

2

,?。。=4,

・••根据勾股定理，40=5/32+42=5,

・♦.OC=AO=5f

：.DC=OC-OD=5-4=1.

故选A.

/

【即学即练】如图，为。。的弦，半径OC_L/8于点。,且"8=6,00=4,则。C的长为（）

£

）

<

A.1B.2C.2.5D.5

【答案】A

【详解】解：如图，连接力。,

•••半径OCL/8与点。，

/.AD=—AB=3,

2

。。=4,

22

・••根据勾股定理，AO=^3+4=二5，

OC=4O=5,

・・・DC=OC-OD=5-4=1.

故选A.

C

【典例6】如图，48为。。的弦,半径OC_LZ8于点。,且Z6=6,OD=4,则。。的长为()

\JoZ

/工

A.1B.2C.2.5D.5

【答案】A

【详解】解：如图，连接40,

・,・半径005与点。,

・・•AD=-AB=3

2f

・.,(97)=4,

22

・••根据勾股定理，AO=yJi+4=5，

：.OC=4O=5,

・・・DC=OC-OD=5-4=1.

故选A.

Q

【即学即练】如图，48为。。直径，点C,。在。。上且於=部.AD与CO交于点E,ND4B=30。,

若/O=JL则CE的长为()

A.1B.3

D.273-2

2

【答案】C

【详解】解：...然=前

ZAOC=ZSOC=90°,

又

，AE=2OE

由勾股定理得，AO2+OE2=AE2

：.(V3)2+<9£2=(219£)2

二。£=1(负值舍去)

/.CE=CO=OE=yfi-\

故选：C

【典例7】已知四边形N8CD为。。的内接四边形，点E、F分别为43、CZ）的中点，若48=8,8=6,

。。的半径为5,则线段EF长的最大值为.

【答案】7

【详解】解：连接0/、0D、0E、0F,

；点E、F分别为48、。的中点，

：.OELAB,AE=-AB=-4,OFLCD,DF=^CD=3,

22

由勾股定理得，OE=4o筋-AE?=152-42=3,0F=yloD2-DF2=^52-32=4.

当£、0、尸在同一条直线上时，EF最大，最大值为3+4=7,

故答案为:7.

【即学即练】如图，已知半圆直径48=2,点C、O三等分半圆弧，那么ACBD的面积为

【答案】3

4

【详解】解：连接OC,OD,过点。作OELC。，垂足为点、E,如图,

・・,点。、。三等分半圆弧,

/COD=/BOD=60。,

•：OC=OD,

・・・△CO。是等边三角形，

・•・NC0060。，

:・/CDO=/BOD,

：.CD//AB9

S&CBD=SMOD»

'：OE±CD,

・・・/COE=3ZCOD=30°f

CE=-OC=-x-AB=-x-x2=-

222222

在用△(%>£中，0E=y]0C2-CE2=

S—S'COD=—CD。OE=—x2C£xOE=—x2♦

ZAACCftisDtj2222

故答案为：4

【典例8］如图，在平行四边形Z8C£＞中，是。。的弦，8C是。。的切线，切点为点从

BC

(1)求证：AB=BD1

(2)若4B=5,AD=8,求。。的半径.

【答案】（1）见解析

【详解】（1）证明：连接°3,交AD于点、E.

••・BC是。。的切线，切点为B,

OB工BC,

・・.NO8C=90。，

•・,四边形Z8C3是平行四边形，

/.AD//BC,

NOED=NOBC=90。,

/.OE工AD,

,,AB=BD；

(2)解：,•.OE’BC,°E过圆心°

AE=—AD=4,

2

在必△4BE中，ZAEB=90°,

：.BE=yj52-42=3-

设。。的半径为r,则OE=r-3,

连接04,

在R/A/OE中，NOE4=9Q°,

OE2+AE2=OA2

即(.3)2+42=产,

25

•r=—,

6

.•・OO的半径为三.

6

【即学即练】如图，在。。中，是。。的弦，CD是。。的直径，且/8J_C。，垂足为G,点E在劣弧功

上，连接CE.

（1）求证：CE平分N4EB；

（2）连接8C,若BCUAE,求证：BC=BE.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】（1）证明：•・•81/8,CO是宜径,

:.AC=BC-

:ZEC=NBEC,

:.CE平分NAEB；

(2)解：如图，

VBC//AE,

ZAEC=NBCE.

又•:ZAEC=NBEC,

NBCE=ZBEC

BE=BC.

考法03圆中有关的计算

【典例9】已知：如图。4,08是。。的两条半径，且ONJ.OB,点C在。。上，则N/CB的度数为（）

A.45°B.40°D.50°

【答案】A

【详解】解：

・•・乙4。8=90。，

ZACB=-ZAOB=45°.

2

故选：A.

【即学即练】已知扇形的半径为6,圆心角为120。，则它的弧长是（）

A.27rB.4才C.6冗D.84

【答案】B

【详解】解：由弧长公式可知,

120万x6.

-------------=^7t,

180

故选：B.

【典例10］如图，AB,8。是的弦,则。。的直径等于（）

A.2B.3D.6

【答案】C

【详解】解：连接08、OC,如图,

:N8OC=2N64C=2x300=60。,

而OB=OC,

：./\OBC为等边三角形,

・・・OB=BC=2,

・・・。。的直径等于4.

故答案为：4.

【即学即练】如图，矩形ABCD中，48=30，％。=3,将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90。得到矩形EBGF,

再将矩形E8GF绕点G顺时针旋转90。得到矩形〃/G/则点。在两次旋转过程中经过的路径的长是（）

EF

H

DC

ABG

g.c3+3>/3c6+3A/3

AA.4A乃BD.5乃C.--------nD.........-7t

22

【答案】D

【详解】解：如图,

EV—^F

DV^C/-~~

ABGJ

第一次旋转时，点。绕点8旋转90。，旋转半径为8。，到达点厂处，

BD=y/AB2+AD2=7（3V3）2+32=6，

此时，点。运动的路径为："；。=牛=3朽,

第二次旋转时，点尸绕点G旋转90。，旋转半径为GF=48=3百，到达点J处，

岛:

点尸运动的路径为:904.GF=3

180-2

故点D在两次旋转过程中经过的路径的长为：3万+迈乃="主区万，

22

故选：D.

【典例11］如图，。。与48相切于点430与。。交于点C,/历1C=27。，则等于

【答案】36°

【详解】解：如图，连接04贝

・・・NOAB=9。。,

,：ZBAC=21°,

・・・ZOAC=90°-ZBAC=63°.

U：OA=OC,

：.NOCA=NOAC=630.

・・.Z5=ZOCA-Z.BAC=63。-27。=36°.

故答案为：36°.

【即学即练】如图，在半径为3的。。中，是直径，力C是弦，。是花的中点，AC与BD交于点、E・若

E是的中点，则4c的长是.

【答案】472

【详解】解：如图，连接0。交力C于凡

是公的中点，

：.ODLAC,AF=CF,

：.NDFE=90。,

•；OA=OB,AF=CF,

：.OF=；BC,

是直径，

JN4CB=90。,

在AEFD和AECB中，

ZDFE=ZBCE=90°

<ZDEF=ZBEC,

DE=BE

:,/\EFDq4ECBCAAS\

:,DF=BC,

：.OF=；DF,

•；0D=3,

：.OF=\,4B=2OD=6,

：.BC=2f

・•・AC=ylAB2-BC2=762-22=472.

故答案为：4班.

【典例12］如图，在。。中，弦8c垂直于半径04,垂足为点E,。是优弧8c上一点，连接80,AD,

OC,N/OC=58°

(1)求/的度数；

(2)若0E=3,OA=5,求BC的长.

【答案】(1)29。

(2)8

【详解】(1)解：连接。8,

'J0A1.BC,过圆心。，

:•油="C»

,：ZA0C=58°,

，/BOA=ZAOC=58°,

ZADB=-ZBOA=29°；

2

(2)'：OA±BC,BC=2,ON过圆心O,

:.BE=EC,

"：OB=OA=5,OE=3,

BE=ylc)B2-OE2=内4=4，

:.BC=2BE=8.

【即学即练】如图，在△N5C中，ZC=90°,NZBC的平分线BE交ZC于点E,。。是△8EF的外接圆,

交于点尸，圆心。在上.

(1)求证：/C是。。的切线;

(2)过点E作£4,48于点”，求证：EF平分NAEH；

(3)求证：CD=HF.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【详解】(1)证明：连接0E,如图所示：

■:BE1EF,

：・NBEF=90。,

斤是圆。的直径，

：・OB=OE,

：,/OBE=/OEB,

•:BE平分/ABC,

:・/CBE=4OBE,

：・/OEB=/CBE,

：.OE//BC,

・・・/AEO=NC=90。,

・・・4C是。。的切线；

(2)证明：°:NC=/BHE=9。。,NEBC=/EBA,

：.NBEC=/BEH,

・・・BE是。。是直径，

；・/BEF=90。,

:・NFEH+NBEH=9。。,N4EF+NBEC=90。,

：.ZFEH=ZFEA,

:・FE平分/AEH.

(3)证明：连接。E,如图所示：

〈BE是N46。的平分线，EC.LBCC,EH上4B于H,

:,EC=EH,

•・•ZCDE+ZBDE=\SO°fNHFE+NBDE=180。,

:・/CDE=/HFE,

■:NC=/EHF=9N,

：./\CDE^^\HFE(AAS),

:・CD=HF,

考法04圆与其他知识的综合运用

【典例13］如图所示，是。。的直径，AD=DE,NE与5。交于点C,则图中与/8CE相等的角除对顶

角外还有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【详解】解：•在和XDOE中

AD=DE

<AO=DO,

DO=EO

:.AOAD名AODE(SSS),

:./DAB=/EDO,ZADO=ZDEOf

•；4O=DO,

:・/DAB=/ADO,

：./DAB=/ADO=/ODE=NDEO；

・.15是。。的直径，

AZJDB=90°,ZAEB=90°,

•:AD=DE,

AD=DE

：.NABD=NDBE,

：.ZDAB=900-ZABD,/BCE=9V・/DBE,

：・/DAB=NBCE,

：.ZDCA=ZDAB=ZADO=ZODE=ZDEO,

则与NEC8相等的角有5个.

图中与N8CE相等的角除对顶角外还有4个

故选C.

【即学即练】如图，正方形44CD的边长为2,点尸在ZQ上，以P为圆心的扇形与边8C相切于点7,与

两边交于点E,F,则弧Eb长度的最小值是（）

7Cc冗44

A.-B.一7D.—

233

【答案】C

【详解】解：当点尸与A或。点重合时，圆心角为90。，此时弧E尸最长,

根据正方形和扇形的对称性可得，当点尸在4。中点时，此时弧Eb的长度最短，且乙4PE=NDPF,

・・,正方形ABCD的边长为2,以P为圆心的扇形与边BC相切，

；・PD=T,PF=2,

PD_1

cosZ.DPF-

~PF~2

：.NDPF=60°,

・・・/APE=60°,

A/EPF=60°,

.现/十、i60x乃x22乃

..弧EF的长度为———=—

1803

故选：c.

【典例14］如图，在△ZBC中，AB=AC=\0,8c=12,分别以点4,B,C为圆心，的长为半径画

弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（）

B.96-25兀

【答案】D

【详解】解：作4O_L8C于点。,

'：AB=AC=]O,8c=12,

:・BD=CD=6,

*'•AD=JAB?-BD?=8，

S阴影=yxJ2x8-y52=48-.

故选：D.

【即学即练】如图，在。。的内接五边形/BCDE中，ZCAD=35°,ZB+ZE=()

A.325°B.145°C.215°D.395°

【答案】C

【详解】解：如图,连接CE,

五边形ABCDE是圆内接五边形，

，四边形ABCE是圆内接四边形，

：.ZB+ZAEC=\SO0,

'：ZCED=ZCAD=35°,

：.N8+N/EZ>180°+35°=215°.

故选：C.

【典例15］如图，矩形Z8CO的对角线4C,8。交于点0,分别以点4C为圆心，40长为半径画弧，分

别交N8,C。于点E,F.若80=6,/C48=30。，则图中阴影部分的面积为.（结果保留兀）

3

【答案】y

【详解】解：：矩形/8C。的对角线/C,BD交于点0,且8ZA6,

：.AC=BD=6,

：.OA=OC=OB=OD=3,

•c_2x307x3?_3

••»阴影=扇形/=记°=2万，

3

故答案为：.

2

【即学即练】如图，在平面直角坐标系xS＞中，直线48过点N（—3夜，0）,B（0,3拉），。。的半径

为1（O为坐标原点），点P在直线48上，过点P作。。的一条切线尸0,。为切点，则切线长P0的最小

值为.

【答案】20

【详解】解：连接OP、OQ.

尸。是0。的切线，

OQ1PQ.

根据勾股定理知PQ2=OP1-OQ2,

・•・当尸。JL时，线段尸。最短;

又0）,8（0,3无），

.,.OA=OB=3e，

ABudoA'OB?=6,

:.OP=-AB=3,

2

,PQ=yjoP2-OQ2=2五.

故答案为：.

【典例16］如图，Z148C是。。的内接三角形，力£是。O的直径，4尸是。。的弦，且ZQJ_8C,垂足为。.若

BE=6,力5=8.

⑴求证：BE=CF；

(2)若44C=NEZC,求4。的长.

【答案】(1)见解析

(2)572

【详解】(1)证明：・・7E是。。的直径,

JN/BE=90。,

；・NBAE+NBEA=9。。,

•：AF±BCf

：.ZJZ)C=90°,

・・・ZJCD+ZCJD=90o,

AB=AB^

，/BEA=NACD,

；・/BAE=NCAD,

・,•弧8£=弧”。

:・BE=CF.

(2)解：连接OC,如图所示：

EF

NA0C=2NABC,

'：NABC-CAE,

：.ZAOC=2ZCAE,

'：OA^OC,

：.NC/O=ZACO=Y4OC，

,?ZAOC+ZOAC+ZOCA^\SO°,

：.ZAOC=90°,

...△zoc是等腰直角三角形，

,:BE=6,AB=8,NABE=90°

•*-AE=dAB、BE?=V82+62=10-

：.AO=CO=5,

AC=y]AO2+CO2=572.

【即学即练】接8D和CD.

⑴求证：BD=CD=ID.

(2)N8/1C=6O。，AB=4,4C=5,求/D.

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析

⑵3

7^-7/-

(3)-

【详解】(1)证明：如图，连接引，

•.•/为三角形48c的内心，

，NBAD=NDAC,ZABI=ZCBI,

BD=CD、

/.BD—DC,

・；/BID=XABI+ZBAD，/IBD=NCBI+/DBC,

•・・NCAD=/BAD=ZDBC,

.・.Z.DBI=/BID，

.・.BD=DI,

・•・BD=CD=ID；

（2）如图，过点8作于"，过点。作Z）G_L8C于点G,

vABAC=60°,AB=4,ZC=5,则N/8，=30°,

:.AH=\-AB=2,BH=—AB=2y/3，贝ljaC==5-2=3,

22

BC=yjBH2+HC2=招+26=亚，

NBAC=60°,

ZBOC=ZBDC=120°,

:BC=CD,DGLBC,

_________J7

:.BC=2BG=2xy]BD2-DG2=2x^-BD=^BD,

2

...BD=—BC=—xV21=-41，

33

过点/,作48,8C,4C的垂线，垂足分别为A/,K,N,如图，

,­•/为三角形/5C的内心,

IM=IK=IN,

设IM=IK=IN=h,

；・S^BC=+BC+4C)xh=g4CxBH,

即(4+5+®)/Z=5X25

解得“=黑3道-近

2

Rt”必中，AI=2MI=3c-汨,

■：DI=BD=币,

:.AD=AI+2=币+3也-币=3也,

(3)如图，设。为三角形48c的外接圆的圆心，连接°伐℃,

•1•ABAC=60°,

/.ZBOC=ABDC=i20°,

••,BD=CD'

EDLBC,且NBOD=Z.COD=-NBOC=60°,

2

•••OB=OD=OC,

：4OBD,AODC是等边三角形，

Q8。=近，

圆的半径为J7,

•'•S阴影部分=S扇形OBC-S四边形OWJC

[20。"08?

--ODxBC

360°2

121_,

=--7TX(⑺、谬再

=主二石.

32

考法05与圆的切线相关的证明与计算

【典例17】下列命题中的真命题是()

①相等的角是对顶角②矩形的对角线互相平分且相等③垂直于半径的直线是圆的切线④顺次连接四边

形各边中点所得四边形是平行四边形.

A.①②B.②③C.③④D.②④

【答案】D

【详解】①相等的角不一定是对顶角，故①错误；

②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确：

③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误；

④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确，

所以正确的是②④，

故选D.

【即学即练】下列命题中，

①直径是弦；

②平分弦的直径必垂直于弦；

③相等的圆心角所对的弧相等；

④等弧所对的弦相等.

⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线.正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；

平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，所以②错误；

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；

等弧所对的弦相等.所以④正确：

经过半径的外端并垂直于半径的直线是圆的切线.所以⑤错误.

故选B.

【典例18］如图，点B在。A上，点C在（DA外，以下条件不能判定BC是。A切线的是（）

A.ZA=50°,ZC=40°B.ZB-ZC=ZA

C.AB2+BC2=AC2D.(DA与AC的交点是AC中点

【答案】D

【详解】解:A,VZA=50°,ZC=40°,

/B=180°-ZA-NC=90°,

BC1AB,

•.•点B在。A上,

.,.AB是0A的半径，

BC是。A切线；

B、VZB-ZC=ZA,

.•.NB=NA+NC,

VZA+ZB+ZC=180°,

，/B=90。，

ABC1AB,

•.•点B在OA上，

；.AB是。A的半径，

ABC是（DA切线；

C、VAB2+BC2=AC2,

.♦.△ABC是直角三角形，ZB=90°,

BC1AB,

•.•点B在。A上，

AAB是（DA的半径，

，BC是③A切线；

D、：OA与AC的交点是AC中点，

/.AB=yAC,但不能证出/B=90。，

.,•不能判定BC是（DA切线；

故选：D.

【即学即练】如图，矩形中，G是8C的中点，过/、D、G三点的。。与边力8、CD分别交于点E、

点F,给出下列判断：（1）/C与8。的交点是。。的圆心；（2）//与DE的交点是的圆心；（3）AE=DF；

（4）8c与OO相切，其中正确判断的个数是（）

【答案】B

【详解】解：连接。G、/G,作于“，连接OD,如图,

：G是的中点，

：.CG=BG,

'：CD=BA,根据勾股定理可得，

：.AG^DG,

，6”垂直平分/。，

二点。在“G上，

■:AD//BC,

C.HGLBC,

；.8C与圆。相切；

'：OG=OD,

二点。不是HG的中点，

二圆心0不是AC与BD的交点；

NADF=NZUE=90°,

，ZAEF=90°,

：.四边形AEFD为(DO的内接矩形，

；.4F与DE的交点是圆O的圆心：AE=DFx

A(1)错误，(2)(3)(4)正确.

故选：B.

【典例19】在正方形/8CO中，以"8为直径做半圆，过点。做。E切圆。于点尸，交BC于点、E,正方形

的边长为2,求阴影面积.

【答案】1.5

【详解】♦.•四边形/8CO正方形，

：.AD±AB,BCYAB,NC=90°,

•.18是。。的直径，

：.AD,8c是OO的切线，

切圆。于点尸，交8c于点E,

：.