2024年江苏高考数学模拟试题及答案

L若集合A={x|x-2<0},集合3={%|2、>1},

则AB=)

A.(2,+co)B.(0,2)C.(-oo,2)D.R

【答案】B

【分析】求得集合人={1|%<2},5={%|%>0},根据集合交集的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合A={x|x—2<0}={x|x<2},B={x|2x>l}={x|x>0},

根据集合交集的运算，可得AcB={x[0<x<2}.

故选：B.

2.已知复数z-(l-2i)在复平面内对应点的坐标为(3,1),则2=()

A.B.'i17.

D.—i

555°/55

【答案】A

【分析】由已知得到z-(l-2i)=3+i,利用复数的除法求出z即可.

【详解】由已知复数z-(l-2i)在复平面内对应点的坐标为(3,1),

则z-(l—2i)=3+i,

3+i(3+i)(l+2i)_l+7i_17

所以z=

l-2i(l-2i)(l+2i)555

故选：A.

3

3.已知Q=2),b=(3,4),若Qh,则ci——b-()

A20B.15C.10D.5

【答案】C

【分析】根据向量平行，求出加的值，再结合向量的坐标运算求模.

3

【详解】因为〃b,所以：4m-(-2)x3=0^>m=--.

所以：=(-6,-8)

所以：a~~2y=|(-6,-8)|=10.

故选：c

./兀、

JTsm(a+—)

4.如图所示，。为射线。3的夹角，NAQx=—，点P(—l,3)在射线03上，则

4

cosa

()

A.2-2+6

B.

22

C2-+1273-1

D.

*―2-2

【答案】A

【分析】射线所对的角为尸，由三角函数的定义可得sin£=*°，cos£=—吟且/?=1+：，于

是有1=夕-三，再根据两角差的正、余弦公式可求得sin(z=26

cosa—，进而可得

455

sing+-)=2岛岳,代入求解即可.

310

【详解】解：设射线所对的角为尸，则有sin/?=[d=鼻cos/?=1

A/IO-io

7T

又因为A=a+—,

〃—cos〃)=孚,cosa=cos(〃—：)=昌

所以sin(a+-)=-sin(z+—cosa="+岳

32210

275+715

./71x

sm(a+—)2+V3

10

所以--------

cosa2

5

故选：A.

5.下列函数中，既是偶函数又在(0,2)上单调递减的是()

A.丁=2国B.y=-x3

JQ2—x

C.y=cos—D.y=In----

22+x

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.

【详解】对于A,函数/(x)=2国的定义域为R,关于原点对称，

且/(—%)==2国=/(x),所以函数人尤)为偶函数,

当xe(0,2)时〃x)=2',函数/(尤)单调递增，故A不符合题意；

对于B,函数/(x)=-V的定义域为R,关于原点对称，

且f(-x)=-(-%)3="=-f(x),所以函数/⑺为奇函数，

由哥函数的性质知函数y=3在R上单调递增，

所以函数/(x)=-d在R上单调递减，故B不符合题意；

对于C,函数/(x)=cos］的定义域为R,关于原点对称，

XY

且f(-x)=cos(--)=cos—=/(x),所以函数/(尤)为偶函数，

当xe(0,2)时：e(o,l),又(0,1)之,

所以函数f(x)=cos］在(0,1)上单调递减，故C符合题意；

2—x

对于D,函数/(x)=ln—^的定义域为(-2,2),关于原点对称,

2+x

且/(-X)=In2+x=皿2~-)"1=-ln-~-=-/(%),

''2-x2+x2+xV'

11_2x

所以/(九)是奇函数，又/'(x)=

2-x2+x(2-冗)(2+x)

令—(%)<0=-2<%<0,令广(1)>。=>。<%<2,

所以函数/(九)在(-2,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，故D不符合题意.

故选：C.

6.设。为坐标原点，耳，耳为椭圆+=1的焦点，点尸在C上，|。升=6,则cos/KPf；=

()

A.--B.0C.-D.

333

【答案】C

【分析】设忸片|=m,|。6|=〃，利用余弦定理可得cosNKPE,="「+"——8，再由向量表示可知

2mn

PFl+PF2=2PO,即可得病+/+2根“cos/耳Pg=12；联立即可求得cos/£P&=：.

【详解】如下图所示:

不妨设|尸制=叫尸鸟|=",根据椭圆定义可得机+九=2a=4,闺8|=2c=2顶;

由余弦定理可知cos/耳尸8=---------；

2mn

又因为PG+P&=2PO,所以(PH+PK『=(2PO『，又=

22

即可得根2+n+2mncosZFiPF2=12,解得m?+；i=10；

Xm2+n2=(“z+〃)--2mn=16-2mn=10,即mn=3；

m2+“2-810-81

所以可得COS/KP&=

2mn6-3

故选：c

7.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，

其中第一级过滤一般由孔径为5微米的。尸棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去

除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过

滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L,则。。棉滤芯的

层数最少为(参考数据：坨2。0.30,炮3。0.48)()

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【分析】首先由条件抽象出经过〃层皮棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量y的函数，再结合指对运算，解不

等式.

【详解】设经过〃层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为y,则y=80x[l-=80x[g],

令80X[2]<2,解得[2]<—,两边取常用对数得〃lg=Wlg4，即〃坨。2炮40

UJU)403402

即〃(lg3—Ig2)2l+21g2,因为lg2Po.30,lg3«0.48,

所以(0.48—0.30)〃21.60,解得北与，因为“eN*,所以〃的最小值为9.

故选：A

8.设函数/(x)=Qx2—4x+Mnx,若函数y=/(无)存在两个极值点否,且不等式

/(石)+/(>2)2%+%2+/恒成立，则/的取值范围为()

/e2

A.(-co,-l]B.00,-16-81112]—00,----4eD.(TO,—13]

2

【答案】D

【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出石+々,石々及。的范围，然后代入

/(%)+/(%)—(七+马)，构造函数求最值即可.

【详解】函数/⑺定义域为(0,+"),fXx)=x-4+-=r~4x+a,x>0,

XX

又函数y=/(x)存在两个极值点%px2,

所以方程f—4x+a=0在(0,+8)上有两个不相等的正实数根,

A=16-4ti>0

则<石+%2=4〉0,解得0va<4,

xrx2=a>0

2-|1

+z)—2玉％2-5(玉+x2)+6zln(x1x2)=­[16—2。]-20+〃1口。=a\na-a-12

2—2

设/z(“)="lnQ-Q-12,0<Q<4,

则"(a)=Ina,

当Ovavl时，”(a)vO,单调递减,

当l<a<4时，"(a)>0,/z(a)单调递增加,

.叽尸⑴一3

因为不等式7(-^1)+/(X,)>%1+%+f恒成立,

即Z(^)+/(X2)-(X1+々)之方恒成立，

所以13.

故选：D.

二、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

9.下列命题正确的是()

A.若样本数据X],9,.,天的方差为2,则数据2万-1,2%-1,.,2%-1的方差为7

2

B.若P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(A|B)=0.5,则P(B|A)=j.

C.在一组样本数据(X],%),(%2,%)，…，(%,")，(n>2,xx,x2,--,xn,不全相等)的散点图中，若所有

样本点(4％)(，=1,2,/)都在直线y=-gx+l上，则这组样本数据的线性相关系数为-；

D.以模型y=ceh去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,求得线性回归方程为

z=4x+0.3,则c,k的值分别是e°3和4

【答案】BD

【分析】利用方差的概念，条件概率公式，线性回归分析等知识分别对每个选项逐一判断即可.

【详解】对于选项A：若样本数据石,々，…，毛的方差为2,则数据2%-1,2々-L,2%-1的方差为

22x2=8/7，故A不正确；

对于选项B：若尸04)=0.6,「(3)=0.8,尸(4|3)=。.5,则

P(5|A)=2=PG)P(4|3)=2^2

§,故B正确;

P(A)P(A)0.6

对于选项C：在一组样本数据(石,%),(4,%)=，(5,%)，(H>2,^,%2,,xn,不全相等)的散点图

中，若所有样本点(x”y)a=L2,,〃)都在直线丁=-；x+l上，其中-；是线性回归方程的一次项系

数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[T,1],当相关系数为正时呈

正相关关系，为负时呈负相关关系，故C不正确；

对于选项D：以模型>=。6玄去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,

则z=lny=lnc+lnek=lnc+依，由题线性回归方程为2=4x+0.3,则lnc=0.3次=4,故c,左的值

分别是e03和4,故D正确.

故选：BD.

10.己知函数/'(£)=Asin(0x+e)[A〉O,0〉O,[d<])的部分图象如图所示.则()

A./W的图象关于,0j中心对称

5兀

B.Ax)在区间可，2兀上单调递增

C.函数/(%)的图象向右平移:个单位长度可以得到函数g(x)=2sin2x的图象

D.将函数/(x)图象所有点的横坐标缩小为原来的;，得到函数〃(x)=2sin(4x+四)的图象

/6

【答案】ABD

【分析】由题意首先求出函数/(九)表达式，对于A,直接代入检验即可；对于B,由复合函数单调性、

正弦函数单调性判断即可；对于CD,直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可.

T5it7112兀

【详解】由图象可知A=2,—=--------=—x—,解得T=TI,G=2,

41264G

又了(2=2,所以2sin(5+“=2,即g+0='+2E,左eZ,结合悯v],可知左=0,0=已，

所以函数/(%)的表达式为/(x)=2sin(2x+t],

对于A,由于/[―5]=2sin[—弓+2]=0,即Ax)的图象关于1—],()]中心对称，故A正确；

5兀Ji7兀25兀7兀9兀

对于B,当工£——,2n时，t=2x+—e—,屋—，由复合函数单调性可知/(九)在区间

可,2兀上单调递增，故B正确；

对于C,函数/(%)的图象向右平移百个单位长度可以得到函数

6

g(x)=2sin2x--^+―=2sin2%-—^,故C错误；

_I6J6JI6J

对于D,将函数Ax)的图象所有点的横坐标缩小为原来的得到函数/z(x)=2sin(4x+C)的图象，故D

~6

正确.

故选：ABD.

11.已知圆。：l2+y2=4与圆C：f+y2—2x+4y+4=0相交于A,8两点,直线

/:x—2y+5=0,点尸为直线/上一动点，过P作圆。的切线PM,PN,(M,N为切点)，则说法正

确的是()

A,直线AB的方程为x—2y+4=0B.线段AB的长为递

5

C.直线过定点,gg)D.的最小值是1.

【答案】BCD

【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标,

即可求出线段A3的长，判断选项B；设A/（4X）,N（X2，%），可得直线尸凹方程和直线PN的方程，用

点P坐标表示出直线肱V的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当|尸。|最小时，|「加|最小，利用点到直

线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D.

X2+y2=4

【详解】由题知，联立《

x2+y1一2x+4y+4=0

两式相减得x_2y_4=0,

即直线A8的方程为龙一2,一4=0,A错;

f+y2=4

联立《

X2+y2-2x+4y+4=0

对于C,设，

因为M,N为圆。的切点,

所以直线尸M方程叫+孙=4,

直线PN的方程为xx2+yy2=4,

又设〃（飞，九），

玉玉+%%=4

所以“，

%0%2+%%=4

故直线MN的方程为4,

又因为%-2%+5=0,

所以（2x+y）y（）—5x—4=0,

4

x=-

\2x+y=05

田V得《

-5x-4=08

y

即直线MN过定点C正确;

因为+=po2,

所以当1PM最小时，|P0|最小,

|0-0+5|

且「。|最小为了百

2

所以此叫=岔）—4=1,D正确.

故选：BCD

12.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或

右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9,1—>3-4—>5T6T7―>8f9就是一条移动

路线，（）

A.从1移动到9,一共有34条不同的移动路线

B.从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条.

C.若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为:

8

D.若每次移动都是随机的，记「⑺为经过i的概率，则P⑺〉尸（8）>P（9）

【答案】AB

【分析】画出树状图，结合图形及古典概型即可求解.

【详解】画出树状图，结合图形

里

申申

则从1移动到9,一共有34条不同的移动路线，A正确;

从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线，

即上图倒数第三行有9的路线，有15条，B正确；

若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的路线共有10条，

则其概率为』，C错误；

17

若每次移动都是随机的，记P«）为经过i的概率，则P（9）=l为最大值，尸（7）＜1,D错误.

故选：AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（炉+1）（》-2广展开式中/项的系数为

【答案】8

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得（3+1）（》-2）4展开式中项的系数.

【详解】由题意可知：（%—2）4展开式的通项公式为7；+1=（21]4，（—2）二厂=0,1,2,3,4,

所以（三+1）（工—2）4展开式中d项的系数为C：X（—2）4+C；X（—2）=16—8=8.

故答案为：8.

14.ABC^,4（7,8）,5（10,4）,。（2,汽），则S.c为.

【答案】28

【分析】用向量的方法，借助平面向量数量积的有关计算求角A,然后用三角形的面积公式求解.

【详解】因为：AB=（3,T）,AC=（-5,-12）,

所以：|A@=5,卜4=13,ABAC=3x（-5）+（^）x（-12）=33,

所以：cos（AB,AC）=-----=—,所以为锐角，且sin（砺，衣）=.

5x136565

所以：S11AB|-|AC|-sinAB,AC^=IX5X13X||=28.

故答案为：28

15.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为石，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为

%和丫乙.若?=2,贝1］白=__________.

J乙V乙

【答案】^##-75

55

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为心乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧面积公式可得

〃=2々，再结合圆心角之和可将分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的

体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为G，

则"_=马|=工=2,所以彳=2々，

S乙;rr2l々

又泡+浊*,则X」所以1的

II2I424

所以甲圆锥的高4=,/―；/2=争,

故答案为：?

16.在数列求和中，裂项相消法是很常用的方法.例如在计算5.=1+2+3+……+”的过程中，可以选

择将通项作如下处理：4=〃=——1）〃—+,从而求出

Sn=-1［0xl-lx2+lx2-2x3+...+（H-l）n-H（H+l）］=^t^，类比上述方法，计算

S„=lx2+2x3+...+«（«+1）=,并由此结果推导出自然数的平方和公式

I2+22+32+...+n2=

【答案】①.—n（n+l）（n+2）②.—n（n+l）（2n+l）

36

【分析】根据题设的方法，M〃+l）=—g■〃—+—〃（〃+1）仇+2）],可求空①，进而

然后利用/=〃+求空②.

【详解】对于S〃=lx2+2x3+...+〃(〃+l),

其中求和项%=〃(几+1)=+++

〃(〃+1)(〃+2)

・,・S”=-牙0x1x2-Ix2x3+lx2x3-2x3x4++(〃-1)〃(九+1)-〃(〃+1)(〃+2)]=

〃3L3

又•:/=〃(〃+1)一〃,

+2~+32+...+〃2=1x2—1+2x3—2++〃(〃+1)—n

=1X2+2X3+...+M(«+1)-(1+2+...+«)=+2)_"(；1)

n（n+l）（2n+l）

―6,

故答案为：-n（H+l）（«+2）；-n（«+l）（2«+l）.

36

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

，、fa-2,n<6

17.设数列｛%｝满足aa+i=1,/6?4*且。，+。9=0.

[3a“,n>7

（1）求数列｛4｝的通项公式a”；

（2）求数列｛4｝的前w项和公式S,.

13—2〃,H<7

【答案】（1）

一3"-7,n>7

-〃2+12〃,n<7

⑵sn=\73-3"-6

n>7

、-2-，

【分析】（1）根据递推公式判断数列是否等差、等比，再根据等差、等比求通项;

（2）分段求数列的前九项和.

【小问1详解】

由题意：数列｛4｝的前7项成等差数列，公差d=-2,从第7项起成等比数列，公比q=3.

%+%=°n%—5d+07g2=o=%=-1

当〃《7时,61tl=3+(〃—7)d=—2rl+13

当〃>7时,

—2〃+13,n<7

所以：a=

n—3"-7,n>7

【小问2详解】

当时，S=」4+12”,

"2

73—3"6

当”>7时，Sn—S-,+as+a9—\-an=35H__~

1-32

—n2+12〃n<7

所以：5〃=<73—3〃一6

n>7

、2

sinB+sinCcosB-cosA

18.在一ABC中,a=A/19，n

cosB+cosAsinC

（1）求角A；

（2）若点。为BC边上一点，殷=3且AOLAC,求的面积.

DC4

2兀

【答案】（1）—

3

⑵亭

*+2_21

【分析】Q）根据同角的三角函数关系和正弦定理化简原式’结合余弦定理求解=进

而得到答案;

（2）根据已知条件转化为向量关系，通过向量数量积运算得到2c=3b,结合余弦定理得到

3

19^b2+c2+bc两式联立得到b=2,c=—匕=3,结合三角形面积公式即可得到答案.

2

【小问1详解】

,,„sin3+sinCcosB-cosA

因为------------=-------------,

cosB+cosAsinC

所以sin5sinC+sin?C=cos25-cos2A，

即sinBsinC+sin2C=(1—sin25)—(l-sin?A)=sin2A-sin2B,

在一ABC中，由正弦定理得，bc+e=a1-^,即匕2+。2—/=_人。,

在，ABC中，由余弦定理得，cosA==」,

2bc2

2TL

又因为0<4<兀，所以A=

【小问2详解】

如图所示,

A

BDC

一3-3（-43

所以AD=43+及3。=43+及AC—AB）=—AB+及AC

77、>77

因为ADLAC,所以AD-AC=O，

所以+=

43

所以一AB-AC+—AC-AC=O,

77

gp|&cx^-1^+|xZ22=0,即2cb=3^2,

又因为bwO,所以2c=3/7,

在,?16。中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2Z?ccosA，

BP19=/?2+C2+Z?C，

3

代入。=—b,解得b=9（负值舍去），

2

3

所以b=2,c=—匕=3,

2

所以S/XABC=；bcsinA=gx2x3x•

19.如图，直三棱柱ABC-a用G中，一A5c为等腰直角三角形，CA=CB,E,尸分别是棱A4，CG

上的点，平面班/，平面ABBIA，M是A5的中点.

AllCl

p

B

(1)证明：CM〃平面BEF；

(2)若AC=A£=2,求平面5石户与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵逅

3

【分析】(1)过F作FDLEB交BE于D,应用垂直于同一个平面的两直线平行可证CM//ED即可;

(2)以CA,C5,CG为龙，》z轴建系，应用空间向量求二面角的余弦值.

【小问1详解】

过F作FDLEB交BE于D,因为平面8跖，平面公5与人，

平面BEFI平面ABB^=BE,

FDu平面BEF,则EDL5石，

.•.EDJ_平面A54A,

M为中点，且C4=CB,.•.O/LAB,

又A4,JL平面ABC,CMu平面ABC,

A4j1CM,又AB,AA]u平面ABBXAX,

ABc"=A,CM，平面ABB】A,

:.CM//FD,QWa平面5ER,FDu平面BEF,

.•.。///平面5即.

【小问2详解】

CM//DF,

•••可确定一平面CMDF,

CF//A4,CF平面ABB〕A,A&u平面ABB^

：.CF//平面ABB{AX,CFu平面CMDF,

平面CMDFc平面ABB]A=MD,

:.CF//MD,

.,・四边形CMDE为平行四边形，

AE

CF=MD=—=1

2

以CA,C3,CC］为无，》z轴建系，

则3(0,2,0),E(2,0,2),下(0,0,1),

设加=(尤,y,z)为平面5防的法向量，

EF=(-2,0,-1),6^=(0,-2,1),

m-EF=0f2x+z=0

则〈，即、八，令1=1,则y=—l,z=-2,

m-BF=012y—z=0

.•.m=(L—L—2)是平面5一所的一个法向量，

〃=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，

小依小旃，/

平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为好.

3

6,且经过点C(l,

2

(1)求椭圆方程

(2)点A为椭圆的上顶点，过点3(—1,。)的直线/交椭圆于P,Q两点，直线AP,AQ分别交x轴于点

M,N,若|MN|=4j7,求直线/的方程

2

【答案】(1)—+y2=l

4-

(2)尤一2y+l=0或3x-y+3=0

【分析】(1)根据题意列式求片力2,即可得结果;

(2)分类讨论直线/是否为x轴，设/方程为x=/ny-1,P(%,%),。(々，%),根据题意整理得

\MN\=G"D(x-%),联立方程结合韦达定理分析求解.

1—(%+%)+%%

【小问1详解】

因为/=F=[_]---=—,可得〃2=4/，

CTCT4

又因为点1,一相|在椭圆上，则下+“7=1，

联立解得/=4,/=1,

所以椭圆方程为工+V=L

4-

【小问2详解】

若直线/为无轴时，|跖V|=4不符合条件;

若直线不与x轴平行时，设/方程为x=—，

同理可得/=丁a-

1-%

所以|“v|=工一上=蟹二1—鳖二1(相一1)(必一%)

i—必］一%i—yI—%1-(%+%)+%%

x=my-1

联立方程<尤2,消去x得O2+4)y2_2zny-3=0,

——+y=1

14

则A=4m2-4(m2+4)(-3)=48+16m2>0,

—r/日2m-3

可得X+%=乂%，

m+4m+4

-

miN।If2mY124册2+3

人口…2|=心口|

4dm2+3m-1|

可得------nr±A--------=477，整理得3m2—7〃z+2=0，解得=2或〃2=；,

.2m-3

1——5——+—;-

m+4m"+4

所以所求直线方程为x—2y+l=0或3x—y+3=0.

【点睛】方法点睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系

时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求

解.

21.设函数/(x)=lnx,g(x)=f+。

(1)若函数y=/(x)与y=g(x)的图象存在公切线，求。的取值范围

(2)若函数b(x)=/(x)—g(x)有两个零点和％2(芯＜々)，求证：%+々＞夜.

「l+ln2、

【答案】(1)ae-------,+℃；

(2)证明见解析.

【分析】(1)设公切线与y=/(x),y=g(x)分别相切于❷,ln再),(%2,君+外，写出对应切线方程，根据

,1,

公切线列方程得到。=1叫+彳-1在(0,+co)上有解,构造中间函数研究参数范围;

五+1x

(2)分析法，将问题化为证三一In(土)＞2,应用换元法及导数证明不等式即可.

A-1々

x2

小问1详解】

设公切线与y=f(x),y=g(x)分别相切于(芯,In%),(%2,考+a),

则直线＞一In%'(x-X])与直线y—龙；—。=2马(x—%)为同一条直线，

xl

--二2々1

石',消去巧得a=]%+北7_1，

Inx；-1=a-'

要有公切线存在，即上述关于占的方程在(0,+8)上有解,

设/z(x)=lnx+工一1且xe(0,+s),则〃(％)=工—-L=

4/x2x32%3

交庠+8)

(。去2

"(X)—0+

h(x)单调减极小值单调增

所以力(X)min=必孝)l+ln2l+ln2

------,即nn。e,+oo

22

【小问2详解】

由王,马是E(x)的两个零点，则出西=k+a,ln%2=其+4，

五+1

则(%+X)2=五*ln(%)=^ln(2)

两式相减得1no=(%1-x2)(%1+%),2

%—%2%2五_1%2

x2

1+1X

要证为+%2>8，%%均为正数，只需(%+%)2>2，即证%—ln(五)〉2,

A-1%2

%2

%/I12._2