吉林省通化市2024届高三年级下册一模数学试题（含答案解析）

吉林省通化市梅河口市第五中学2024届高三下学期一模数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.从某班所有同学中随机抽取io人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下:

4,4,4,7,7,8,8,9,9,10,这组数据的众数是（）

A.9B.8C.7D.4

2.已知向量满足卜=1,。・匕=-1,则〃•（〃4）的值为（）

A.4B.3C.2D.0

3.已知a>0,b>0,a+b=2,则()

A.0<«<1B.Q<ab<\C.a2+b2>2D.l<b<2

22

4.已知椭圆G:上+匕=1,A,8为G的短轴端点，P为G上异于A,8的一点，则直

43

线AP,的斜率之积为（）

3434

A.-B.-C.——D.——

4343

5.标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对

数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的症，

若视力4.0的视标边长约为10cm,则视力4.9的视标边长约为（）

l/—11

A.啊B」啊C.西口.丽

6.辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称.已知某超市销售的盘锦袋装大米的

质量M（单位：kg）服从正态分布N（25,4）,且p（24.9<M<25.1）=0.8,若从该超

市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在25kg〜25.1kg的盘锦大米的袋数的方差为（）

A.14.4B.9.6C.24D.48

7.已知动点尸在直线，：x-y=0上，过尸总能作圆C:（x-a）2+y2=i的两条切线，切点

JT

为且恒成立，则。的取值范围是（）

A.（^4,0）（0,4）B.（一8,-4）U（4,+8）

C.（-25/2,0）1（0,2匈D.（—00,—272）（272,+8）

8.已知函数八％）满足/（x+y）=/（x）+/（y）+2盯则/（ioo）=（）

A.10000B.10082C.10100D.10302

二、多选题

9.已知马、Z?都是复数，下列正确的是（）

A.若㈤=卜|,贝”=±Z2

B.2闵=归归|

C.若卜i+Z2|=|z「Z2|,则z&=0

z

D•Z1•z2-i'

10.为得到函数y=6sin12x+]j的图象，

只需要将函数>=6sin2x的图象（）

jr

A.向左平行移动g个单位B,向左平行移动三个单位

6

5兀11JT

C.向右平行移动三个单位D.向右平行移动詈个单位

60

11.已知尸是直线/:y=x+20上的动点,0为坐标原点，过尸作圆。：/+了2=1的两

条切线，切点分别为43,则（）

A.当点尸为直线/与x轴的交点时，直线A3经过点历

I4

B.当"PB为等边三角形时，点尸的坐标为卜夜,3）

C.的取值范围是

试卷第2页，共4页

D.|P0|的最小值为0

三、填空题

12.若半径为R的球。是圆柱的内切球,则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为.

13.在+的展开式中，含/的项的系数是.(用数字作答)

14.已知［ABC为等腰三角形，其中A3=AC,点D为边AC上一点，cos2=g.以点3、

D为焦点的椭圆£经过点A与C,则椭圆E的离心率的值为.

四、解答题

15.已知数列｛qj满足4+2/+…+次/“=(/T—1),2,!+1+2.

⑴求｛《,｝的通项公式；

,114

(2)设或=—+—,证明：bx+b2+...+bn<-.

anan3

16.如图，在三棱锥尸-ABC中，平面PACL平面ABC,且R1=PC,PA±AB.

⑴证明：平面PAC；

(2)若R4=AB=AC=2,点M满足尸3=3PM,求二面角P—AC—M的大小.

17.如图，平行六面体ABCD-A月中，瓦P分别为4&CG的中点，N在耳2上.

⑵若DC=DD[=2AD=4,//DC=—,ADA.平面DCC[R,B[N=5NB,求平面EFN与

平面。CG2的夹角的余弦值.

18.已知抛物线C：y=2x的焦点为P,其准线/与x轴交于点尸，过点P的直线与C交

于A,3两点（点A在点8的左侧）.

（1）若点A是线段尸3的中点，求点A的坐标；

⑵若直线AF与C交于点。，记内切的半径为「，求厂的取值范围.

19.黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想

之一.它与函数=g）（尤>O,S>1,S为常数）密切相关，请解决下列问题.

⑴当1<SV2时,讨论了（力的单调性;

⑵当s>2时;

①证明无）有唯一极值点；

②记的唯一极值点为g（s）,讨论g（s）的单调性，并证明你的结论.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】借助众数定义即可得.

【详解】由数据可知，其中服务次数为4的个数最多，故众数为4.

故选：D.

2.C

【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律即可求解.

【详由题思知，a-(a—b)=a-a-b=l—(—l)=2.

故选：C

3.B

【分析】借助不等式的性质与基本不等式逐项判断即可得.

【详解】对A：由。=2-〃>0,故。<2,即0<〃<2,故A错误；

对B：由a>0,b>0,贝iJqZ>>0,且"V(?)=1,

当且仅当。=6=1时，等号成立，故0<次?K1,故B正确；

22

对C：由a+/?=2,故(a+/?/=/+/+2々〃=4,即有a+b=4-2ob,

又由B可得0<次?K1,即24[2+。2<4,故c错误；

对D：由〃=2—/?>0,故人<2,即0<人<2,故D错误.

故选：B.

4.C

【分析】设P&,%),可得y：-3=-手，代入七1中即可得.

【详解】设则有,+。=1,即有4_3=-手，

由椭圆方程不妨设短轴端点AB的坐标分别为(。，6)、倒，-百)，

则>1,_%-J3y0+V3_yl-3_43.

KAP'KBP-一2一2~—一7

%尤o%%4

故选：C.

5.A

【分析】由题意结合指数幕的运算法则计算即可得.

【详解】由题意可得，视力4.9的视标边长约为：

答案第1页，共15页

991

lOx=10x10一历=10历=啊cm.

故选：A.

6.A

【分析】由题意根据正态分布的对称性求出P(25<M<25.1)的值，确定质量在

25kg~25.1kg的盘锦大米的袋数X8(60,0.4),根据二项分布的方差公式，即可求得答案.

【详解】由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M(单位：kg)服从正态分布N(25,(T2),

且P(24.9<M<25.1)=0.8,故尸(25<M<25.1)=gx0.8=0.4,

从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在25kg~25.1kg的盘锦大米的袋数

X3(60,0.4)

故D(X)=60x0.4x(l-0.4)=14.4,

故选：A

7.D

【分析】设/BP4=e,sin4=.=/；<：,然后得到尸C>2恒成立，进一步转化为PC最

乙JLJL乙

短即为点C到直线/的距离d>2,计算即可.

er1

【详解】设/BPA=9,贝|sin]=,=竟，

=恒成立，即sing=A<g，则PC>2恒成立，

，贝“^/2>2'解得a>2^2或a<—2后.

PC最短即为点C到直线/的距离1=

故选：D.

8.C

【分析】赋值得至U/a+1)—/(x)=2x+2,利用累力口法得至lJ/(x+99)—/(x)=198x+9900,

令x=l得到〃10。)-〃1)=10098,赋值得到了⑴，从而求出答案.

【详解】/(x+y)=/(x)+/(y)+2.中，令y=；得，

(+；/(x)+/gj+x=〃x)+x+l，

故〃x+l)=/[x+£|+x+；+|=/[x+£|+x+；,

答案第2页，共15页

35

/(x+1)=/(x)+x+—+x+—=/(x)+2x+2,

其中/(x+lf(x)=2x+2,①

/(尤+2)-/(x+l)=2(x+l)+2=2x+4,②

/(x+3)-/(尤+2)=2(x+2)+2=2x+6,③

〃x+99)-/(x+98)=2(x+98)+2=2x+198,

上面99个式子相加得，

〃x+99)-〃x)=99x2x+2+4++198=198x+"武；网

=198%+9900,

令x=l得〃100)_〃1)=198+9900=10098,

4'+力="司+、+；中，令x=g得〃1)=/0+/»1|=2，

故/(100)=10098+/(1)=10100.

故选：c

9.BD

【分析】利用特殊值判断A、C,根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.

【详解】对于A：令Z=2+i、z2=l+2i,则㈤=|z』=e,显然不满足4=±zz，故A错误;

对于C：令z=l+i、z2=l-i,则Z+Z2=2,Z[-z2=2i,

所以|z+Z2|=|z「Z2|,但是乎2=。+。(1-。=2,故C错误;

设4=〃+历，z2=c+di(a,b,c,dGR),

所以40=(a+Z?i)(c+㈤=QC-/?d+(就+6c)i,

则,-z2|=\ac—bd+^ad+bc^

又[Z][Jz2]=yja2+b1-\Jc2+d2=J(ac)2+(Z?d『+(Z?c『,

所以I2!匈=团,3I，故B正确；

答案第3页，共15页

Z1/2=ac—bd—^ad+bc^i,又z、，z[=^a—b1){c—di)=ac—bd—^ad+Z7c)i,

所以4・Z2=4•Z2,故D正确.

故选：BD

10.ACD

【分析】根据已知条件，逐项分析各个选项，利用诱导公式化简函数解析式即可判断.

【详解】A选项，向左平行移动聿个单位，有y=6sin[2（x+W=6sin12龙+北，A正确;

B选项，向左平行移动：个单位，有y=6sin2,+£|=6sin"与，B错误；

5兀

C选项，向右平行移动9个单位，有y=6sin

6

y=6sin^2x-^^=6sin^2X+^-2TI=6sin12x+gJ,C正确；

D选项，向右平行移动野个单位，有y=6sin[2、-等）=6sin

y=6sin(2x-野6sin121+三)一4兀=6sin^2%+-1^,D正确；

故选：ACD

11.ABC

【分析】设点尸（/，％）,求出直线A3的方程令为=。可判断A；根据一必记为等边三角形,

可得/4尸0=/8尸。=301\OP\=2,设出点尸的坐标，利用[0尸|=2可判断B；求出圆心。

到直线/:y=x+2五的距离可判断D；进一步求出/AP3的取值范围可判断C.

【详解】设点尸（尤。，%），则%=%+2&，尸（X0，M+2拒），

以I尸。I为直径的圆的圆心为（£,%+；后）,半径为用=也;+（1+2后）j,

以IP。I为直径的圆的方程为（X-（1）2+心一4+；收了=X；+（%；20）2,

化简得%2+J——（x0+2A/2）^Y=0,

答案第4页，共15页

联立卜:+［一-(％+20)y=0,得仪+®+2®=i,

x+y=1

所以直线AB的方程为：%x+(%+2夜)y=l,

对于A,令%=0,则毛=-2后，所以直线48的方程为：x=_①,

则直线AB经过点-亨,-4应J,故A正确；

对于B,设点尸(后,%),则尸5,七+20)，

当为等边三角形时，可知NAPB=60。，

又0P平分/AP3,所以ZAPO=N8PO=30，

在直角三角形PAO中，由于10Al=1,

所以sin/APO=制，即sin30=血，所以|0尸|=2,

又点JP(%O,%+2^/2),所以+(X。+2V^)2=2，

化简得(%+&)=0,解得/=->△,所以％=%+20=a,

则尸(-0,0),故B正确；

对于D,圆心。到直线/:y=x+2A/J的距离为d=—=2,

Vi2+i2

所以|尸。|的最小值为2,故D错误；

OA1

对于C,在RtAPO中，因为,由42。=函二0^，

当|PO|最小时，sinZAPO有最大值为

答案第5页，共15页

TT

又因为NAPO=NBPO,所以/A尸0=一，

6

此时/APB的最大值为的取值范围是，故C正确.

故选：ABC.

【点睛】关键点睛：本题关键点在于求出直线A5的方程，先设点尸%+2应），以IPOI为

直径的圆的方程为Q-1）2+（y-/+；攻了=4+。。：20）2,联立两圆的方程可求出直线

AB的方程，再根据点到直线的距离公式及圆心切点构成的直角三角形对选项一一判断即可

得出答案.

12.0

【分析】由题意可得该圆柱的高力=27?,底面半径为R,计算该球的表面积与该圆柱的侧面

积即可得.

【详解】由题意可得该圆柱的高力=2R,底面半径为R,

故该圆柱的侧面积5恻=2Rx2nR=47收，

该球的表面积S表=4成②，

贝US表一S恻=4派2-4成2=。.

故答案为：0.

13.-3

【分析】先求解出（尤+1）4的展开式中常数项和含X的项的系数，然后可求X（X-1）（X+1）4的

展开式中含V的项的系数.

【详解】（X+1）4展开式的通项为Tr+i=C；•XjT=C；•-T,

其中常数项为£=C；=1,含x的项为7；=C：.x=4x,

又因为尤—+=（元2—元）（x+1）4,

所以原展开式中含V的项的系数为：lxl+（-l）x4=-3,

故答案为：-3.

14.3

3

【分析】借助椭圆定义与所给数量关系，结合余弦定理计算即可得.

答案第6页，共15页

连接点A与中点M,即有加以=。0,由AB=AC,故

11?

由cosZ.ABC=—,贝ljBM=—AB,即BC=—AB,

由椭圆定义可得AB+AD=2a、BC+CA=2a,

Q

i^AB+AD+BC+CA=AB+AC+BC=-AB=4a,

3

3

BPAB=—a,则3C=a、CD=2a—a=a,

2

由AB=AC故cosZBCA=cosZABC=—,

3

|rt.1—4(721日口2a2—4。221

贝lJcosN5CA=----------=—，即--------=1-2/=一，

2axa32a23

解得e=《i(负值舍去).

3

故答案为：立.

3

【点睛】求离心率的常用方法：由已知条件得出关于。、C的齐次方程，然后转化为关于e的

方程并求解.

15.(1)«„=2"

(2)证明见解析

【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案；

（2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，即可证明结论.

anan

【详解】（1）由题意可知，当〃=1时，囚=2；

当时，由4+2%+...+^^〃=（九一1,2n+1+2,4+2々2+...+（〃-1）=（几—2）,2"+2,

两式作差可得，啊,=（“T）-2"M-（"一2b2"=止2",，4=2",

%=2也适合该式，故。,=2"；

答案第7页，共15页

(2)证明：由题意知2=一十==57+*，

anan2'

故4+b2+…+2=—

1一一

2

4

3

1144

由于〃£N*,则少+黑行>°，故石一<3,

ZDX4J

4

即/?[+4+.••+4<§.

16.(1)证明见解析

【分析】(1)由面面垂直的性质定理得证线面垂直后可得线线垂直，再由线面垂直的判定定

理证明结论成立；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

【详解】(1)过尸作PD_LAC于点D，平面PAC_L平面A5C，且平面P4C|平面ABC=AC,

PDu平面APC,

故PD_L平面ABC.又ABu平面PAC,s.PDYAB.

又上4_LAB,PA\PD=P,尸Du平面PAC,ABu平面PAC,

所以回工平面PAC,

(2)由(1)ABI平面「AC,ACu平面尸AC,故ABIAC,

以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则40,0,0),5(2,0,0),P(0,l,瓜C(0,2,0),

故PB=(2,-1,-73),PM=；PB=母-；,-吟),所以

AC=(0,2,0),AM=(|5,竿)

设平面ACM的法向量相=(x,y,z),

m-AC=2y=0

则222r令z=l有，故%=(一g,0,1),

m-AM=—%+—>+—，3z=0

答案第8页，共15页

平面PAC的法向量AB=（2,0,0）,

.I/.|m'AB273y/3

则n「os〈九ABm）\=——j——।=-----=——,

11\m\\AB\2x22

又二面角P-AC-M所成角为锐角，

二面角P-AC-M所成角的余弦值为也，角的大小为自.

【分析】（1）取中点。利用中位线证明四边形4。庄平行四边形，得到线线平行，从而

得到线面平行.

（2）构建空间向量，利用空间向量求出两个面的法向量，由法向量的夹角得出面与面的夹

角。

【详解】（1）证明：如图，设G。的中点为0,连接。rA。.

。尸为CQ的中点,

Z.OFCDS.OF=-CD.

2

又1E为A8的中点，且四边形A5CD是平行四边形,

/.AEO9且AE=OE

四边形AOEE为平行四边形.

答案第9页，共15页

/.AOEF.

又：AOu平面ADG,EPz平面ADC,,

EF平面ADCt.

(2)解：在平面。CCa中，作DH_LDC交GA于H.

:AD_L平面。CCQ,DHu平面DCCR,OCu平面。CCQ,

AD±DH,AD±DC.

：.两两互相垂直.

分别以射线D4DCD”为x轴、》轴、z轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz,

在平行六面体ABC。-4月62中，由平面。CG2得平行四边形ABC。是矩形.

2兀

DC=DD、=2AD=4,NDQC=—,

3

冗

DH=DDRin(/DQC-/HDC)=4sin-=2,

{6

DH=D^cos(ND&C-NHDC)=4cos聿=4x=2港

3H=C\D「D[H=2

根据已知可得0(0,o,o),a(2,0,0),8(2,4,0),C(0,4,0),£(0,2,26),

A(0,-2,2道),E(2,2,0),尸(0,3,百).

AD=(-2,0,0),£F=(-2,1,73),AS=(0,4,0),DR=(0,-2,2⑹.

B.N=5NB,:.EN=EB+BN=-AB+-BB.=-AB+-DD.=fo,-,—

126'26i(33j

由相＞，平面OCCQ得A。是平面OCG2的法向量.

答案第10页，共15页

573

n-EN=-y-^—z=O

设。=（x,y,z）是平面E/W的法向量，则，33

n•EF=-2x+y+A/3Z=0

取y=—石，得Z=5,X=2G.

,/4\n-AD2A/3X(-2)+(-V3)XO+5XO回

・・cos(n,AD)=-------=-----------T=---------------------=----------..

\/\n\\AD\2V10x210

设平面EFN与平面DCC[D]的夹角为8,则cos。=|cos^«,A。，=

•・・平面EFN与平面OCGR的夹角的余弦值为我.

10

18.⑴］，用或［*用

(2)^,72—1,+ooj

【分析】（1）设点4（%,%）,根据中点关系可求3,再利用3在抛物线上可求A的坐标;

（2）分别联立直线A3方程与抛物线的方程、直线"的方程与抛物线的方程后可得良。关

于x轴对称，再利用等积法可求内切圆半径，结合单调性可求其范围.

【详解】（1）由题意知尸设点A5,%）,

因为点A是线段PB的中点，所以B12X°+；,2%）,

又点AB都在抛物线C上，所以4y；-212%+—

解得/=:,%=+，所以点A的坐标为或

°4°12142J（42J

（2）由题意可知直线45的斜率存在且不为0,

设直线的方程为y=«x+J,人0,4（%,%）,8（尤2，%），

由点A在点3的左侧，则。<再<X2，

设。（均,％）,直线30与x轴交于点E,

答案第11页，共15页

1

y=k\x+—

联立2得％2一+（左2一2）元+不=0,

y2=2%

由A=（左2—2）—%，=4—4左2>0,得一1v左v1,左w0,

2-k21所以0<占<g<N,

X]+%2=,X]%2—*^j",

而心。]

,所以直线”的斜率存在，所以直线AF的方程为

22

与y=2x联立得，y；——卜12+2x：一2%+—jx+—y1=0,

化简得2%%2~（2xf+—jx+—Xj=0,解得x=或1=玉,

因为直线AF的斜率存在，所以&=止=々，所以5。，九轴.

1r=.----

令/=%+;，贝I]111

2启+广

因为>=』=1，）;=」"7»=,在（1，+8）上均单调递减，

x2%—1x

则y=J++：+：在°,+“）上单调递减，

1

所以'=J]।「J在O,+8）上单调递增,

答案第12页，共15页

所以‘>看=0j

所以『的取值范围为(0-1,+ooj.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中范围计算通常有下面的几种方法:

(1)构建目标函数，利用基本不等式求范围；

(2)构建目标函数，利用函数单调性求范围；

(3)结合目标图形的几何特征计算范围；

(4)构建目标函数，利用导数求范围.

19.⑴/⑺在上单调递减；

⑵①证明见解析；②在(2,母)上单调递增，证明见解析;

【分析】⑴对函数求导，并构造函数Mx)=(s-l-x)C-(s-l)利用1<SV2即可得

出〃(x)<0恒成立，可得函数/(x)在(0,+力)上单调递减,

(2)①易知当s>2时，由Mx)=(sTr)W-(s-l)可知/'⑺存在唯一变号零点

XoG(5-2,+t»),即可知/(X)有唯一极大值点％;

②易知％=g(s)，求得g(s)的反函数g-(s)，利用g-(s)的单调性即可求得g(s)为单调递

增;

Xs-1

【详解】(1)由=―pX£(0,+8),l<S<2可得

x5-2.[(s-l-x)ex-(5—