湖南省部分学校2024届高三年级下册一起考大联考模拟（二）数学试题（解析版）

湖南省部分学校2024届高三下学期一起考大联考

模拟（二）数学试题

一、选择题

A=lx\x2<1）B=（xlx3<1）

i.已知集合iiJ,J,则AAnR6=（）

A.AB=BB.AoB=AC.A^BD.BA

［答案XC

k解析U由题意A=卜,2<I}={X|_1<X<1},B=<11=1%I%<1},

从而A5=AAD5=B,A是8的子集.

故选：C.

2.设彳为复数z的共轨复数，若z+N>0,«z—可（0,则z在复平面内所对应的点在（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

［答案》A

k解析U设2=。+初（。、be玲,则彳=。一次

/.z+z=2a>0,z（z—z）=-2/?<0

/.a>0,b>0

•••z在复平面内所对应的点（。3）在第一象限.故选：A.

3.已知平面向量a=（—1,2）,》=（3,4）,则a在〃上的投影向量为（）

（答案』B

K解析』设a与b的夹角为。,

4.cos6±a.br5仆公

则a在b上的投影向量为1~期一b=/6=—（3,4）=.

故选：B.

4.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（）

A.4夜兀B.47rC.2&兀D.27r

K答案1C

k解析X设圆锥的底面半径为r,母线长为/,贝以=后厂，

由题可知=2,

r=-y/?,,I=2J

侧面积为nrl=2\/2n，

故选：C.

5.己知函数/(x)=cos/x+：]在(0*]上单调递减且其最小正周期为兀，则函数

〃九)的一个零点为()

兀3兀一兀5兀

A.—B.—C.—D.—

4828

K答案1D

(解析X因为函数/(x)=cos,x+j的最小正周期为兀，所以7=6=兀，

解得co=2或口=—2，当口=—2时/(x)=cos[—2x+—j=cos]2x——j,由0,—

r，曰G兀1兀

可得2%一：e--

414

显然y=cosx在上单调递增，则/(x)在10嗜]上单调递增，不符合题意,

当0=2时/(x)=cos[2x+z],由xe]°'值],可得2%+Z6丘)，

显然y=cosx在上单调递减，则“X)在，，口上单调递减，符合题意，

所以/(x)=cos12x+：),

令2工+殳=工+也,4eZ,解得X=二+幺,左eZ,

4282

即的零点为g+”,左eZ,当％=1时为多.

828

故选：D

6.如图，设抛物线V=4%的焦点为歹，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其

.,।।5A6

中点A,3在该抛物线上，点。在y轴上，若E4=7,FB=G，贝1］丫=（）

2BC

k答案》D

K解析X设4（/，%），8（程力），

由|E4|=7,但邳=g,根据抛物线定义可得XA+1=7,XB+1=|,

过A,8分别作y轴的垂线，过8作X轴的垂线，垂足为E，

明显.ABE_BCM,

故选：D

7.有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行

三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望E（X）=（）

213715

A.—B.-C.—D.—

16248

K答案XD

K解析XX的所有可能取值为0』,2,3,记三次得到的数组成数组（。也c）,

满足X=0的数组有：

（1,1,1）,（2,2,2）,（3,3,3）,（4,4,4），共4个,

41

所以P（x=o）="=而

满足X=1数组有：

（1,1,2）,（1,2,1）,（2,1,1）,（2,2,3）,（2,3,2）,（3,2,2）,（3,3,4）,（3,4,3）,（4,3,3）,

（2,2,1）,（2,1,2）,（1,2,2）,（3,3,2）,（3,2,3）,（2,3,3）,（4,4,3）,（4,3,4）,（3,4,4）,共18个,

12Q

所以尸（X=1）=-T—---

I74332

满足X=2的数组有:

（1,1,3）,（1,3,1）,（3,1,1）,（2,2,4）,（2,4,2）,（4,2,2）,

（3,3,1）,（3,1,3）,（1,3,3）,（4,4,2）,（4,2,4）,（2,4,4）,

（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,

（4,2,3）,（4,3,2）,（2,4,3）,（2,3,4）,（3,4,2）,（3,2,4）,共24个,

243

所以P”=2）=不获

满足X=3的数组有:

（1,2,4）,（1,3,4）,（1,4,4）,（1,4,1）,（1,4,2）,（1,4,3），

（1,1,4）,（2,1,4）,（3,1,4）,（4,1,1）,（4,2,1）,（4,3,1）,

（4,1,2）,（4,1,3）,（4,1,4）,（2,4,1）,（3,4,1）,（4,4,1）,共18个，

18Q

所以尸"=3）=不=药,

1Q3Q15

所以X的数学期望石（X）=Ox—+lx=+2x三+3x==’.

16328328

故选：D.

8.己知函数“X）满足/（%+8）=/（%）,/（x）+/（8-x）=0,当xe[0,4）时，

〃x）=ln[+sin：x；则函数尸（x）=/（3x）—/（x）在（0,8）内的零点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

[答案》C

[解析》根据题意，函数/（力的周期为8,图象关于点（4,0）对称，

又/[3（8_尤）]+/（3可=〃8—3尤）+/（3*=_/（3力+/（3#=0,

所以函数y=/（3x）的图象也关于点（4,0）对称，

由xe[0,4）,〃x）=ln[l+sin：x],

71兀

—cos—X

f'（x）=-----------,Q0<—x<7i,sin—x>0,

'''1.兀44

l+sin—x

4

令/''（x）〉。，解得0<x<2,令/'（九）<0,解得2Vx<4,

所以函数八%）在[0,2）上单调递增，在（2,4）上单调递减，/（2）=ln2,/（0）=/（4）=0,

在同一个坐标系中，作出函数y=/（3x）与y=/（x）图象，如图，

由图可得，函数y=/（3x）与y=/（力在（0,4）上有两个交点，

因为函数y=/（3x）与y=/（x）图象均关于点（4,0）对称，

所以函数丁=/（3%）与丁=/（同在（4,8）上有两个交点，又/（12）=〃4）=0,

所以函数尸（x）=〃3x）—/（%）在（0,8）内的零点个数为5.故选：C.

二、选择题

9.设a,尸是两个平面，加，〃是两条直线，下列命题正确的是（）

A.如果〃//a,那么相_L〃.

B.如果a//，，mua,那么根//，.

C.如果加_L〃，m±a,nlI/3,那么

D.如果a内有两条相交直线与万平行，那么a//，.

k答案》ABD

k解析U对于A,由线面垂直的性质知A正确

对于B,由面面平行的性质知B正确

对于C,若m_1_〃，mJ_a,nlI（3,可得/〃cz或"ua,而a,尸位置关系不确定，故C

错误

对于D,由面面平行的判定定理知D正确，故选：ABD

10.已知6GR,双曲线C：%2cos61+y2sin2^=1,则（）

A.。可能是第一象限角B.。可能是第四象限角

C.点（1,0）可能在C上D.点（0,1）可能在C上

［答案》BD

K解析小根据题意,可得cos6sin2e<0,即sinCco根6<0,即sin6<0且cosOwO,

所以。在第三象限或第四象限.故A错误，B正确；

当。在第三象限时，有一l<sin6<0,-1<cos0<Q,sin29>0,

22

」5兀

双曲线方程为11,当sin20=l即夕=一+2阮，左eZ时，方程为

-------------4

sin20cos0

2

所以点（0,1）在双曲线上，故D正确；

当，在第四象限时，有—l<sin6><0,0<COS6><1,sin26><0,

22

%y=1i

双曲线方程为L―，因为——>i,所以点。,0）不在双曲线上，故c错

cos^-sin^cos。

误.

故选：BD.

11.已知函数/（%）是R上的奇函数，等差数列｛%｝的前几项的和为r,数列｛/（%）｝的

前〃项的和为?;•则下列各项的两个命题中，。是q的必要条件的是（）

A.°:/（。5）=。，<7:69=0B.p:Slo-O,q:f（^a5+a6）=0

C.p:a5=0,q:T9=0D.p:Ti0=Qfq:a5-\-a6=0

k答案IAD

k解析》选项A：因为｛4｝为等差数列，所以$9=9%=。，得%=0，

因函数/（力是R上的奇函数，〃%）=/（。）=0，

所以0是4的必要条件，故A正确；

选项B：若/（x）=sin无，则。5+4=兀时满足/（%+4）=。，

此时&=I。.；［。）=5（生+&）=5兀w0,

故。不是q的必要条件，故B错误；

选项C：若〃x）=sinx,4="兀满足Z=/（4）+/（。2）+…+/（g）=。，

但生彳0,故。不是夕的必要条件，故c错误；

选项D：由生+4=0且｛4｝为等差数列

可得%+/=〃4+%=%+=%+。9=%+%0=0，

因函数〃力是R上的奇函数，

所以/(%)+/(%)=/(/)+/(%)=/(%)+/(%)=/(4)+/(%)

=/(6)+/(%))=。，

故%0=/(琦+/(4)++/(%o)=。,

故0是q的必要条件，故D正确；

故选：AD.

三、填空题

12.(x—2)5的展开式中V的系数是.

[答案X40

K解析X因为(_2『=40/，所以(*—2)5的展开式中V的系数是40.

故K答案U为：40.

13.设函数〃£)=一匕图象上任意一点处的切线为4,总存在函数图象g(x)=asinx

+x(a>0)上一点处的切线12,使得“〃2,则实数。的最小值为.

(答案工4

4

K解析』设函数了⑴在点(和/&))处的切线为/],函数g(x)在点(％,g(X2))处的切线为,2,

因为"x)=W，贝"'(")"一九"7^?

ex

因为e£+Je[2,+叫，所以/'(x)e-｝。]，所以/'(x”一；，。]，

r

而g(x)=Qsinx+x,g'(x)=1+QCOS%£[1-Q,1+Q],所以g(x2)E[1—a/+a],

依题意可知，对£火，总土2£火，使得/&)=g(%2)，

所以—w，°)=[i—〃/+〃]，

所以1—a<—工且l+a»0,解得

44

所以实数”的最小值为%故年初为：I

22

14.过椭圆C：=+3=1（a>5>0）上的动点P向圆。：/+丁="弓1两条切线

ab

PA,PB.设切点分别是A,B,若直线A3与无轴、y轴分别交于M,N两点，则/XMON

面积的最小值是.

b3

K答案》—

a

k解析X设点P（/，%），则以OP为直径的圆的方程为V—%x+y2—%丁=0，

与圆。的方程d+丁=甘相减得XqX+=〃，即=b2是过切点、A,B的直线方

程，（％%。。），

b2匹。〕

令x=0,得丁=一，所以N0,—,令y=0得了=一,所以“

%Iy0J%1%0J

所以|MN|=

11//

所以点O到直线MN的距离d=所以SOMN=]d1MAi=3鬲1，

因为点？（飞,为）在椭圆C：=+二=1（a>6>0）上,

ab

所以a?/??=力2片+cryl>2ab\xoy^,

即2|x0y0|<ab,等号成立当且仅当品|=\ay0\=^ab，

4

加/^力丁b等号F成立当且仅当恒卜⑸卜乎历仍，

所以S.OMN

综上所述，△MON面积的最小值是一.

a

b3

故K答案》：—.

a

四、解答题

15.在中，角AB,C的对边分别是b,c,且csinA+GQCOSC=+c.

(1)求A；

(2)若/B4C的角平分线40交3C于点M,且AM=l,a=2,求二A5C的周长.

解：(1)在一ABC中，csinA+gacosC=gb+c，

由正弦定理可化简得sinAsinC+百sinAcosC=J5sinB+sinC，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAsinC+V3sinAcosC=GsinAcosC+\^cosAsinC+sinC，

化简得到sinAsinC=>/3cosAsinC+sinC，

又在。中，Ce(O,7i),所以sinCwO,得到sinA=J5cosA+l，

即sinA—J^cosA=1，所以2sin(A—三］=1,即sin(A-］］二己，

又Ae(0,7i),所以A_,得=即A=g

□Va□73oZ

TT

(2)由(1)知4=—,又35AC的角平分线AM交5c于点M,且AM=1,

2

所以S^ABC=SABAM+SACAM)得到一be=—b-AM-sin—I—c-AM-sin—=---(6+c)

224244'，

整理得到2Z?c=夜伍+c)①，

又在一ABC中，b2+c2=a2,a^2,得到k+。2=4②，

联立①②解得b=c=0

所以_ABC的周长为a+b+c=2+2\/2-

A

16.如图，已知圆台的高为班，母线长为2,AB,C£（分别是上、下底面的直径,

02A//BC.

E

（1）求该圆台的体积；

（2）点E在圆。②上，且5ELCD,求直线与平面所成角的正弦值.

解：（1）因为QA〃3C,O2C//AB,所以四边形A5CQ为平行四边形,

又在Rt/VlOiQ中，02A=BC=2,«Q=g,

所以q=AO1=l,则马=。2。=46=2,

所以圆台的体积为3兀/2（｛2+秋+&2）=g兀x6（1+lx2+4）=7f兀；

（2）在圆。2上过点。2作8的垂线作为龙轴，以02c为y轴，。1。2为Z轴，建立空间直

角坐标系，

则用0,1,⑹,C（0,2,0）,。（0,—2,0）,

则BD=（0,-3,-73）,BC=（0,1,,CD=（0,-4,0）,

设E（a,Z?,0）,则3£=,乃—1,一百），由点E在圆。2上和BELCD,

ftz"+Z?2=4（J=+y/3r-

可得八八，得《，由于圆锥的对称性，不妨取。=石，

[-4（6-1）=0,=1、

则成=（百,0,-君），

设平面BCE的法向量为〃=（苍y,z）,

n-BE=y[3x-#）z=0_

则l，令z=\J3，则x=v3,y=3,

n-BC=y_13z=0

所以〃=(G,3,布「

设直线5。与平面BCE所成角为。，则

.Inln-BD—9—32小

sin0a=cosn,B13D\=；=—=~-==.

11\n\]BD\rA/15-7125

17.已知点E(行,0),空〒,01,点A满足|4初=&|4用，点4的轨迹为曲线。.

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线/:丁=依+加与双曲线：土—匕=1交于时，N两点，旦NM0N(。为

492

坐标原点)，求点A到直线/距离的取值范围.

解:(1)设A(x,y),

因为|AE|=&|AE|,

所以J(x—扬2+—o)2=夜*小—当2+(3_0)2,

平方化简，得尤2+y2=l；

(2)直线/：y=Ax+m与双曲线：土一上=1的方程联立，得

49

y-kx+m

X2y2=>（4左之一9）12+8初a+4m2+36=0,

T-T-

4/一9Ho2c

设〃（玉,％）,阳马,斑）,所以有<,,,=>"+9>4左2且

（8M-4.（4公一9）（4帆2+36）>0

,.3.8km4〃广+36n

k手士一，所cei以X]+x,=--------，x,Xj=---3----，因为NMON=—,

2一4k--91-4k2-92

所以OM±ON=>玉％+K%=0=%马+（H+喻（kx2+机）=0，

2

化简，得（左2+1）%%+km®+x2）+m=0,

8km4m2+36

把％+x,=—代入，得

442—94k2-9

八4"，+36,18km、2c八小/日

（/k7'9+1）----；-----Fkm-（----；）+m~=0,化间，得

4V-94k--9

加2=36（上+1）,因为机2+9>4公且左w±3,所以有36（《+1）+9〉4/且左H士3,

5252

3

解得左片±万，圆/+/=1的圆心为（o,o）,半径为1,

।।—^y/k~+1r

圆心（0,0）到直线/：丁=履+m的距离为，一|叫_V5_615

VF+ivF+i5

所以点A到直线距离的最大值为述+1,最小值为®1—1，

55

所以点A到直线距离的取值范围为

18.将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进

行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标者和区域内该植物分布的数量、（i=1,2,

15）,得到数组（七,%）.已知2（%一q2=45,E（X-y）2=8000,

i=l'i=l

（1）求样本（z=1,2...,15）的相关系数;

（2）假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）.研究人员统计大量数据后发现:

对于任意的左eN*，寿命为Z+1的样本在寿命超过上的样本里的数量占比与寿命为1的样

本在全体样本中的数量占比相同，均等于01，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.

(i)求P(X=A)(左eN*)的表达式；

(ii)推导该植物寿命期望E(X)的值.

i=l

附:相关系数厂=

151515

解：(1)由可2=45,£(%-叼2=8000,Z(%-元)(%-刃=480,

i=li=lZ=1

15

一(%-元)(%—可

480

得相关系数r=,/'=1=0.8.

也―£(〉，-寸745x8000

Vi=\i=l

(2)(i)依题意，P(X=1)=P(X=k+l|X〉左)=0.1,又

则尸(X=k+l)=0.1P(X>k),当左之2时，把左换成左一1,则

p(X=k)=0.1P(X>k—l),

两式相减，得P(X=k)-P(X=m-即靠空—)，

又P(X=2)=0.1P(X>1)=0.1X(1—P(X=1))=0.9P(X=1),于

P(X=k+l)

=0.9对任意人eN*都成立,

P(X=k)

从而｛尸(X=k)｝是首项为0.1,公比为0.9的等比数歹(J,

所以尸(X=A)=0.1x0.9J；

(ii)由定义知，E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)++kP(X=k)+

4k

而£祇3=，）=0.1£次09「

i=lz=l

k

1-1

显然£ix0.9‘T=1x0.9°+2x09++（左—1）x0.9=+kx0.9,

/=1

于是ix0.9'T=1X0.91+2X0.92++（左一1）x0.9*^+左x0.9。

Z=1

两式相减得o立ix0.9'T=1+0.91+0.92++0.9"1—左X0.9/

i=l

1x1—09卜卜

------左义0.9*=10—（左+10）x0.93

1-0.9

k------------------------------k

因此X'P（X=i）=04£ix0.9T=10—左xO.S—10x0.9、

i=li=l

当人足够大时，^x0.9*®0-10x0,9^0，则E，P(X=，)々10,可认为E(X)=10.

i=l

所以该植物寿命期望E(X)的值是10.

19.超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔(JosephLiouville)最早证明的.一