2023-2024学年全国甲卷高考数学(文)押题模拟试题1(含答案)

2023-2024学年全国甲卷高考数学（文）押题模拟试题

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.（改编）复数Z在复平面内对应的点为（2-1）,则」7=（）

z-l

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.已知全集。=3"，一5一640},集合/={xeZ|x（3-x）W0},8={1,2,4}则集合{-1,5,6}

等于（）

A.（电Z）c8B.e（ZU3）C./C&B）D.d（/c8）

3.某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，

湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是

A.该公司2022年营收总额约为30800万元

B.该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多

C.该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多

D.该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%

4.如图，网格小正方形的边长为1,网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为

5.（改编）从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不

小于9的概率为（）

数，则区间口，2023］内的所有期盼数的和等于（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

8.（改编）在平面直角坐标系X。〉中，圆。的方程为一+必一”=0,若直线歹二丘-1上存在一

点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数左的值不可能是（）

1］/?

A.-1B.——C.-D.—

424

4

9.将函数/（x）=3sin2x-2图象所有点的纵坐标伸长到原来的1倍，并沿n轴向左平移

"0<0<方］个单位长度，再向上平移2个单位长度得到g（x）的图象.若g（x）的图象关于点

对称，则函数8⑴在事上零点的个数是（）•

A.1B.2C.3D.4

10.如图，在已知直四棱柱/BCD-4耳GA中，四边形/BCD为平行四边形，尸分别是

的中点，以下说法错误的是（）

A.若3C=1,AA[=6,,则DP"BCXB.MNUCD

C.MN〃平面C[DED.若AB=BC,则平面44。0_L平面&BD

11.已知抛物线C:y2=2必5>0）的焦点为歹，直线/：2x+y-6=0与抛物线c交于4,8两点，M

是线段的中点，过M作y轴的垂线交抛物线C于点N,则下列判断不正确的是（）

A.若/过点尸，则C的准线方程为》=-3B.若/过点尸，则=3

"\AB『\

_,24D.若丽.福=0，则点尸的坐标为（1，。

C.若丽福=0，贝！jp=­

3,

—x+6x+5,x<-1

12.已知函数f（x）=，若函数g(x)=[/(x)]~-(〃z+2)/(x)+2〃?恰有5个零

3x>.l

e，

点，则实数加的取值范围为（）

A.（-1,2）B.（-1,0）C.^0,—jD.^—,2

第II卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线了=岂?在点处的切线方程为.

14.已知向量z，3满足M=l,W=K,a>3的夹角为150。，则y+B与Z的夹角为.

15.写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式。“=.①2。用=%+%+2；②数列

{%}的前n项和S"存在最小值.

16.已知双曲线C：E-g=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳点是。的一条渐近线上的

ab

两点，S.MN=2MO（。为坐标原点），WM=|为周.若P为。的左顶点，且/MW=135。，则双

曲线C的离心率为

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.在。中，角力,B,C的对边分别为a,b,c,sirUcos^=2sirU-cos^sinB.

（1）求职的值；（2）若6=3,从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得AZ8C存在且唯一

S1IL4

确定，求“3C的面积.条件①：cosB=&条件②：sinC=姮；条件③：“8C的周长为9.

164

18.一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投

入无（单位：千万元）对每件产品成本V（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入占和

每件产品成本%1=1,2,3,…,10）的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：［=6.8,亍=70,

10110110v7

=3,E—=1-6>£&=350.（1）根据散点图可知，可用函数模型、=色+”拟合V与尤的关系，

1=1项J=1XjZ=1XjX

试建立y关于x的回归方程；

（2）已知该产品的年销售额加（单位：千万元）与每件产品成本了的关系为

m=*+11+*■+100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万

元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入尤为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润

=年销售额一年投入成本）

参考公式：对于一组数据（如匕）、（%#2）、匕、（仆V”），其回归直线？"/的斜率和截距的

^%匕-nuv

最小乘估计分另U为：P-母----‘a=v—.

之虱；一nn

i=\

八每件产品成本/元

250-

200

150-•

100-•

50-••••.

02468#101214

年技术创新投入/千万元

19.如图，已知正方体MCD-//CQi的棱长为2,瓦尸分别为仞,。。1的中点.

（1）已知点G满足西=4丽，求证'E,G1四点共面；（2）求点G到平面的距离.

r2p2

20.已知椭圆C：-+==1（Q〉6〉0）的长轴长为4,A,5是其左、右顶点，M是椭圆上异于4,

ab

34—

5的动点，且左“褊二-"⑴求椭圆。的方程；（2）若尸为直线％=4上一点，PA,可分别与椭

圆交于C,。两点.①证明：直线CD过椭圆右焦点8；②椭圆的左焦点为片，求△。耳。的周长

是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

21.已知函数/（x）='+ln尤-2G,。为常数，且。>0.（1）判断“X）的单调性；（2）当0<a<l时,

如果存在两个不同的正实数优，"且+=证明.〃?+*>2

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题

计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.杭州2022年第19届亚运会（The19thAsianGamesHangzhou2022）,简称“杭州2022年亚运

会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月19日亚洲奥

林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。某高中体

育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚

四叶草徽章捐献给亚运会。如图，在极坐标系Ox中，方程0=2（1+34。+$府46）表示的图形为

“四叶草”对应的曲线C.

⑴设直线/：。弋（"尺）与C交于异于O的两点/、B,求线段的长；

⑵设尸和。是C上的两点，且/尸。0=）求|。尸|+|。。|的最大值.

O

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/'（xHx-21+3此⑴求不等式/（无）210的解集；（2）若〃x）的最小值为m,正数

4

a,b,。满足a+6+c=加，a2+b2+c2>—.

答案解析

123456789101112

CBDCDADBBBDD

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【正确答案】8x+y-8=014.【正确答案】60°15.【正确答案】2〃-6（答案不唯一）16.【正

确答案】V5

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.【详解】（1）VsiiL4cos5=2siib4-cos^sin5,

则2siib4=siMcosB+cos/siiiS=sin（/+5）=sin。，（3分）

*=2

（4分）

sirU

（2）由（1）可得sinC=2siik4,由正弦定理可得c=2a,（5分）

若选条件①:由余弦定理COSB="-+C2-“，即4-+4,-9=口,°分）

2ac4a16

注意到〃>0,解得Q=2,贝！JC=4,由三角形的性质可知此时“5C存在且唯一确定，（9分）

cosB=^->0,则可得sinB=Jl—cos2^,（“分）

16I2）16

**•的面积=；Qcsin5=gx2x4x^^=（12分）

若选条件②：・・・c>。，可得。〉儿则有：

若c为锐角，则cosC=Jl-sin2C=L由余弦定理cosC="一+"一丁，即工=里止生，

42ab46a

3

整理得：2/+。—6=0,且〃〉0,解得。=彳，则。=3；（7分）

2

若。为钝角，则cosC=-Jl-sin2c=—1,由余弦定理cosC="+"—）,即/=储+9-4”,

42ab46a

整理得：2a2—a-6=0j且Q〉0,解得Q=2,贝！jc=4；（10分）

综上所述：此时zUBC存在但不唯一确定，不合题意.（12分）

若条件③：由题意可得：a+b+c=9,即。+3+2。=9,解得。=2,贝！Jc=4,（6分）

由三角形的性质可知此时。3C存在且唯一确定，（7分）

由余弦定理可得（9分）

贝可得sin5=，1一cos?^,（11分）

\）16

*,•的面积=；QCsin8=1x2x4x^^.（12分）

18.【详解】（1）解：令〃=工，则V关于〃的线性回归方程为>=[+£〃，（1分）

x

n___

八E",%T0"V

由题意可得,=-------=,rnn=200,«=v-3x=70-200x0.3=10,（3分）

16-0.9

Z=1

则V=10+200”,所以，了关于X的回归方程为y=10+”2.（5分）

X

（2）解：由y=10+迎可得x=（7分）

X歹一10

年利润加=加_%_]0__工+殳।200+1利200—]。=一_L5_20『+90.8,（9分）

50025J一10y-10500v）

当歹=20时，年利润N取得最大值，止匕时x==20,（11分）

y-W20-10

所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值.（12分）

19.【详解】（1）证明：如图，作。。中点连接4H,HF,

因为是平行四边形，所以（2分）

在中，EG为中位线，故EG〃AH,所以EG〃BF,故2,瓦G,尸四点共面.（5分）

（2）设G到平面8E厂的距离为〃，点£到平面8G的距离为=2,（7分）

在ABE尸中,BE=BF=45,EF=y/6.故△AEF的面积,成.2.（9分）

同理%酬=1，由三棱锥跖的体积4。0分）

所以《邑回力=：邑购尸2,得〃=生旦.故£到平面的距离为勺包.（12分）

3312121

20.【详解】⑴由已知得：0=2,/（-2,0）,5（2,0）,

设河宙，％乂X。A±2）,因为〃■在椭圆上，所以内；：+4就=4/①（2分）

因为““小•安43

x；-44

将①式代入，得4〃片=12—3片，得/=3,（4分）

所以椭圆。:^+片=1.（5分）

43

,6t2

(2)①证明：设尸(41)(fw0),贝U女尸4二:，l'.x=—y—2,同理可得女尸6=7,l:x=—y+2,

6PAt2PBt

（6分）

x^-y-2

254-2/1设

2?2'得，C=18%54-?/

联立方程则C（7分）

27+/227+产'27+产

X+广727+/

--------1---------1

143

2

x=-y+2

-6t2C-6-6t

同理联立方程：22可得力=则。（8分）

3+/23+”

土+匕=13+t

143

27-3r18z2-9-6t

又椭圆的右焦点为月。,0）,所以"C=,（9分）

27+产‘27+尸3+『'3+『

27—3r-6tIStr-9

因为-------rx-----T---------x--------=0,说明C,D,耳三点共线，即直线CD恒过耳点.（10

27+/3+/227+/3+〃

分）

②周长为定值.因为直线CD恒过耳点，根据椭圆的定义，所以△小〃的周长为44=8.（12分）

、X2

21.【详解】(1)Vf(x)=—+Inx-2ax,

x-2依+1,xe(0,+co),记g(x)=f-2ax+l,(1分)

x

①当A=4〃2—4<0,即0<Q4l时，g(x)=%2一2办+120恒成立,

所以f'（x）N0在（0,+8）上恒成立,所以“X）在（0,+司上单调递增.（2分）

②当公=4。2-4>0,即a>l时,

2a-J4a--4-^~i0,2a+j4q24y+^3y>0,

方程有两个不等实根，且玉==a>

22

X/x£(0,〃_J。?-1),/_2"+1>0,/%)>0,/(、)单调递增,

VxG16/-J/—I,a+Jq2-1j,x2-2ax+1<0,/'(x)<。，/(%)单调递减,

VX£(Q+V^^1,+8),X2-+1>0，/心）>0,/（X）单调递增，（4分）

综上所述：①当0<。41时，/（x）在（0,+司上单调递增，②当。>1时，“X）在0,”石口和

（a+Ja~-l,+oo）上单调递增,在（a——1,>+，储—1）上单调递减.（5分）

（2）V/（l）=1-2a,,­./（m）+/（n）=l-4a=2/（l）,（6分）

由（1）可知0<a<l时，“X）在（0,+<%>）上单调递增，故不妨设0〈根<1<〃，

要证：m+n>2,即证：it>2-m>1,（7分）

又・・,当0<Q<l时，/（X）在（0,+。）上单调递增，・•・只需证/⑺>7（2—冽），

又:加）+/（〃）=1—4Q,・,•只需证：1一4。一/（冽）〉/（2—冽），（8分）

即证：f（m）+f（2-m）<l-4a,（0<m<l）,记=/（x）+/（2—x）,xe（0,l）,

V（x）-f（x）-/r（2-x）=x+—2a-（2-x）---------F2a=--工，

JC2xx（2x।

.•.当xe（O,l）时，F（x）>0恒成立，尸（x）单调递增，（11分）

.•.尸（x）〈尸⑴=2/⑴=1-4°,.•.原命题得证.即加+">2.（12分）

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题

计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.【详解】⑴设/、5两点的极坐标分别为,哈卜卜,胃），（2分）

贝lj/?]=211+cosy+sin2；21+9

rl2

J113兀.213兀9Q

p[=211+cos———Fsin—2H^=7