第九章-损伤模型

第九章损伤模型9.1引言1958年Kachanov在研究金属蠕变破坏时，首次用“连续性因子”和“实际应力”（在损伤力学中常称为有效应力，在土塑性力学中为避免与有效应力原理中的有效应力相混淆，故改称为实际应力）的概念反映材料的损伤，标志着损伤力学研究的开始。后米Rabotnov引人了“损伤因子”的概念。20世纪70年代中后期，各国学者相继采用连续介质力学的方法，把损伤因子作为种场变量，并称为损伤变量，逐步形成了损伤理论的框架和基础。损伤理论可分为能量损伤理论和几何损伤理论。能量损伤理论是以连续介质力学和热力学为基础，将损伤过程视为不可逆的能量转换过程，由自由能和耗散势导出损伤本构方程和损伤演变过程。几何损伤理论认为材料的损伤是由材料的微缺陷所造成的，材料损伤程度的大小和损伤的演变与材料中的微缺陷的性状有关。将材料损伤的几何描述和等价应力的概念相结合，可以发展本构方程和损伤演变方程。

采用损伤理论分析一般可分为下述四个阶段：（1）选择合适的损伤变量；（2）建立损伤演变方程；（3）建立考虑材料损伤的本构方程；（4）根据初始条件和边界条件求解。材料损伤与材料变形密切相关。材料损伤按材料变形的性质和形态可分为下述几类：

（1）弹性损伤；（2）弹塑性损伤；（3）蠕变损伤；（4）疲劳损伤；（5）剥落损伤或称动力损伤；（6）其它类型的损伤。最近几年，国内外学者开展了大量研究工作，将损伤理论应用于金属材料、钢筋混凝卜材料、复合材料和岩土材料的分析。在土力学领域，沈珠江和章为民（1988）将损伤的概念应用于上力学，并建议了土休损伤力学模型的墓本框架。沈珠江（1993）还发展了个可以考虑土结构破坏过程的损伤模刑。张土乔（1992）借鉴混凝土的弹脆性损伤模型建立了水泥土的弹脆性损伤模型。童小东（1998）根据水泥土的应变硬化规律和损伤硬化规律建立了水泥土弹塑性损伤本构模型和损伤演化规律。损伤理论在岩土材料、金属材料和复合材料中的应用研究正日趋活跃。9.2基本概念下面介绍损伤模型中常用的几个基本概念：1．损伤变量用损伤理论分析材料受力后的性状，首先要选择恰当的损伤变量来描述材料的损伤状态。材料的损伤可以从微观和宏观两方面选择变量基准。从微观方面，可以选用孔隙的数目、长度、面积和体积；从宏观方面可以选择弹性系数、屈服应力、拉伸强度、密度等。从热力学的观点看，损伤变量是一种内部状态变量，它能反映物质结构的不可逆变化过程。

现举例说明：图9-1为一损伤物体的截面，A代表截面的总面积，AD代表损伤和缺陷的面积，AE代表除去AD后承受外力的有效而积，n为截面的法线力向。定义n力向的损伤变量为

（9.2.1）式9.2.1也可写成下述形式（9.2.2）（a）（b）图9-1

由上式可知：表示材料无损伤或初始状态；表示材料达到完全损伤状态；表示材料处于损伤状态。通常损伤变量是方向n的函数，即是张量。如假定损伤为各向同性，与n无关，蜕化为标量函数。2．实际应力实际应力是指未损伤部分实际上作用的应力，有的著作中称之为有效应力，或等效应力。在单轴压缩或拉伸条件下实际应力可记为（9.2.3）式中——Cauchy应力，或称名义应力；——连续性因子，。材料未受损伤时，连续性因子；完全损伤时，。受损材料的应变、损伤的扩展主要取决于受损材料中的实际应力。材料的损伤往往是各向异性的，在这种情况下往往需要应用张量来度量。设在物体内取一体积单元，该体积单元在任力向的截面为A，该截面的法向单位矢量为n，则截面的面积矢量为

（9.2.4）式中——沿直角坐标系的单位矢量；——面积A在三个坐标平面内的投影面积。当材料损伤后，设有虚构的体元，其法线为的面积矢量为（9.2.5）式中——面法线力向上的损伤变量。现定义一个二阶对称张量，如下式所示（9.2.6）

式中——单位张量；

——损伤变量张量。

于是有

（9.2.7）设实际应力张量为,Cauchy应力张量为，则有（9.2.8）因为上式对任意的A都成立，故有

（9.2.9）于是有（9.2.10）由上式可知，实际应力张量一般情况下不是对称张量，这给数值分析带来不便。为此一些学者提出将实际应力张量对称化的方法，这里不再介绍，如需了解可参阅有关专著。3．应变等价原理损伤变量是个无法直接进行观测的内变量，只能进行问接推算。Lemaitre(1971）提出了应变等价原理，认为应力作用在受损材料上引起的应变与实际应力作用在无损材料上引起的应变等价，如图9-2所示。图9-2应变等价的概念根据这一原理，受损材料的本构关系可通过无损材料中的名义应力得到，即（9.2.11）或（9.2.12）式中——名义模量，等于未损伤时的模量；——受损材料的实际弹性模量。结合式9.2.11和式9.2.12，可得（9.2.13）由式9.2.12可得（9.2.14）当加载至某数值时卸载，可假定损伤不可逆，即卸载过程中损伤值不变，则有，E为未损伤时的弹性模量，为一常数。于是由式9.2.14可得到下式（9.2.15）将式9.2.15与式9.2.13比较，可知受损材料的弹性模量等于卸载时应力应变曲线的斜率，也称为卸载弹性模量。

4．热力学原理

设自由能可以区分为弹性部分和塑性部分，即（9.2.16）式中T——绝对温度；p——塑性内变量。设为弹性矩阵，为密度，则有（9.2.17）而应力可表示为（9.2.18）定义y与损伤变量为功共扼变量，即（9.2.19）弹性应变能可由下式表示（9.2.20）于是可得（9.2.21）-y被称为损伤增长时的能量释放率。损伤力学中把（-y）作为破坏时的准则量，即当（-y）达到临界值时，材料发生宏观破坏。5.损伤模型如果原始材料的本构关系已知，则只要知道损伤变量的演变规律，就可以建立起损伤材料的本构模型，进行数植分析。损伤演变规律的数学表达式就是损伤模型。如果式9.2.13中通过应变来表示，则它就是种简单的损伤模型。除了直接拟合试验曲线以外．损伤模型也可以通过先假定某个类似塑性势的耗散势，并根据y与共扼的定义由下式间接推算，（9.2.22）9.3结构性粘土的弹塑性损伤模型（沈珠江，1993)沈珠江（1993）发展了一个适用于结构性粘上的弹塑陛损伤模型，现作简要介绍。希望读者能够通过对个具体模型的学习，加深对损伤模型理论的了解。1.基本假设结构性粘土具有明显的初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，其变形特性接近于弹陛体。在结构破损阶段，这种土表现出相当大的压缩性。明显的应变软化、很大的剪缩性或Skempton孔隙压力系数A>1等现象均与这种结构破损有关，大部分结构强度破坏以后，土体就接近于扰动土，即具有扰动土相当的压缩指数（图9-3）。现作基本假设如下：

（1）设原状上的特性可用参数代表，完全损伤土（重塑土）的特性可用代表，则损伤土体参数可用下式计算：（9.3.1）式中——损伤变量，表示损伤在上体中所占的比重。图9-3结构性粘土压缩曲线据此，土的回弹模量及渗透系数K等可用下式计算：（9.3.2）（9.3.3）式中，脚标i和d分别代表原状土和完全损伤土。（2）土的塑性应变由原状土的屈服、完全损伤土的屈服和损伤比增加这三部分贡献组成，即可写为

（9.3.4）式中和——分别为原状土和完个损伤土的屈服函数；和——塑性系数，分别表示和增加塑性分量的大小；和——相应于和的塑性分量的力向；——损伤应变。如果把原状土当作弹性体，即可忽略第一项，式9.3.4可简化为（9.3.5）式中，＜·＞内的值只能大于或等于O，亦即卸荷时。设和分别为原状土和完全损伤土的弹性矩阵，则综合的弹性矩阵按假设（1）可由下式算出（9.3.6）从而弹性应变将为（9.3.7）考虑到，式（9.3.7）和式（9.3.5）相加后可解出（9.3.8）其中（9.3.9）采用正交流动法则时，，为矢量的模。为参数测定方便，下面将用代替。这样，上式中就可以写为。2屈服函数

对完全损伤土（重塑土），建议采用下列屈服函数（9.3.10）式中——材料参数，；——开始剪胀时的值。对没有明显剪胀性的土，。，为内摩擦角。n=1.2时的屈服轨迹如图9-4所示。图9-4塑性系数可以仿照剑桥模型的办法确定。单向压缩条件下，，，如令和分别为压缩和回弹指数，则考虑到，和，则由式9.3.5可得（9.3.11）式中（9.3.12）由此可见，损伤土的特性将由三个参数,和完全决定，侧压力系数可用经验公式计算。在泊松比常量的假设下，回弹模量可以通过确定，即（9.3.13）至于原状土，虽然可简化为弹性体，但必须确定其可以当作弹性体的应力界限，即初始屈服面。试验所得的典刑初始屈服面形状如图9-4所示。建议仍用式9.3.10表示，但必须考虑固结引起的不等向性，即写为（9.3.14）设为单向压缩试验时的屈服值，为无侧限抗压试验的屈服值，它们应比和小一些，可根据试验曲线上直线段的最后点确定。考虑到单向压缩时和无侧限压缩时，式9.3.14中的常数和可以通过和表达为（9.3.15）（9.3.16）此处的和与前面损伤土的和不定相同。原状土的回弹模量可由无侧限压缩试验的直线段斜率确定，泊松比假定为常量。图9-5中同时绘上按式9.3.14计算所得的屈服面。3损伤演化规律

下面讨论损伤变量。及其增加引起的损伤应变量的计算。

图9-5初始屈服面沈珠江建议采用下式计算，（9.3.17）式中——体积应变，；——偏应变，；a,b——材料参数，可通过有侧限和无侧限压缩试验测定。设有侧限压缩试验中原状土压缩曲线与重塑土压缩曲线大体平行时转折点处的孔隙比为，此时的假定为0.95（图9-3)，则由式9.3.17可得（9.3.18）再设无侧限试验中应力应变曲线下降段后期的转折点处得（图9-6)，则考虑到此时，由9.3.17可得（9.3.19）式9.3.17的增量可以写为（9.3.20）

图9-6无侧限压缩曲线则的增加由和两部分贡献所组成。在确定的计算式时，必须考虑应变增量的方向性。设第一部分的方向矢量为，第二部分的方向矢量为，则可以写为（9.3.21）式中；。参数可由压缩曲线的斜率推算。单向压缩时，，由式9.3.5和式9.3.21可得（9.3.22）代入并加上弹性应变后可得（9.3.23）定义，由式9.3.23可得（9.3.24）或略去原状土的弹性应变（9.3.25）设为最大的值（图9-3)，建议值按下式计算

（9.3.26）这样，所需测定的损伤参数只有，和三个，再加上前而提到的,,，和，共计9个，均可以通过单向和无侧限压缩试验方便地测定。不过的测定比较困难，由于应变的局部化，由试样顶部位移计算的平均应变不能代表破裂面上真正的应变。在进一步研究之前，建议暂先假定。至于弹性泊松比和，可以取经验值0.2和0.3。4．弹塑性损伤矩阵上述模型用于有限元计算时，原则上可以把式9.3.8中的当作初应变，然后用初应变法求解。但是，在总