新教材(广西专版)高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第三节空间直线、平面的平行课件

第三节空间直线、平面的平行第八章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.强基础增分策略知识梳理1.直线与平面平行的判定与性质类型判定性质定义定理图形条件

a⊄α,b⊂α且a∥b

结论a∥αa∥αa∥b作为画一条与已知直线平行的直线的依据

应用时不能漏掉b⊂αa∩α=⌀a∥α,a⊂β,α∩β=b微点拨辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往往需要作辅助线(面).微思考设m,l表示两条不同的直线,α表示平面,若m⊂α,l∥α,则l与m的位置关系如何?提示

平行或异面.2.面面平行的判定与性质

类型判定性质定义定理图形条件

a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=bα∥β,a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α这两条直线必须相交

不能理解为:α∥β⇒a∥bα∩β=⌀微点拨判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.微思考一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?提示

平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”,这就是面面平行的判定定理.常用结论1.平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.2.判断两个平面平行的三个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.(

)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.(

)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(

)(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(

)×××√2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AA1,BB1的中点,过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F,则下列说法正确的是(

)A.MF∥NEB.四边形MNEF为梯形C.四边形MNEF为平行四边形D.A1B1∥NE答案B

解析

∵在▱AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,∴AM=BN.又AM∥BN,∴四边形ABNM是平行四边形,∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB.在△ABC中,EF≠AB,∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.故选B.3.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列命题正确的是(

)A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m⊥α,α⊥β,则m∥βD.若m⊥α,m⊥β,则α∥β答案

D

解析

A选项,若m∥α,n∥α,则m∥n,或m,n相交或m,n异面,A错误;B选项,若m∥α,m∥β,则α∥β或α,β相交,B错误;C选项,若m⊥α,α⊥β,则m∥β或m⊂β,C错误;D选项,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,D正确.增素能精准突破考点一空间中平行关系的判定典例突破例1.(1)平面α∥平面β的一个充分条件是(

)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α(2)(多选)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是(

)答案

(1)D

(2)BCD

解析

(1)对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行,故A错误;对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故B错误;对于C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故C错误;对于D,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D正确.(2)对于A,作如图1所示的辅助线,其中D为BC的中点,则QD∥AB.因为QD∩平面MNQ=Q,所以QD与平面MNQ相交,所以直线AB与平面MNQ相交.对于B,作如图2所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.对于C,作如图3所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.对于D,作如图4所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥NQ,所以AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.故选BCD.方法总结直线、平面平行的判定方法

对点训练1(1)(多选)(2023山东青岛模拟)a,b为两条直线,α,β为两个平面,则以下命题不正确的是(

)A.若a∥b,b⊂α,则a∥αB.若a∥α,b∥α,则a∥bC.若a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,则α∥βD.若α∥β,a⊂α,则a∥β(2)(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,则下列条件中,能使直线EF∥平面ACD1的有(

)A.F为AA1的中点B.F为BB1的中点C.F为CC1的中点D.F为A1D1的中点答案

(1)ABC

(2)ACD解析(1)由a∥b,b⊂α,可得a∥α或a⊂α,A错误;由a∥α,b∥α,可得直线a,b可能相交,异面或平行,B错误;a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,则当a,b相交时,α∥β;当a,b平行时,则α∥β或α,β相交,C错误;由α∥β,a⊂α,根据平行平面的性质可得a∥β,D正确,故选ABC.(2)如图,M,G,H,I,J分别是棱BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点,易证E与M,G,H,I,J共面,由EM∥AC,AC⊂平面ACD1,EM⊄平面ACD1,则EM∥平面ACD1,同理EJ∥平面ACD1,而EM,EJ是平面EMGHIJ内相交直线,则得平面EMGHIJ∥平面ACD1,EF∥平面ACD1,则F⊂平面EMGHIJ,观察各选项,ACD满足.考点二线面平行的判定与性质(多考向探究)考向1.直线与平面平行的判定典例突破例2.(2023江西南昌三模)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD与ABEF均为直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面ABEF,AB⊥AF,AD=AB=2BC=2BE=2,点G在AF上,且AG=1.(1)求证:BG∥平面DCE;(2)若BF与CE所成的角为60°,求多面体ABCDEF的体积.(1)证明

延长DC交AB的延长线于点M,连接EM,GE,则EM在平面DCE内,易知AF∥BE,G在AF上且AG=BE=1,故AGEB为平行四边形,则EG∥AB,EG=AB,又A,B,M共线,∴EG∥BM,且EG=BM,故BMEG为平行四边形,则BG∥EM.由BG⊄平面DCE,EM⊂平面DCE,∴BG∥平面DCE.(2)解在平面ABEF内,过点G作FB的平行线GP交AB于P,即GP∥BF,取AD的中点N,连接NC,BF,NG,NP,由(1)知C为DM中点,则NC∥AB∥GE,且NC=GE=2,∴NCEG为平行四边形,则CE∥NG,∴BF与CE所成的角即为GP与NG所成角,则∠NGP=60°.∵DA⊥平面ABEF,AG,AP⊂平面ABEF,则DA⊥AG,DA⊥AP,而AN=AG=1,方法总结证明线面平行的两种常用方法

(1)证明连接BO,并延长BO交AC于G,连接DG.∵AB=AC=6,AB⊥AC,F是线段BC的中点,∴OE∥GD,又OE⊄平面AA1C1C,GD⊂平面AA1C1C,∴OE∥平面AA1C1C.(2)解连接AC1,则GD∥AC1,OE∥AC1,∴A,C1,O,E四点共面.又AO∩BC=F,∴F∈AO,F∈平面AC1EO.又F∈BC,BC⊂平面BB1C1C,∴F∈平面BB1C1C.又平面AC1OE∩平面BB1C1C=C1E,∴F∈C1E,即C1,E,F三点在一条直线上,考向2.直线与平面平行的性质典例突破例3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在线段CD1上,CE=2ED1,点F为线段AB上的动点,AF=λFB,且EF∥平面ADD1A1.求λ的值.解

过点E作EG⊥D1D于点G,连接GA.则EG∥CD,而CD∥FA,所以EG∥FA.因为EF∥平面ADD1A1,EF⊂平面EFAG,平面EFAG∩平面ADD1A1=GA,所以EF∥GA,即四边形EGAF是平行四边形,所以GE=AF.名师点析应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.对点训练3(2023海南统考模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面PAD为正三角形,M为线段PD上一点,N为BC的中点.(1)当M为PD的中点时,求证:MN∥平面PAB;(2)当PB∥平面AMN时,求出点M的位置,说明理由.(1)证明

如图,取AP中点为E,连接EM,EB,在△PAD中,M为PD的中点,E为AP中点,∴BN∥ME,BN=ME,∴四边形BNME为平行四边形,∴MN∥BE,MN⊄平面PAB,BE⊂平面PAB,∴MN∥平面PAB.(2)解连接AN,BD相交于点O,连接OM,∵PB∥平面AMN,平面PBD∩平面AMN=OM,PB⊂平面PBD,考点三面面平行的判定与性质典例突破例4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.证明(1)∵E,F分别为B1C1,A1B1的中点,∴EF∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1G,EF⊄平面A1C1G,∴EF∥平面A1C1G.又F,G分别为A1B1,AB的中点,∴A1F=BG.又A1F∥BG,∴四边形A1GBF为平行四边形,则BF∥A1G.∵A1G⊂平面A1C1G,BF⊄平面A1C1G,∴BF∥平面A1C1G.又EF∩BF=F,EF,BF⊂平面BEF,∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G1∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线,设该直线交BC于点H,则A1C1∥GH,得GH∥AC,∵G为AB的中点,∴H为BC的中点.方法总结证明面面平行的三种常用方法

对点训练4如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,证明B1D1∥l.证明(1)由题知,BB1

DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1

B1C1

BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B=B,BD,A1B⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,平面ABCD∩平面A1BD=直线BD,所以直线l∥直线BD.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以B1D1∥l.考点四平行关系的综合应用典例突破例5.在直角梯形ABCD中(如图1),AB∥DC,∠BAD=90°,AB=5,AD=2,CD=3,点E在CD上,且DE=2,将△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2),G为AE的中点.(1)求四棱锥D-ABCE的体积.(2)在线段BD上是否存在点P,使得CP∥平面ADE?若存在,求

的值;若不存在,请说明理由.解

(1)因为G为AE的中点,AD=DE=2,所以DG⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,DG⊂平面ADE,所以DG⊥平面ABCE.(2)在BD上存在点P,使得CP∥平面ADE.过点C作CF∥AE交AB