全称量词与存在量词 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词

学习目标全称量词命题是可以判断真假的陈述句。(1)x>3(2)2x+1是整数(3)对所有的x∈R,x>3(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数是是不是不是(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定，使(3)变成了可以判断真假的语句关系:(3)(4)全称量词命题(4)在(2)的基础上,用短语“对任意一个”对

变量x进行限定，使(4)变成了可以判断真假的语句.

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?思考1全称量词下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?一、全称量词与全称量词命题1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做____________，并用符号“______”表示．全称量词∀常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“对所有的”“所有的”等

例如,命题:所有的正方形都是矩形；任意的等边三角形每个内角都是60°2．全称量词命题：含有____________的命题，叫做全称量词命题．3．全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__________________.全称量词∀x∈M，p(x)读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.关系:存在量词下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x+1=3；(2)x能被2和3整除;(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.不是不是是是(3)(4)存在量词命题(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;

(4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.

思考2存在量词二、存在量词与存在量词命题1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做

，并用符号“

”表示

常见的存在量词还有“有些”“对某些”“有的”“存在一个”“至少有一个”等

存在量词∃例如,命题:有的平行四边形是菱形;有一个素数不是奇数。2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做

.3.存在量词命题的表达形式：存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立”，可用符号简记为

存在量词命题∃x∈M，p(x)读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”。注意一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2+y2≥0”一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a,b∈R,使（a+b)2=(a-b)2”有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来。例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等的特征的命题都是存在量词命题。三、全称量词命题与存在量词命题的判断判命题：判断该语句是不是命题看量词：看命题中是否含有量词或隐含量词，判断量词或隐含量词是全称量词还是存在量词下结论：含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题为存在量词命题3、命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用符号语言可表示为？解析：命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用符号语言可表示为：∀x≤0,x3≤01、全称量词命题是陈述某集合中所有元素具有某种特质的命题（）

2、存在量词命题是陈述某种集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题（）

练一练√√4、命题“存在实数x,使得2x大于3x”用符号语言可表示为？解析：命题“存在实数x,使得2x大于3x”用符号语言可表示为：∃x∈R,2x>3x.练习5、下列命题中，是全称量词命题的是()是存在量词命题的是()正方形的四条边都相等；有两个角相等的是等腰三角形正数的平方根不等于0至少有一个正整数是偶数①②③④例1、判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。小结：真命题——需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；假命题——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可（举反例）.假命题真命题假命题四、全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2、判断下列存在量词命题的真假：（1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0；（2）有一个素数不是奇数；（3）有些整数只有两个正因数。小结：假命题——需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在。真命题——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可（举特例）；假命题真命题真命题练一练：下列命题是存在量词命题还是全称量词命题，并判断是真命题还是假命题（3）所有的矩形都是平行四边形（2）某些平行四边形是菱形（1）每一素数都是奇数（4）有些数的绝对值是正数（5）