2023-2024大连育明高中高二年级期中考试数学学科试题【含答案】

大连育明高级中学2023~2024学年上）期中考试

高H.数学试卷

满分150分时间120分钟

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前；先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴

在答题卡上指定位置.

2.选择题，每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

3,非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无

效.

4.画图清晰，并用2B铅笔加深.

第I卷供60分）

一.单项选择题：体题共8小题，每小题5分，共：40分.，在每个小题给出的四个选斛，

只有一项是符合题目要求的.

1.如图，记直线的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为的《2则下列结论正确的是（）

A.ki>k2,at>a2B.ki>k2,at<a2

C.kt<k2,«i>a2D.%<k2,aj<a2

2.已知两点A（l,3）,B（4,2）,直线1：—+丫-31«-1=0与线痴8相交,贝女的取值

范围是（）

A.-1<k<1B,k<1心女工一1或女之1D.k>-1

3.空间四边形0ABC中，设==a,OB=b,o2=c,点M在棱OA上,.且'OM=2MA，

N是棱BC的中点，则丽二（）

A呼一1B.齐号b+)C,-1a+ib+icD.1a+.1b-^c

334

4.已知点A(1,2)在圆C：*2+丫2+3-2丫+2=故卜，则实数111的取值范围为()

A.(-3,-2)U(2,+oo)B.(-3,-2)U(3,+oo)

高二数学学科试卷，第1页供6页

G."2,+8)D.(-3,+«)

5.如图，在三棱柱ABC-AiBiQ中，M为AiG的中点，N为恻面BCQ瓦上的一点，且MN//

平面ABC1，若点N的轨迹长度为2,贝奴)

A.ACi=4B,BQ=4C.ABt=6D.B«=6

6.方程工+《=1表示焦距为2裔的双曲线，则实数A的值为（）

入4-43-A

A.1B.-4或1C,-2或-4或1D.-2或1

7.已知抛物线C:y'=8x上一点P,直线li：x=-2,l2：3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之

和的最小值为（）

A.2B.2V34C.^V34D.^V34

1517

8.已知椭圆C：1+左=l（a>b>0）的左、右焦点分别是&,F2，焦距怛同=2瓦

过点T（34，0）的直线与椭圆交于P、Q两点，若皿=2而，且PF1IPF2,则椭圆C的方

程为（）

A.^=1瓦》上1C；q+91:D.：+y2=i

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

9.在以下命题中，正确的命题有（）.

A.若4•b<0，则,0,力是钝角

B.若力则存在唯一的实数人，使之=髭

C.对空间任意一点0和不共线的三点&B,C,若加;2&U2OB-3&L则P,A，

B,C四点共面

D.若益b,各为空间的一个基底，则G+亡%+限，；+&构成空间的另一个基底

高二数学学科试卷第2页/甚6页

10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-AiBiQD],其中以顶点A为端点的三

条梭长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是（

A.AC]=6V6

B.ACX1DB

C.向量瓦己与砧的夹角是60°

D.BDi与AC所成角的余弦值为手

11.已知圆G：色+1）2+丫2=1和圆（：2：也-4）2+丫2=4,过圆G上任意一点P作圆G

的两条切线，设两切点分别为A,B,.则（）

A.线段AB的长度小于有

B.线段AB的长度大于近

C.当直线AP与圆C2相切时，原点。到直线AP的距离为?或称

D.当直线AP平分圆C2的周长时，原点O到直线AP的距离为g

12.已知双曲线C：.一爰=16＞0加＞0）与椭圆3+1=1有公共焦点，C的左£右焦点

分别为玲，F2,且经过点T怎,§，则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的标准方程为好一；？=1

B.若直线y=与双曲线C无交点，则同＞14

C.设A（、色1）,过点B（0,l）的动直线与双曲线C交于P,Q两点（异于.点A）,若直线AP与直

线AQ的斜率存在，且分别记为治，k2,则k[+k2=&

D.若动直线m斜率存在，且与双曲线C恰有1个公共点，m与双曲线C的两条渐近线分别

交子点M,N,则△OMN（O为坐标原点）的面积为定值1

第n卷供90分）

高；1数学学科试卷第3页供6页

三、填空题：（本题共4•小题，每小题节分，共计20分.）

13.抛物线x=4y2的焦点到准线的距离为__________.

14.直线x±8》+6=0和直线.（a-2）x+3ay+2a=0平行，则==_______.

15.已知抛物线C:y2=2px（p>Q）的焦点为F,点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点,

点P在抛物线C上，若sin4PAF=3贝Hsin/PEA=.

16;如图，在直三棱柱如C-A窗心中；ZkABC是边长为2的正三角形，必=4,M为“

的中点，P为线段4M上的动点，则下列说法正确的是（填写序号）

①•平面ABM

②三枝锥P-泌以■的体积的最大值为竽

③存在点P,使得BP与平面AiBiQ所成的角为60。

④存在点P,使得AP与BM垂直

四、解答题：（本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤

17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AD〃BC?ABJ_

AD,BC=y,AB=1,BD=PA=2.

⑴求异面直线BD与PC所成角的余弦值；

（2）求直线BD与平面PCD所成角的正弦值.

高二数学学科试卷第4页旗6页

18.已知直线1过点P(-l,2).

(1)若直线1在两坐标轴上截距和为零，求直线1的方程；

(2)设直线1的斜率k>0,且直线1与两坐标轴交点别为A、B,求△AOB面积最小值.

19.如图，在以P为顶点，母线长为打的圆锥中，底面圆0的直径AB长为2,C是圆0所在

平面内一点，且AC是圆0的切线，连接BC交圆。于点D,连接PD,PC.

(1)求证：平面PAC1平面PBC；

(2)若E是PC的中点，连接OE,ED,当二面角B-PO-D的大小为120。时，求平面PAC与

平面DOE所成锐二面角的余弦值.

20.已知双曲线C的方程为捺-或一心。…)，离心率为2,右顶点为(1,0).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过双0,2)的直线［与双曲线C的一支交于M、N两点，求前.丽的取值范围.

高二数学学科试卷第5页/共6页

21.如图，等腰直角4ACD的斜边AC为直角^ABC的直角边,E是AC的中点,F在BC上.将

三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE,DF,EF,使得平面■平面ABC.已知AC=2,

ZB=30°，

⑴证明：EF〃平面ABD；

⑵若DF=O,求二面角A-BC-D的余弦值.

22.在平面直角坐标系中，5(1,0),设用C的内切圆分别与边NC,BC,AB

相切于点P,Q,R,已知|CP|=1,记动点C的轨迹为曲线

⑴求曲线E的方程；

⑵过点3(1,0)作直线/交曲线E于N两点,且点M位于x轴上方，已知4(-2,0)，

4(2,0),记直线4",4N,4N的斜率分别为无，k2,k3.

①证明：匕右，3为定值；

上2

②设点N关于x轴的对称点为阳，求面积的最大值.

高二数学学科试卷第6页/共6页

大连育明高级中学2023〜2024学年（上）期中考试

高二数学试卷参考答案及评分标准

第I卷（共60分）

一.选择题（每小题5分，共60分）。

1-8：BCCABADA9.CD10.AB11.BCD12.ACD

第II卷（共90分）

二.填空题（每小题5分，共20分）字体用宋体小四号加粗。

13.-14.-1或015—16.②③

84

三.解答题

17.（1）运⑵叵

4620

18.解：（1）因为直线1在两坐标轴上截距和为零，所以直线1斜率存在且不为0,故不

妨设斜率为左，则直线1方程为＞-2=左（》+1）,所以直线在坐标轴上截距分别为

22

-1--,左+2,所以一1—：+左+2=0,整理得左2+左—2=0,解得左=—2或左=1

kk

所以直线1方程为2%+y=。或尤-y+3=O.

(2)由(1)知—左+2),因为左>0,所以AOB面积为

S=^xfl+|Vz：+2)=lxf4+Z:+^>|xf4+20^=4,当且仅当左=?,即左=2时

2kJ2v—21vkJk

等号成立，所以△40B面积最小值4

高二数学试卷参考答案及评分标准第1页/共5页

19.解：(1)AB是圆。的直径，AC与圆。切于点A,AC,AB尸。1底面圆。，；.

PO±ACP0oAB=0,AC,平面PAB,ACLP3.又•.•在APA3中，

5

PA^PB=—AB,PA1PBVPAAC=A,；.PBJ.平面尸AC,从而平面

2

Z4CL平面PBC.

(2)OB±P0,ODLPO,/BO。为二面角3—PO—O的平面角，

A/BOD=120，如图建立空间直角坐标系，易知03=1,则A(0,—1,0),3(0,1,0),

1八J2百一八_______JV31P

。[亍，，尸，由(1)知

aOJC[M—LOJ,(0,0,1),1-1322)

m=8。=(0,—1,1)为平面H4c的一个法向量,设平面ODE的法向量为n=(x,y,z),

OE=[g-I,DOD=1f,-1,。，;

n_LOE，n_LOD，•e•n-OE=0，

lJ…一2J

6]Jn

——x——y+—z=0

3?2

〃・也=0，1，即

Vr31「

I22/

2x-V3y+V3z=0

\l故平面ODE的一个法向量为/x

V3x-y=0

(二「\/、m-nV26

〃二，3,3』,cos〈加，"〉二।尸.・•・平面PAC与平面DOE所成锐二面

\)m|-|n13

角的余弦值为叵.

13

20.(1)由离心率e=9=2,又/=/+〃,所以廿=3a2,又右顶点为(L0),所以6=1,

a

2

所以k=3,故双曲线的标准方程为炉一匕=1.

3

高二数学试卷参考答案及评分标准第2页/共5页

/一匕=1

(2)设直线/的方程为y=bf+2,设乱(占,%),%(%，％)，则由3得

y=kx+2

(3-公)/-4左-7=0,因为直线与双曲线一支交于V、N两点，所以

3一片0

<A=16F+28(3-fc2)>0,解得3</<7,因此

1

EM-EN=(<xl,yl-2)-(%2,y2-2)=+(^-2)-(y2-2)=xtx2+kxlx2

,、p_i_1A

二(左2+1)%]%=7—=7(1+—),因为3Vk2<7f所以0〈k2一3<4,

I712k2-3、k2-3'

44

所以V7>1,所以EM.EN=7(1+”~^)>14,故磁.助€(14,+00).

21.(1)证明：过。作£>G_LEF,垂足为G,：平面£>EF_L平面4BC,平面OEFc平

面ABC=£F,。6匚平面。£/，；.£)G_L平面48C,：ACu平面N8C,/.DG1AC,

是等腰直角三角形40c斜边/C的中点，DE，AC,又OEDG=D,DE,DGu

平面DEF,：.AC_L平面DEF,'：EFu平面DEF,：.AC±EF,VACLAB,：.EF1/AB,

,/EF<z平面ABD,ABI平面ABD,：.EF//平面ABD.

百一7F

(2)由题意可知，在等腰直角三角形ADC中，；AC=2,.•.r>E=gAC=l,由(1)

可知，斯为直角三角形BAC的中位线，；=30°,AAB=也AC=2EF,：,EF=粗,

,:DF5,AEF2=DE2+DF2,/.DE1DF,：.DG=—,EG=—.

33

以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面CD尸的法向量分=(x,y,z),则

高二数学试卷参考答案及评分标准第3页/共5页

c(1,0,0),F(0,73,0),D0,4，咚,CF=(-1,A/3,0),Cr>=[-1,*,坐,由

(33)33J

V3°

几・CD=0——yHz-x=0,

得33令y=i,贝i」〃二（6」,后），显然，平面45。的法向

n-CF=0

6y-x=Q,

）=篇邛•二面角-。的余弦值》

量7〃=(0,0,1),cos(m,n

22.【解答】（1）解：由题意可知，

|CA|+|CBHCP|+|Cei+|AP|+|B2|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲线E是以A,B

22

为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x轴的交点），设曲线E:=+}=l（a>b>0,yw。），

ab

22

则c=l,2。=4,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以曲线E的方程为?=l（yw0）；

（2）①证明：设直线/的方程为x=my+l,M&,%）,Ng,%）（M>°，%<。），

x=my+1

联立方程组炉V2，可得(3"+4)y2+6〃?y-9=0,则

——+—=1

143

6m9

J1+3；2=-W^'^=-W74因此

%M=_________3V2__________________3/+4_______=_1

X]+2%+2m2yy+3m(y+y)+99m,3x6m24

l2l2------5——+(------——)x+9o

3m2+43"+4

高二数学试卷参考答案及评分标准第4页/共5页

k=9+2=（为-2）%=（叫-1）%=〃为%="%匕一（%+%）+%故

k2%（x2+2）y1（my2+3）^myl