2024年新高考新结构数学模拟卷（三）（原卷版+解析版）

2024年新高考新结构数学模拟卷（三）

（模拟测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合4=«：＜2，＜21,3=｛巾=坨"+1）｝,则Au低句=（）

A.0B.（—8,1）C.（―1,+8）D.（―8,—1）D（—1,1）

2.已知直线/、加、〃与平面。、0,下列命题正确的是（）

A.若a///?,Iua,nu/3,则///〃B.若2_1_夕，lua,则/

C.若/_L〃，mA-n,则/〃机D.若/_La,/〃尸，则。

3.已知非零向量a，b，c满足同=W，c=；a,若c为。在a上的投影向量，则向量a，b夹角的余弦值

为（）

A.-B.—C.—D.—

2345

4.已知圆£:（尤+l）2+（y+l）2=l,圆C2：Y+y2-4x-4y-l=。，则两圆的公切线条数为（）

A.1B.2C.3D.4

5.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出

一球放入乙箱中，分别以A1、4、A3表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取

出一球，以5表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）

A.尸（8）=|

B.W)=n

c.事件B与事件A不相互独立D.4、4、A两两互斥

6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的

“蚊香画法如下：在水平直线上取长度为1的线段A3,作一个等边三角形ABC,然后以点8为圆心，AB

为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CO为半径逆时针画圆弧

交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰

好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（）

A.44nB.64兀C.70兀D.80%

333一

7.若a=ln4,b=—,c=sin—Ftan—,则a,b,c的大小关系为()

244

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点

A（x,,y）,3（%,%）的曼哈顿距离为：〃（43）=%一％2|+“1一%|.已知点〃在圆。：/+）?=1上一1^^在直线

/:3x+y-9=0上,则d(MN)的最小值为()

9710971018-2亚»3-f

10105

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.一组数据芯,々，鸟，占。满足4-私=2（24注10）,若去掉％,税后组成一组新数据.则新数据与原数据相比

()

A.极差变小B.平均数变大C.方差变小D.第25百分位数变小

10.如图所示，棱长为3的正方体A8CD-44G。中，尸为线段AB上的动点（不含端点），则下列结论正

确的是（）

B.RP与AC所成的角可能是g

o

C.AP-OC1是定值D.当AP=2P8时，点G到平面"AP的距离为1

11.已知函数〃x)为定义在R上的偶函数，"0)=1,>/(%-l)+/(x+l)=/(x),则()

A./(1)=1B.“X)的图象关于点g,o1对称

20231

c.“X)以6为周期的函数D.

k=i2

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.12+jJ(x-2y『的展开式中/丫2的系数为.(用数字作答)

13.在四面体P—ABC中，BPA.PC,ZBAC=60,若BC=2,则四面体P—ABC体积的最大值是,

它的外接球表面积的最小值为.

14.已知产为抛物线=的焦点，过点尸的直线/与抛物线C交于不同的两点A,8,抛物线在点A,2

4

处的切线分别为4和4,若4和4交于点尸，则口尸产+品的最小值为.

四、解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.已知椭圆C：，+，=l(a>6>0)的左右顶点距离为2指，离心率为孝.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点(0,1)且斜率不为0的直线/与椭圆C交于A,8两点，求弦A8垂直平分线的纵截距的取值范围.

16.在中，角A,B,C所对的边分别为。也c.若2a+Zxx)sA-c="an6sinA.

⑴求5；

⑵若一ABC为锐角三角形，求一的取值范围.

sine

17.最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为现对该产品

进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次.记X为试

验结束时所进行的试验次数，X的数学期望为E(X).

⑴证明：

P

(2)某公司意向投资该产品，若p=0.2,每次试验的成本为元，若试验成功则获利8a元，则该公司

应如何决策投资？请说明理由.

18.已知函数=2M>。且

⑴设g(x)=40+ex,讨论g(x)的单调性；

⑵若a>1且〃尤)存在三个零点%%,电.

1)求实数。的取值范围；

,、2e+l

2)设玉<%2〈尤3，求证：X]+3%+工3>«.

19.已知数列A:%LM”为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为小的左减数列：

①q+a2++an=m-

②对于l<i<j<n,使得at>%的正整数对(i,j)有上个.

⑴写出所有4的1减数列；

⑵若存在根的6减数列，证明：机>6；

(3)若存在2024的k减数列,求k的最大值.

2024年新高考新结构数学模拟卷（三）

（模拟测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3,非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合4=》；＜2工＜2,3={巾=lg(尤+1)},则Au(43)=()

A.0B.(-e,l)C.(-l,+oo)D.

【答案】B

【分析】分别求解两个集合，再根据补集和并集的定义，即可求解.

【详解】g<2'<2,得所以A={x[-l<x<l},

函数y=ig（x+i）中，龙+1>0,即所以B={X|X>T},

^B={x|x<-1）,所以AD（45）=（T,1）.

故选：B

2.已知直线/、加、”与平面a、B,下列命题正确的是（）

A.若。//月，Iua,〃u4，贝！J///〃B.若Iua,则.广

C.若/_L〃，mLn,则/〃加D.若/_La,/〃尸，则C/

【答案】D

【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可.

【详解】对于A,若a〃尸，lua,〃u£,则/与w可能平行，也可能异面，故A错误；

对于B,若a。，lua,贝也与夕可能平行，也可能相交，故B错误；

对于C,若/_Ln,mL",贝心与加可能平行，也可能相交或异面，故C错误；

对于D,若/〃,，则由线面平行的性质定理可知，必有Lu/7,使得〃儿,

又则因为《U夕，所以故D正确.

故选：D.

3.已知非零向量a，b>c满足忖=忖，c=g。，若c为。在a上的投影向量，则向量a，b夹角的余弦值

为()

A.~B.—C.—D.—

2345

【答案】B

【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，

即可得到结果.

一1

【详解】由c=；a,c为b在a上的投影向量,c=-a=|Z?|cosa=cos(a,b)a

所以1a=cos(a,6"，故cos(a,，)=§

故选：B

4.已知圆£：(x+l)2+(y+l)2=l,圆Cz：f+y-4x-4y-i=o,则两圆的公切线条数为()

【答案】D

【分析】由两圆的位置关系即可确定公切线的条数.

【详解】由题意圆6：(工+1)2+。+1)2=1是以(-1,-1)为圆心1为半径的圆；

C2：x2+y2-4x-4y-l=0即(x一2y+(y-2)2=9是以(2,2)为圆心3为半径的圆：

圆心距满足d=J=30>1+3=4,所以两圆相离，

所以两圆的公切线条数为4.

故选：D.

5.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出

一球放入乙箱中，分别以4、4、A表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取

出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）

A.P（B）=-B.P（B|4）=n

c.事件3与事件A不相互独立D.4、&、A两两互斥

【答案】A

【分析】利用全概率公式可判断A选项；直接写出尸（网A）的值，可判断B选项；利用独立事件的定义可

判断C选项；利用互斥事件的定义可判断D选项.

【详解】依题意,尸（A）*5U1，尸（洋）=9襦=11,尸（4）=32，

J.V/乙IUJAKJ

*叫4）=（，尸（叫4）=尸（叫A）=t，B对，

尸㈤4尸⑷3AHMA错；

尸（网”尸⑷尸（租）=。1=卷,尸⑷尸⑻=3（吟，

所以，尸（3户尸（8>p（A）,所以，事件B与事件4不相互独立，c对，

由题意可知，事件4、4、A中的任意两个事件都不可能同时发生，

因此，事件4、4、4两两互斥，D对.

故选：A.

6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的

“蚊香画法如下：在水平直线上取长度为1的线段A3,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心，AB

为半径逆时针画圆弧交线段6的延长线于点力（第一段圆弧），再以点c为圆心，C。为半径逆时针画圆弧

交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰

好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（）

【答案】D

【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可.

【详解】由题意每段圆弧的中心角都是曾，每段圆弧的半径依次增加1,

97?

则第”段圆弧的半径为"，弧长记为知,则

2冗

所以=石0+2+3++15）=8071.

故选：D.

333

7.若。=Ln4,b=—,c=sin—+tan—,则a,b,c的大小关系为（）

244

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【分析】由对数函数的性质可得心"，构造函数〃（x）=sinx+tanx-2x,（xe（0,：j）,利用导数可得则

答案可求.

【详解】因为（4）2<卜］,所以4<1，所以a=ln4<6=|=lnl,

令sinx+tanx—2x,XG,所以，则

322

cos3x-2cos2x+1(cosx-cosx)-(cosX-1)

/zr(x)=cosxH-------2=

cosXcos2Xcos2X

cos2x(cosx-l)-(cosx+l)(cosx-l)(cosx-f)(cos2x-cos;t-l)

COS2X―COS2X

cos^-cosx-l=fcosx-4-^f-l±^,J

I2)4[2J

(cos%-l)(cos2x-cosx-l)

所以"(%)=>0,

cos2X

gp/z(x)=sinx+tanx—2x,xe。，仁恒为递增函数,

则启)>/7(0)=0,BPsin-+tan--->0,所以c>b,

4442

综上：a<b<c,

故选：A.

8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点

4(占,%),3(々,%)的曼哈顿距离为：d(A3)=W-NI+I%-%|•已知点”在圆Od+V=1上，点N在直线

/:3尤+y-9=0上，则d(MN)的最小值为()

A9710„9M,「18-2亚n,M

JX.------D.---------1C.-------------D.j--------

101053

【答案】D

【分析】如图，作过点M作平行于无轴的直线MB交直线/于点8，过点"作人放_1_3/于点A,结合直线的

斜率得出MV平行于x轴，d(M,N)最小，再设M(cose,sin6),求出利用三角函数知识得最小值.

【详解】如图，过点M作平行于x轴的直线MB交直线/于点B,过点N作于点Ad(",N)表示

....NA

|他4|+|24|的长度，因为直线/的方程为3尤+y-9=0,所以tanNNBA=3，N万=3,即

\NA\=3\AB\,d(M,N)=\MA\+3\AB\=\MB\+2\AB\,

当固定点M时，1MBi为定值，此时|AB|为零时，d(MN)最小，即N与8重合(MN平行于x轴)时，d(M,N)

最小，如图所示，

设M(cosasinO),0e(O,27t],贝ij4=^^=3-；sin。，

\MB\=XB-COS6=3—§sin。一cos9=3—§(sin9+3cos6),

由三角函数知识可知sin6+3cos9=Ji5sin(e+°),其中tan=3,

则其最大值是M，

所以d(M,N)m,n=3-乎，故D正确.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题的关键是理解曼哈顿距离的定义，得到根同=4-cos0=3-；sin0-cos0,再利用

辅助角公式即可求出其最值.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.一组数据%超,思，,税满足%-=2（2口410）,若去掉孙玉。后组成一组新数据,则新数据与原数据相比

（）

A.极差变小B.平均数变大C.方差变小D.第25百分位数变小

【答案】AC

【分析】根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉再,/前后的相关数据，比较后得到答案.

【详解】由于X,-%T=2（2WZW10）,

故冗2=玉+2,%3=石+4,.......,%=%+16,%10=玉+18,

A选项，原来的极差为税-%=18,去掉无I，/后，极差为者-％=14,极差变小，A正确；

B选项，原来的平均数为芯+%1+者。=1°：；90=%+9,

去掉占,税后的平均数为+/=与卫=3+9,平均数不变，B错误；

88

C选项，原来的方差为（引二^二9）乂。_&_9）++（/—芯_9）_33,

10

去掉后的方差为伍f-9『+（X3f-9『++（演一%-9）：21，方差变小，C正确；

8

D选项，10x25%=2.5,从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即退，

8x25%=2,故从小到大排列，选择第3个数作为第25百分位数，即与，

由于吃＜4,第25百分位数变大，D错误.故选：AC

10.如图所示，棱长为3的正方体ABC。-中，P为线段AB上的动点（不含端点），则下列结论正

确的是（）

UG

A.2尸_14片B.2尸与AC所成的角可能是I!T

C.APDG是定值D.当AP=2P8时，点G到平面RAP的距离为1

【答案】ACD

【分析】以。为原点，加为x轴正方向，。。为y轴正方向，。。为z轴正方向，建立空间直角坐标系，

设P（3,a,3—a）,（0＜。＜3）,计算口尸，做可判断A；假设9尸与AC所成的角是刍，贝U

cos（RP,AC）=cos,求解可判断B；计算AP，DC；可判断C；当卡=2/＞8时，尸（3,2,1）,求出平面RAP

的法向量，利用点到平面的距离公式可判断D.

【详解】以。为原点，D4为x轴正方向，DC为＞轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则0（0,0,3）,4（3,3,3）,G（0,3,3）,4（3,0,0）,C（0,3,0）,£＞（0,0,0）,

设P（3,a,3—a）,（0<a<3）,则〃P=（3,a,-a）,ABt=（0,3,3）,

所以9pA=3x0+ax3+（-a）x3=0,则。/，4耳，故A正确;

因为AC=（—3,3,0）,A尸=（3,a,—a）,

/八D.厂、QP•AC3a—9

所以cos（£）1P,AC）=|—^|=一厂T———,

切"、/IM"，9+2〃2乂30

7T

若2尸与AC所成的角是B，

0

则IH/*，町\I…TV二即'9+92-3a/F兀，

整理得（2a+3『=0,得。=-底与。＜”3矛盾，故B错误;

,\,.UUWUULU

AP=（O,a,3-a）,£>G=（0,3,3）,所以APQg=0x0+ax3+（3-a）x3=9为定值，故C正确;

当AP=2PB时，尸（3,2,1）,

D1A=(3,0,-3),AP=(0,2,1),qo,=(O,-3,O),

设平面RAP的法向量为根=(x,y,z),

D.A-m=3x-3z=0

由《令z=2,则x=2y=-l,m=(2,—1,2),

APm=2y+z=0

,C.D,-m3,

点C1到平面RAP的距离d=+「=§=l,故D正确.

故选：ACD.

H.已知函数f(无)为定义在R上的偶函数，/(0)=1,>/(x-l)+/(x+l)=/(x),则()

A./(1)=1B.〃x)的图象关于点(1,0)寸称

20231

c.“X)以6为周期的函数D.£/(/：)=--

k=\人

【答案】ABC

【分析】令x=0,求出/⑴可判断A；利用〃x-L)+/(x+l)=〃x)和x)=/(x)得出

=可判断B正确；利用周期函数的定义和/(xT)+/(x+l)=〃x)求出周期可判断C；

赋值法求出7(0)，/⑴，“2),"3),"4),f(5),结合周期可判断D.

【详解】因为函数/'(力为定义在R上的偶函数,

所以f(—x)=/(x),/(-x+1)=/(x-l),

对于A,令x=0,可得/(0-1)+〃0+1)=/(0)=1,

因为〃-1)=〃1)，可得/(l)=g，故A正确；

对于B,因为〃x—l)+〃x+l)=〃x),

所以〃—xT)+/(f+l)=/(-x)=〃x),

可得〃-x+l)+〃3-x)=〃x-2),

«/(3-%)=/(%-2)-/(-%+1)=/(%-2)-/(%-1),

又因为〃x-l)+〃x+l)=〃x),可得/(x—2)+〃x)=〃x—1),

所以"3—x)=〃x—2)—〃龙-1)=一〃x),可得/弓7)―/卜+目，

所以〃x)的图象关于点［，。“寸称，故B正确；

对于C,因为/(x—1)+/(尤+1)=/(力，

所以〃x)+〃x+2)=/(x+l),所以—/(x+2)=〃x—l),

可得-〃x+3)=/(x),所以有〃x+6)=—〃x+3)=〃x),

所以“X)以6为周期的函数，故C正确；

对于D,"0)=1,/(1)=|,令尤=1可得〃0)+〃2)"(1),可得〃2)=〃1)-〃0)=-”

令x=2可得〃1)+〃3)=/(2),可得〃3)=〃2)-/⑴=一1,

令x=3可得〃2)+/(4)=/(3),可得"4)=/⑶一八2)=-；，

令x=4可得〃3)+〃5)=〃4),可得〃5)=〃4)-〃3)=),所以

/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)=0,

20231

所以㈤=337X0+〃1)=5,故D错误.

k=l2

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键，求解抽象函数问题，要有扎

实的基础知识和较强的抽象思维和逻辑推理能力.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.3+£|(x-2y)6的展开式中公犬的系数为.(用数字作答)

【答案】-40

【分析】由二项式定理得到(尤-2y)6的通项公式，结合2+j,得到与工，得到丁丁的系数.

【详解】(尤-2y『的通项公式为乙=《尸(一2以=&(-2)'尸产，

242424242

令r=2得,T3=C^(-2)xy=60xy,itkHj-60xy-2=120xy,

令r=3得，7；=(-2)3x3y3=-160x3/,此时-160/;/1=-160/y2,

故一丁的系数为120-160=TO

故答案为：-40

13.在四面体P—ABC中，BP±PC,ZBAC=60,若3c=2,则四面体P—ABC体积的最大值是,

它的外接球表面积的最小值为.

▼小士、也16兀

【答案】4—

33

【分析】根据余弦定理以及不等式可得AB-ACW4,进而可求解面积的最大值，进而根据BPLPC,即可

求解高的最大值，进而可求解体积，根据正弦定理求解外接圆半径，即可根据球的性质求解球半径的最小

值，即可由表面积公式求解.

【详解】由余弦定理可得Be?=A82+AC2_2ARACCOSNA4C,

^4=AB2+AC2-ABAC>2ABAC-ABAC,所以gAC44,

当且仅当AB=AC时取等号，故SMe=」AB.ACsin60=-AB-AC<—x4=y/3,

ABC244

故_48。面积的最大值为6，

yj3

VP-ABC=个]1,瓯心工寸垂>h=yh,

由于3P_LPC,所以点尸在以8C为直径的球上（不包括平面ABC）,故当平面尸3cl平面ABC时，此时〃

最大为半径（BC=1,

故/ABC<—h<—,

Pm33

24

由正弦定理可得：~^=F=2r，厂为_ABC外接圆的半径，

sin6013

设四面体P-ABC外接球半径为R,则尺2=/+0。2=1+。02淇中。,。1分别为球心和“钻。外接圆的圆心,

故当0。=0时，此时尺2=g+O02最小，

故外接球的表面积为4兀心=殍，

故答案为：丑，粤

33

P人

B

14.已知产为抛物线C：y=Jf的焦点，过点尸的直线/与抛物线c交于不同的两点A,8,抛物线在点A3

4

25

处的切线分别为乙和4,若4和4交于点尸，则口尸广+向的最小值为.

【答案】10

【分析】设直线方程为丁=区+1,4（%,%）,*%,%），联立抛物线方程得出韦达定理，再利用导数的几

25

何意义求解AP，BP方程，联立ARBP可得P（2K-1）,再代入I尸/I2+两根据基本不等式求解最小值即可.

【详解】C：/=4y的焦点为（0,1）,设直线A8方程为、=履+1,A（xl,yl）,B（x2,y2）.

联立直线与抛物线方程有Y一4日一4=0,贝1］卜目=%+%+2=左（芯+々）+4=4左2+4.

又y=求导可得,=故直线AP方程为、一切=；玉（x-xj.

又％=1芭~,故AP:y=万占尤一1X；,同理:y=万无2彳_1尤;.

［_112

y=一XyX—Xyzx

联立；:可得*「尤2户=：（+考），解得尤=2产，代入可得尸”三，苧，代入韦达

笛_'丫丫1丫224''24〃

y--x2x--x2

定理可得尸（2匕-1）,故［P同="^+4.

故鼻=4^+4+7T^22（4公+4卜77m=10,当且仅当4s+4=^^，即&=±〈时取等号.

\AB\4左2+474左2十44左2+42

【点睛】方法点睛：如图，假设抛物线方程为丁=2处（p>0）,过抛物线准线y=-5上一点尸（％,%）向抛

物线引两条切线，切点分别记为48,其坐标为&,%）,（%，%）.则以点尸和两切点AB围成的三角形中,

有如下的常见结论：

结论1.直线A3过抛物线的焦点

yy

结论2.直线AB的方程为xox=2p°^=P（%+，）.

结论3.过尸的直线与抛物线交于AB两点，以A2分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点尸(七,%)的

轨迹即为抛物线的准线.

结论4.PF_LAB.

结论5.APLPB.

结论6.直线的中点为M,则平行于抛物线的对称轴.

四、解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.已知椭圆C:[+W=l(a>6>0)的左右顶点距离为2而，离心率为1

ab2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点(0,1)且斜率不为。的直线/与椭圆C交于A,B两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.

22

【答案】⑴？+9=1

63

⑵(TO)

【分析】(D根据长轴长与椭圆的离心率求得。，仇c,进而得到椭圆标准方程；

(2)设/：>-1=履与椭圆方程联立后，得到韦达定理的形式，利用中点坐标公式表示出。点坐标，从而得

到r方程；令x=o可求得/'在y轴的截距，利用函数值域的求解方法可求得结果.

【详解】(1)由题意，2a=2娓,即“=几，

又e=£=Y^,所以c=

a2

故〃=/-2=6_3=3,

故所求椭圆的标准方程为旦+?=1.

63

(2)如图,

由题意知：直线/的斜率上存在且不为零,

设/:y-l=履，丘0,4(%,,%),Ww，%)，A3中点

y—l=kx

联立但+上,2,消去y并整理得：（1+2公）/+4区-4=0,

=1

I63

A>0恒成立,

x+x2k2/1

E4kXi2

则XY+X2=-2.2+］，•>,o=正币‘%=5+1=1-

21+2/-1+2女2

2k1

-1+242'1+24

则/'方程为：y-y=-1(x-x),即y-112k

00龙

2

K,l+2k~k

11

化简得：y=-—X-----------

k2k1+\

1

设直线/'在y轴上截距为m,令x=0得加=-

2二+1'

1

由0<vl可知一Iv根<0,

2r+1

所以直线/'在y轴上的截距的取值范围为

16.在_ABC中，角A8,C所对的边分别为〃也c.若2a+/?cosA-c=Z?tan5sinA.

⑴求6；

sinA+sinB

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

sinC

【答案】（1）8=5；

⑵,2+忖.

【分析】（1）利用边化角及三角恒等变换公式整理计算即可;

sinA+sinB_A/311

（2）通过角的转化，借助三角恒等变换公式，得到sinCC+i，利用

tan—

2

。的范围，即可求出结果.

【详解】（1）因为2a+灰x）sA-c="an5sinA,整理得

2a-c„...sinBsinA-cosAcosBcos(A+B)_cosC

=tan3smA-cosA=

b-------------------------------------cosBcosBcosB

所以2acosB—c.cosb=bcosC,

由正弦定理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,

171

因为0<A<兀,0<<兀，所以sinAwO,cosB=—,所以B=—.

23

（2）因为“ABC为锐角三角形，B=W，所以0<C<:且0<W-C<g,

所以Ce

ATI、_LsinC4—+sin—/—

解法sinA+sinB(3J3v3cosC+11

sinCsinC2sinC2

仄2cos2—4

-_-W----.-------------2-----,-1--

2c.eC2

2sin——cos——

22

_币11

+—

=2，

T\tan——c

2

因为］，所以枭tan*（2-后1）,

7311

所以万.口+^^

tan—

2

sinA+sinB

即的取值范围是

sinC

.「兀.兀

.-sinC4—+sin—/—

解法o.sinA+sinB_13)3_cosC+11

sinCsinC2sinC2

_G|(cosC+l)21_y/3I_21

~~T'Vl-cos2C+2~~2'Vl-cosC-+2)

即电竺粤电的取值范围是［与1.2+石.

sinCI2)

17.最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为P(O<P<D.现对该产品

进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次.记X为试

验结束时所进行的试验次数，X的数学期望为E(X).

⑴证明:E(X)<L

(2)某公司意向投资该产品，若。=0.2,每次试验的成本为以。>0)元，若试验成功则获利8a元，则该公司

应如何决策投资？请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)应该投资，理由见解析

【分析】(1)由题意，X=l,2,3,...,8,p(x=k)=pQ-p)i,k=l,2,,7,P(X=8)=(l-p)7,列出分布列,

列出E(X),乘公比错位相减法求和S=(l-p)°+2(l-py+3(l-p)2++7(1-p)6,分析可证明E(X)</；

(2)由(1)可得E(X)<，=5,分析即得解

P

【详解】(1)由题意，X=1,2,3,...,8

故P(X=幻=0(1-p)k-',左=1,2,•,7,P(X=8)=(1-p)7

分布列如下：

X12345678

ppp(l-p)p(i-p)2P(1-OPP(l-P)4P(l-P)5PUR(1-P)7

所以X的数学期望E(X)=p(l_p)°+2p(l-p)'+3p(l-p)2++7p(l-p)6+8(1-p)7,

记S=(1—p)°+2(1-py+3(1—p)2++7(1-pl,

(1一p)S=(1-+2(1-pF+3(1-犷++7(1-p)7,

作差可得，pS=(1—p)°+(1—p)'+(1—/?)2++(1-/7)6—7(1-/7)7=-——————7(l-p)7>

7

贝ijE(X)=ps+8(1-Py=+(i-P)=D<-；

ppp

(2)由(1)可知E(X)<，=5,则试验成本的期望小于5a元，

P

试验成功则获利8a元，且8a>5°,则该公司应该投资该产品

18.已知函数〃力=。*一£^2,。>。且。工1.

⑴设g(x)=/?+ex,讨论g(x)的单调性；

⑵若a>1且〃尤)存在三个零点网,尤2,三.

1)求实数。的取值范围；

、、、2e+l

2)设玉<冗2<%3，求证：X1+3%2+%3>«.

【答案】(1)答案见解析

2

(2)1)i<a<e第；2)证明见解析

【分析】⑴先求g(x)的导函数，再分类讨论即可.

(2)1)根据/'(力存在三个零点%,々，三，转化为两个函数有三个交点，再根据最值可求.

2)根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得.

【详解】(1)g⑶=凶+ex=+ex=更，g，⑺="Ina•=优=f'(纥x-1),

XXXXX

因为a*>0,—>o,g(x)定义域为(-8,0)U(0,+oo)

当a>1时,lna>0,解g'(x)>0,得天>^-，解g'(x)<0,得。<-，尤<。

当。<“<1时,lna<0,解g'(x)>0,得解g'(x)<0,得0>%>工,尤>0

InaIna

综上，当a>l时，g(x)增区间为1—,+8j,g(x)减区间为(-℃,O)[o,：],

当0<a<l吐8(%)增区间为，0,2)七(力减区间为(0,+(»),\\,0]

(2)1)因为/(》)=优-小,。>1且/(x)存在三个零点，玉.

所以a*-e%2=0有3个根

当xv0时，/(-1)=cTx-e<0/(0)=<7°>0,/'(%)="lna-2ex>0,

/(%)在(y,o)上是单调递增的，由零点存在定理,方程必有一个负根.

1+21nx

当x>0,xlna=l+21m:,即Ina=------有两个根，

x

令《X)=1+21tH，可转化为y=Ina与《X)=1+21tU有两个交点

XX

,/、2-(l+21nx)l-21nx

—?一=1