2023-2024学年高考数学平面向量及其应用专项练习题（附答案）

2023-2024学年高考数学平面向量及其应用小专题

一、单选题

1.已知空间向量。=（2,-1,2）,6=（1,-2,1）,则向量石在向量Z上的投影向量是（）

（424、、

A.—B.（2,-1,2）

（333J

「242、,、

C.D.（1,-2,1）

（333J

2.设非零向量无3忑，满足同=村=同，a+b=c>则向量33的夹角等于（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

3.在“3C中，满足园=5,网=12,同卜13,则就.就=（）

A.-25B.0C.25D.65

4.在右18。中，若衣+前2=0,则。8C的形状是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.在/^ABC中，a,b,c分别是//，/B,C的对边.若b2=ac>且/+y[3bc=c2+ac>则//

的大小是（）

兀兀-2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

6.6知向量〃=（1,2）,屋石=5，卜一耳=2君，则W等于（）

A.V5B.2A/5

C.5D.25

7.已知是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（）

A.Q=6，b=ex-\-e2B.a=3ex+3e2,b=ex+e2

•LUUL____LUUL_-一

C.a=e1-2e2,b=ex+e2D.。=,一2%，b=2ex-4e2

8.如图所示，已知点G是小BC的重心，过点G作直线分别与45,4C两边交于"，N两点

（点N与点。不重合），设两=%:强前=天工，则,+'的值为（）

%y

A

A.3B.4C.5D.6

二、多选题

4

9.在△/吕。中，角4,B,C,所对的边分别为Q,b,c,若Q=4,sinA=-,tanC=7,则

下列结论正确的是()

3兀

A.COST4=±-B.B=—

54

C.6=学D.中的面积为70

TT

10.已知AA8C三个内角4B,。的对应边分别为a,b,c,且/C=§,c=2.()

A.面积的最大值为百

B.衣.荔的最大值为2+至

3

C.它的取值范围为(-2,y)

cosA

D.bcosA+acosB=y/2

11.设向量Q=(2,0),S=(l,l),则()

A.同叫B.(a-b)Hb

C.(k-b)LbD.Z与B的夹角为:

12.在ABC中，角4瓦C所对的边分别为c,那么在下列给出的各组条件中，能确定三

角形有唯一解的是()

A.B=30°,h=y[2fc=2B.B=30°,6=2,c=4

C.8=30。，b=2,c=5D.4=75。，8=30。，b=2

三、填空题

13.设向量3二(—4,2),6=(-1,1),若3"万+防)，则

14.已知向量2=(2/),3=(—1,2),且J//B，则|万一可=.

15.已知向量Z与向量B满足：同=1，W=2,且％与B的夹角为g,则忸-3卜.

16.马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量48两座岛之间

的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45°的方向上，8在C的北偏东15°的方

向上，现在船往东航行2百海里到达E处，此时测得3在£的北偏西30。的方向上，船再返回

到C处后，由C向西航行百海里到达。处，测得A在。的北偏东22.5°的方向上，则48

两座岛之间的距离为百海里.

答案:

1.A

【分析】根据投影向量的求解公式计算即可.

【详解】因为3=(2,-12),3=(1,-21),所以遍=6，同=3,

故向量3在向量£上的投影向量是用"3(2，T，2)[U§J.

故选：A.

2.B

【分析】先将等式3+3=1两边平方，可得小否=-g|,,再用平面向量的夹角公式计算即可.

【详解】由等式5+3=-两边平方得：(1+刈2=员，

则同2+21/+印=//，且同=同=同，所以万％=_；r.

3伉而=上工=上匕=」，即120。.

'/\a\-\b\@2\/

故选：B.

3.C

【分析】先判断三角形是直角三角形，再结合向量线性运算与数量积运算知识进行计算即可.

【详解】如图所示，

因为在“BC中,满足园=5,画=12,西=13,

所以|而就『=|元『，gpZABC=90°,

所以就灰二回_网灰=济_0=|阿=25.

故选：c

4.C

【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可.

【详解】由题意可知+=-BC+BCBA+BC=gBC,BA=0,

所以氏4,即力5C的形状是直角三角形.

故选：C

5.A

【分析】由〃=四，^a2+^bc=c2+ac，得至〃=其0,利用余弦定理求解.

【详解】因为〃=。。，且/="+〃c，

所以〃+。2—。2=.。，

后l、lA匕2+c?_q2百

所以cosA=---------=——，

2bc2

因为/€（0,兀），所以A=y,

6

故选：A

6.C

【分析】求出口，对口-闸=2行两边平方可得答案.

【详解】|«|=V5,a-b=5>

因为卜一可=2石，所以卜-囚=|a|-25-5+^=20,

即5-10+冲=20,解得忖=5.

故选：C.

7.C

【分析】由零向量与任意向量共线判断A,根据。=3力判断B,设£=；1人建立方程，根据方

程解的情况判断C,根据判断D.

【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；

对于B：因为Z=31+3£，否=］+晟，所以联=3力，所以此两个向量不可以作为基底;

（］_丸

对于C：设£=4，即1-21=2（［+名），贝“_；=彳，所以无解，所以此两个向量不共线,

可以作为一组基底;

.LLLUL-___1一

对于D：设。=q-2e2，b=2ex-Ae2,所以所以此两个向量不可以作为基底;

故选：C.

8.A

【分析】利用平面向量基本定理计算即可.

【详解】设而存=4双讨,则就=而+前=而+4应亓=而+/1(AN-AA^

=(1-A)AM+AAN=x(l-A)AB+yAAC,

turiuuiriuuir

又因为G是〃BC的重心，^AG=-AB+-AC,

33

硝:>3二3…)+3』.

所以有

IA,

故选：A

9.BC

【分析】利用同角三角函数的基本关系和sinB=sin(/+C)判断cos/的符号，即可判断A选

项；由cosB=-cos(/+C),求B的值，即可判断B选项；由正弦定理一二=一二，求6的

smAsinB

值，即可判断C选项；利用1〃6sinC求面积，即可判断D选项.

2

4,3

【详解】解：由sin/=1，得cos4=±),

由tanC=7,得C为锐角且sinC=逑，cosC=《，

10io

3]7

若cosZ=一二,贝!Jsin5=sin(4+C)=sin/cosC+cos/sinC=---------<0，

5v750

_3

与sinB〉0矛盾，故cos/=w，故A错误；

cos/=g时，cos5=cos「兀一(/+C)­|=-cos(/+C)=-—x+—x-^3L,

5L'〃v75105102

因为86(0,兀)，所以8=；,故B正确；

由正弦定理」一=上，即asin3=6sin/,得4x"=±八即方=述，故C正确；

sinAsm^252

所以“BC的面积为，MsinC=Lx4x还*述=7,D错误.

22210

故选：BC.

10.AB

【分析】由余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算判断A；由正弦定理，向量数量积的

定义，三角恒等变换结合正弦函数的性质求解判断B；利用三角恒等变换结合正切函数的性质

计算判断C；利用余弦定理计算判断D.

7T

【详解】对于A,由=c=2,^4=a2+b2-ab>2ab-ab=ab,当且仅当。=b=2时

取等号，即打的最大值为4,

则面积S=」absinCW，x4x=百，即以SC面积的最大值为G,A正确；

222

对于B,由正弦定理得上=上=延，贝同=WLinB,B=^-A,

sinBsinC333

-75入.8-\/3.8A/3./2兀

AC-AB=becosA=—sinBcosA=—cos/sin(———A)

86“6A'A\A2/4.

=-----cosA(——cos/H——sinA)=4cosA-\--------sinAcosA

3223

/2^3.4栏1.枢4，.it

—2(1+cos24)H———sin24=-----(―sin24+—cos24)+2———sin(2A+)+2,

口Allf\A2兀4兀71_.715兀r/、I/C/兀兀

显然0</<<，有0<2/<<，-<2A+-<—,则当2/+二=二，

3333332

即/=白时，衣.冠取得最大值为生8+2,B正确；

123

/2兀八27c..2兀.._

4十cos(------A)cos——cosA+sinsmZ、，兀、

对于c,C°s8'3_33=_1'3tali/，由Ze(0,—),

cosAcosAcosA22

得tan/e(fo,-6)。(0,+oo),因此叫的取值范围为(-8,-2)U(-：,+s),C错误；

cosA2

Z)2_|_r2_222_72

对于D,由余弦定理得bcos+4ZCOSB=b---------------+a----------------=c=2,D错误.

2bc2ac

故选：AB

11.CD

【分析】求出同，W可判断A；求出］_办的坐标，利用向量共线的坐标运算可判断B；由向量

垂直的坐标运算可判断C；利用向量夹角公式计算可判断D.

【详解】对于A,W=2，W=&71=e，故A错误；

对于B,因为々一石=(2,0)-(1,1)=(1,一1),所以lxl-(-l)xl=2,故B错误；

对于C,因为H=(2,0)_(l,l)=(l，T，所以("叶B=lxl—lxl=0,所以仅一可”,故C

正确;

对于D，3(词=荷=£=¥，因为。咛小，

所以Z与3的夹角为?，故D正确.

4

故选：CD.

12.BD

【分析】用6与点/到边BC的距离及c的长比较大小可判断A,B,C；求三角形各边及角可

判断D.

【详解】选项A,点/到边2C的距离是1,♦.T〈后〈2，..•三角形有两解；

选项B,点/到边8C的距离是2与6相等，，三角形是直角三角形，有唯一解；

选项C,点/到边BC的距离是2.5>6,三角形无解；

选项D,卞艮据已知可解出C=兀一4—8=75°,a=c=y[6+V2,

・•・三角形有唯一解.

故选：BD.

13.-3

【分析】根据3，伍+历)，利用数量积的坐标运算求解.

【详解】解：因为向量3=(-4,2),6=(-1,1),

所以a+痛=(-1-左,2+勾，

又因为助，

所以B•(1+总)=4+左+2+左=0,

解得k=-3,

故-3

14.375

【分析】由向量平行的充要条件求出参数，进而由模长的坐标公式即可得解.

【详解】由题意3=(