专题03 分式与二次根式核心知识点精讲（原卷版）

专题03分式与二次根式核心知识点精讲1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．考点1：分式的有关概念及性质1． 分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3． 最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A=0时，分式的值为零．考点2：分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算QUOTE±QUOTE=QUOTE同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．考点3：分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．考点4：二次根式的主要性质1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5.商的算术平方根的性质：.6.若，则.考点5：二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.【题型1：分式的有关概念及性质】【典例1】（1）下列各式，，，，，，属于分式的有（

）A．4个 B．3个C．2个 D．1个（2）若分式的值不存在，则x的值为（

）A． B． C．2 D．11．代数式，，，，，，中，属于分式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．对于分式，下列说法错误的是（

）A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义C．时，分式的值为 D．当时，分式的值为正数3．若分式的值为负数，则x的取值范围是（

）A．x为任意数 B． C． D．4．若使分式的值为负数，则可以取的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【题型2：分式的运算】【典例2】计算的结果是（

）A．﹣y B． C． D．1．化简：（

）A．1 B． C． D．2．计算的结果是（

）A． B． C． D．3．下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．4．计算的结果是（

）A．1 B． C． D．【题型3：分式方程及其应用】【典例3】若关于的方程无解，则的值是（

）A． B．2 C．-3 D．31．伴随2023城市自然行动——“1864大熊猫巡展”在长沙站的正式启动，湖南省地质博物馆迅速成了巡展的热门打卡地．某学校九年级学生去距学校的湖南省地质博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为（

）A． B． C． D．2．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程25千米的普通道路，路线包含快速通道，全程21千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米/小时，根据题意，可列方程为（

）A． B．C． D．3．师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为（

）A． B． C． D．4．有一个容积为的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量到达容器高度的一半后，改用口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟，由题意列方程，正确的是（

）A． B． C． D．【题型4：二次根式的主要性质】【典例4】若是最简二次根式，则m，n的值为（

）A．0， B．，0 C．1， D．0，01．与最简二次根式能合并，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．32．若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（

）．A．0 B．2 C．4 D．63．若最简二次根式与能够合并，则a的值是（）A． B．0 C．1 D．24．如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（）A．4 B．5 C．6 D．8【题型5：二次根式的运算】【典例5】的值等于（

）A． B． C． D．21．已知，则代数式的值为（

）A．2 B． C．7 D．32．估计的值应在（

）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间3．计算：4．计算：．1．下列各式：，，，，，中，分式有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．若分式的值为正数，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．3．若把分式中的x与y都扩大3倍，则所得分式的值（）A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不变4．计算的结果是（）A． B． C． D．5．计算：，结果为（）A．1 B． C． D．6．计算的结果为（

）A． B．1 C． D．7．已知：，则的值为（

）A． B． C． D．1．已知，其中，则与的关系是（

）A． B． C． D．2．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（

）A． B． C． D．3．把，，通分的过程中，不正确的是（

）A．最简公分母是 B．C． D．4．下列式子计算后的结果与相等的是（

）A． B． C． D．5．若分式的值为整数，则正整数x的个数为（）A．4 B．6 C．7 D．86．计算的正确结果是（

）A． B． C． D．二、填空题7．若分式有意义，则实数x的取值范围是______．8．分式与通分后的结果是_________．9．分式，，－的最简公分母是_______．10．计算：_______.11．计算：_______．12．计算：_______．13．已知，则的值为_________．14．计算＝_________．15．计算：________．16．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数，若设第二次分钱的人数为，则可列方程为__________．17．小明家离学校3000米，一天早上，小明前半程按平常速度走路，后半程因怕迟到，加快了脚步，比平常速度快了50（米/分钟），结果比平时省了2分钟时间到学校，设小明平常走路速度为x（米/分钟），根据题意可列出方程：_____________．三、解答题18．某超市用5000元购进一批新品种苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金第二次购进该品种苹果，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进苹果数量是试销时的2倍．(1)设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元，则试销时购进苹果数量为______千克（用含x的式子表示）(2)列分式方程求试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？19．某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了元，购买围棋用了元，已知每副围棋比每副象棋贵元．(1)求每副象棋和围棋的价格各多少元？(2)若该校决定再次购买同种象棋和围棋共副，但费用不能超过元，则最多可再次购买多少副围棋？一、单选题1．（2023·江西·统考中考真题）若有意义，则的值可以是（

）A． B． C． D．2．（2023·山东临沂·统考中考真题）设，则实数m所在的范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南·统考中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（

）A． B． C． D．4．（2023·重庆·统考中考真题）估计的值应在（

）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间5．（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（

）A． B． C． D．6．（2023·四川凉山·统考中考真题）分式的值为0，则的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或17．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（

）A． B． C． D．8．（2023·湖北十堰·统考中考真题）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已