第12章 二次根式（学生版）

2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练第12章二次根式（思维导图+知识梳理+十大重点考向举一反三讲练）1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.知识点01：二次根式的相关概念和性质【高频考点精讲】1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.【易错点剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.【易错点剖析】（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【易错点剖析】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点02：二次根式的运算【高频考点精讲】1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：【易错点剖析】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.【易错点剖析】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.知识点03：二次根式的相关概念和性质【高频考点精讲】1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.【易错点剖析】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.【易错点剖析】（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.【易错点剖析】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【易错点剖析】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点04：二次根式的运算【高频考点精讲】1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：【易错点剖析】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.【易错点剖析】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.重点考向01：二次根式有意义的条件重点考向02：二次根式的性质与化简重点考向03：最简二次根式重点考向04：二次根式的乘除法重点考向05：分母有理化重点考向06：同类二次根式重点考向07：二次根式的加减法重点考向08：二次根式的混合运算重点考向09：二次根式的化简求值重点考向10：二次根式的应用重点考向01：二次根式有意义的条件【典例精讲】（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥4 C．1≤x≤4 D．x＞4【变式训练1-1】（2023春•招远市期中）若式子有意义，则x的取值可以是（）A．0 B．2 C．3 D．5【变式训练1-2】（2023•包河区三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是．【变式训练1-3】（2023•香坊区校级开学）已知，则＝．【变式训练1-4】（2023•平潭县校级开学）已知．求x的值．（2）求的值．重点考向02：二次根式的性质与化简【典例精讲】（2023秋•萧县期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（）A． B． C． D．【变式训练2-1】（2023春•兰陵县期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+的结果是（）A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c【变式训练2-2】（2023秋•怀化期末）先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有．例如：化简．解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，所以．请根据材料解答下列问题：（1）填空：＝；（2）化简：（请写出计算过程）；（3）化简：．【变式训练2-3】（2023秋•天元区期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．【变式训练2-4】（2023春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如3+2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝，b＝；（2）若a+4，且a、m、n均为正整数，求a的值．（3）化简．重点考向03：最简二次根式【典例精讲】（2023秋•蒸湘区校级期中）下列根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【变式训练3-1】（2022春•舒兰市期末）下列各式属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【变式训练3-2】（2020春•怀宁县期末）把化为最简二次根式，结果是．【变式训练3-3】（2021秋•侯马市校级期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为．【变式训练3-4】（2023春•莱阳市期中）已知A＝5，B＝3，C＝，其中A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求的值．重点考向04：二次根式的乘除法【典例精讲】（2023春•西和县期末）下列计算错误的是（）A． B．2 C． D．【变式训练4-1】（2023秋•昌黎县期末）小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝．【变式训练4-2】（2023春•红安县期末）化简：的结果为：．【变式训练4-3】（2023春•宾阳县期中）观察下列各式及其验证过程：，验证：．，验证：．（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且a为整数）表示的等式．重点考向05：分母有理化【典例精讲】（2023春•莘县期末）下列运算中正确的是（）A． B． C． D．【变式训练5-1】（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝【变式训练5-2】（2023秋•化州市期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝＝﹣1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．参照上面的方法化简：＝．【变式训练5-3】（2023春•巨野县期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．（1）化简；（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．重点考向06：同类二次根式【典例精讲】（2024•岳阳楼区开学）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【变式训练6-1】（2023春•蜀山区期中）使最简二次根式与是同类二次根式的x值是【变式训练6-2】（2023春•灌云县期末）已知是最简二次根式，且与可以合并．（1）求x的值；（2）求与的乘积．【变式训练6-3】（2023秋•高州市期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3＝0的解．重点考向07：二次根式的加减法【典例精讲】（2023春•民权县期末）下列计算正确的是（）A． B． C． D．（）2﹣＝【变式训练7-1】（2023春•铜梁区校级期末）若a和b都是正整数且a＜b，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（）①只存在一组a和b使得；②只存在两组a和b使得；③不存在a和b使得；④若只存在三组a和b使得（c为定值），则c可以被49或64整除．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练7-2】（2023秋•海曙区期末）（1）解不等式：；（2）计算：．【变式训练7-3】（2023春•绥江县期中）已知：，，，…，，n为正整数，且n≥1．（1）求出a2和a3的值，猜想an的结果，并用含n的式子表示出an；（2）设an与bn满足的数量关系为，例如，请利用所学知识试求出b1+b2+b3+…+bn的结果．（解答建议：（2）小题可构造平方差公式先对bn进行化简，再求和．）【变式训练7-4】（2023春•前郭县期中）计算：（b＞0）重点考向08：二次根式的混合运算【典例精讲】（2023秋•宽甸县期末）（1）计算：（+2）（﹣2）+|1﹣|×．（2）解方程组：．【变式训练8-1】（2023秋•麻阳县期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出＝；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的解法，请化简：．【变式训练8-2】（2023秋•岳阳楼区期末）阅读下面解题过程．例：化简．解：．请回答下列问题．（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝﹣；②＝+．（2）应用：化简．（3）拓展：＝．（用含n的式子表示，n为正整数）【变式训练8-3】2023春•章贡区期中）【阅读理解]】阅读下列材料，然后解答下列问题．像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：（1）化简：①＝；②＝；（2）计算：；（3）已知：，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．重点考向09：二次根式的化简求值【典例精讲】（2022秋•新化县期末）已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（）A． B．﹣10 C．﹣2 D．【变式训练9-1】（2023春•康巴什期末）已知m＝2+，n＝2﹣，则的值为．【变式训练9-2】（2023秋•华容县期末）已知，，．求值：（1）m2+n2；（2）．【变式训练9-3】（2023秋•鹤壁期末）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：（1）计算：；（2）计算：+++⋯+＝；（3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值．重点考向10：二次根式的应用【典例精讲】（2023春•嘉鱼县期中）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式称为海伦﹣秦九韶公式，在△ABC中，AB＝4，BC＝9，AC＝11，则△ABC的面积是（）A．12 B． C．24 D．【变式训练10-1】（2023秋•攸县期末）新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：设一个三角形的三边长分别为a，b