2022-2023学年云南三地二模数学试题及答案

新教材老高考云南三地二模

秘密★启用前【考试时间：2月9日15：00—17：00]

大理、丽江2023届高中毕业生第二次复习统一检测

数学

（全卷四个大题，共22个小题，共7页：满分150分，考试用时120分钟）

考生注意：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答

题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定

的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.设集合4={x|X2—5X—640},8={RxN4},则（）

A.[2,4）B.（田,-1）

C.[-1,4）D.（v,6]

2.已知j为虚数单位，复数z=-；+*/•的共挽复数为W，则W+|z|=（）

A1上百,R1G.

2222

「1^-16

C.—卜---/nD・-------------1

2222

3.平面向量3与否的夹角为60。,3=（2,0）,问=1，则忖+2%（）

A.6B.2GC.4D.12

数学试卷•笫1页（共7页）

4.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大

鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵

墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进

的长度是前一天的2倍：小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一

半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢（）

A.3B.4C.5D.6

5.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖晒父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的

有关工作，提出“塞势既同，则积不容异”“基”是截面积，“势”是几何体的高，详细

点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截,

如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖晅

原理.一个上底面边长为1,下底面边长为2,高为20的正六棱台与一个不规则几何

体满足“得势既同”，则该不规则几何体的体积为（）

A.21

D.16

6.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称

轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛

物线），2=4x的焦点为尸，一条平行于x轴的光线从点〃（3,1）射出，经过抛物线上的

点/反射后，再经抛物线上的另一点8射出，则A46M的周长为（）

A.—+V26B.9+后C.—+>/26D.9+726

1212

7.已知实数a、b、c满足ln（lnb）=a=lnc,贝U。、b、c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>d

8.已知函数/（x）=sin（0x+8）[o>O，M4]}x=是函数/（x）的一个零点，是

函数/（x）的一条对称轴，若/（x）在区间（去上单调，则。的最大值是（）

A.14B.16C.18D.20

数学试卷•第2页（共7页）

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中,

有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)

9.在的展开式中，下列说法正确的是()

A.不存在常数项B.二项式系数和为1

C.第4项和第5项二项式系数最大D.所有项的系数和为128

10.如图，在正方体48CD-4LGA中,E、尸、G分别为8C、CG、8片的中点，则

()

A.4C_L叫

B.48与所成角为60。

C.D^DIAF

D.4G〃平面4EF

H.在平面直角坐标系X。，中，动点。与两个定点4(",0)和4(百,0)连线的斜率之积等于

记点P的轨迹为曲线£,则()

2

A.£的方程为方-)3=l(xX±G)

B.£的离心率为6

C.£的渐近线与圆(.1-2『+/=1相切

D.过点”(1,2)作曲线£的切线仅有2条

12.已知定义在火上的函数/(x),对于任意的x,ye火恒有/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y)，

且/(O)KO,若存在正数/,使得/(/)=0,则下列结论正确的是()

A./(0)=1B./“，=2

C./(x)为偶函数D./(X)为周期函数

数学试卷•笫3页(共7页)

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己的生活状态的满意程度的指标，常用区

间［0,10］内的一个数来表示，该数越接近10,表示满意度越高.现随机抽取10位某校

高三年级学生，他们的幸福感指数为4,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的

第80百分位数是.

14.已知直线/:x-y+l=0,圆C:x2+j?=］,则圆C关于直线/对称的圆的方程为.

15.若曲线j，=（x-Ge'g>0）有两条过坐标原点的切线，则实数。的取值范围为.

22

16.把半椭圆：，+A=l（a>6>0,x20）和圆弧：+必=。2。<0）合成的曲线称为

“曲圆”，其中点尸（1,0）是半椭圆的右焦点，4,4分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，

练冬分别是''曲圆”与y轴的上、下交点，已知』用尸82=120。，过点尸的直线与“曲

圆”交于尸,0两点，则半椭圆方程为（x>0）,的周长的取值范围

是.（第一空2分，第二空3分）

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分

已知等差数列｛4｝和等比数列也｝满足q=4,4=2,a2=2b2-l,a3=b3+2.

（1）求｛%｝和也｝的通项公式；

（2）数列｛%｝和｛%｝中的所有项分别构成集合4,B,将ZU8的所有元素按从小到大依

次排列构成一个新数列｛g｝,求数列｛%｝的前60项和S60.

数学试卷•第4页（共7页）

18.(本小题满分12分)

在如图所示的几何体中，四边形/8C。是正方形，四边形彳。尸。是梯形，PDHQA,

NPD4=90。，平面力。尸°JL平面48c。，AD=PD=2QA=2.

(1)证明：平面Q/8//平面。CP；

(2)求平面。8P与平面8PC夹角的大小.

19.(本小题满分12分)

在①2a-6=2ccos8②s=^-(a2+b2-c2)③7Jsin(/+8)=1+2sii?「三个条件

中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题.在A//BC中，角/,B,C所对的边分别

是。，b,c,设A48C的面积为S,已知.

(1)求角C；

(2)若。=4,点。在边彳5上，CO为NZC5的平分线，△C£>8的面积为2叵，求边长q.

3

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

数学试卷•第5页(共7页)

20.（本小题满分12分）

党的二十大胜利召开后，某校为调查性别因素对党史知识的了解情况是否有影响，随机

抽查了男女教职工各100名，得到如下数据：

不了解了解

女职工3070

男职工2080

（1）根据小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为对党史知识的了解情况与性别有关？

（2）为了增进全体教职工对党史知识的了解，该校组织开展党史知识竞赛活动并以支部为

单位参加比赛,现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填

空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中

随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第

二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.若第一支部从甲箱中抽

取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第二支部答题，第二支部抽

取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题,

求第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.

2________n(ad-bc)2______

(q+6)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0100.0050.001

%6.6357.87910.828

数学试卷•笫6页（共7页）

21.(本小题满分12分)

已知椭圆C:[+与=1(>6>0)的左右焦点分别为片，居，左顶点为力，点0(1,3是

a"b〜2

椭圆C上一点，离心率为

2

(1)求椭圆C的方程：

(2)若直线/过椭圆右焦点月且与椭圆交于产,0两点，直线/尸、力。与直线x=4分别交于

点M,N.

(/)求证：M,N两点的纵坐标之积为定值；

(/,)求&面积的最小值.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=sinx-在点(0,/(0))处的切线/与直线〃:x-y=0垂直.

(1)求切线/的方程；

(2)判断/(x)在(0,乃)上零点的个数，并说明理由.

数学试卷•第7页(共7页)

大理、丽江2023届高中毕业生第二次复习统一检测

数学参考答案及评分标准

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号12345678

答案CDBBADCA

【解析】

1.【解析】因为集合4=3乂2-5》一640}=[-1,6]且。8=（7,4）,所以40©8）=为1,4）.

故选C.

2.【解析】复数z=—1+巫7的共枕复数）=-■!"一

2222

复数z=—g+卜i的模忖则W+|z|=—g—曰i+l=g—乎八

故选D.

3.【解析】因为平面向量3与B的夹角为60。1=（2,0）帆=1，

所以忖=2,a-fe=p||ft|cos60°=2xlx^-=1,

所以卜+2否卜J（a+2力2=ya+4a・5+4.=-J22+4xl+4xl2=2-73•故选B.

4.【解析】大鼠从第一天起打进尺数依次为：1,2,4,8,

小鼠从第一天起打进尺数依次为：1,g,《，…，

248

35135

前3天两鼠完成量的总和为二<16,前4天两鼠完成量的总和为上一>16，

48

所以第4天两鼠相逢.故选：B.

5.【解析】由祖胞原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，

•••正六棱台的上下底面边长分别为1和2,则5=6x,xlxlx且=38,

1222

数学参考答案及评分标准•笫I页（共12页）

6.【解析】轴，.•.月由题意可知”经过抛物线炉=4、•的焦点厂(1,0),

4卜it

•••直线48的方程为)，=-白云-1).联立方程组14,、，解得8(4,-4),

30=_广_1)

22

：.\AM\=3-^=^,p5|=l+4+2=y,\MB\=y/\+5=x/26.

的周长为9+后.故选：D.

II_y

7.【解析】设/(x)=lnx-x,则八x)=——1=―-,

XX

当0<x<l时，f(x)>0,则函数<(x)在(0,1)上单调递增,

当x>l时,f'(x)<0,则函数/(x)在(1,+oo)上单调递减,

所以/(x)1rax=/。)=-1<0，所以lnx<x,所以a=lnc<c,

又ln(lnb)=Inc,所以lnb=c<b,所以b>c>a故选：C.

8.【解析】设函数/(x)的最小正周期为T,

因为X=是函数/(X)的一个零点，》=方是函数/(X)的一条对称轴,

n

则其中〃wN,所以，T==—,.,.0=4〃+2,

42n+lco

上单调，则丁―=4彳=—，所以，。420.

452。

所以，。的可能取值有：2、6、10、14、18.

(i)当0=18时，/(x)=sin(18x+1),/[-1)=sin(-,+夕)=0,

所以，(P——=eZ),则夕=ATT+eZ),

=所以，/(x)=sin(18x+：)，

当]<x<2时，票<18x+：〈等，所以，函数/(x)在6,：)上不单调，不合乎

题意：

数学参考答案及评分标准•第2页(共12页)

(ii)当o=14时，〃x)=sin(14x+e),/卜^•卜sin(^+可=0,

所以，(p-^-=kit[kGZ),则#=桁+与(kwZ),

:.<p=~,所以，/(x)=sin(14x-；],

224V4J

当!<x<：时，签<14x-1〈孚，所以，函数/(x)在上单调递减，合乎

542044V54J

题意.因此，。的最大值为14.故选：A.

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是

符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

题号9101112

答案ACABDACDBCD

【解析】

9.【解析】因为展开式的通项公式为&产喏)(-x)'=27T.(-l)'.C；-xa,

由2/-7=0,得，(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确：

二项式系数和为2,=128,故B错误；

展开式共有8项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确：

令x=l,得所有项的系数和为(2-iy=l,故D错误.故选：AC.

10•【解析】以点。为坐标原点，DA、DC、QR所在直线分别为X、歹、z轴建立如下

图所示的空间直角坐标系，设正方体438—的棱长为2,则4(2,0,0)、

8(2,2,0)、C(0,2,0),£>(0,0,0),£(1,2,0),F(0,2,1),G(2,2,l)、4(2,0,2)、

4(2,2,2)、G(0,2,2)、D,(0,0,2).

数学参考答案及评分标准•第3页(共12页)

对于A选项，函=（0,2,2）,示=（一2,2,-2）,福•丞=4-4=0,故A选项

正确：

对于B选项，布=（0,2,-2）,函=（-2,0,2）,

~A7ZAB•AD、-41

35'">=国画=汨亚二一5，

所以，向量福与向加函的夹角是120°，48与所成角为60°，故B选项正确.

对于C选项，西=（0,0,2）,=（-2,2,1）,则函•万=2*0,故C选项错误:

对于D选项，设平面AEF的法向量为£=（x,j，,z），在=（一1,2,0）,丽=（一1,0,1）,

X

防丝=-x+2y；。，可得.

由5,取x=2,可得何=（2,1,2）,羽=（0,2,-1）,

m-EF=-x+z=0

z=x

in•4G=2—2=0,/7;.L4G,,*tA}G<Z平面AEF♦•**A]GII平面AEF,故D

选项正确；

故选：ABD.

数学参考答案及评分标准•笫4页（共12页）

11•【解析】设点P（xj）,由已知得泰后万=；，整理得:-必=1，

所以点尸的轨迹为曲线E的方程为］■-必=l（xx土G）,故A正确：

2273

又高心率6=百=亍故B不正确:

圆（x-2）2+r=1的圆心（2,0）到曲线E的渐近线y=土与x的距离为

1/+(±6)2

又圆（x-2>+_/=i的半径为1,故C正确;

12.【解析】对于A,对于任意的x,ycA恒有/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),

令歹=x=0可得：/(0)+/(0)=/2(0),又由/(0)00,则/(0)=2,A不正确;

对于B,对于任意的工，ywR恒有/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),

令X=y=(,则有用+,+/(0)=/2(,即/(/)+〃0)=/2(9,则有

B正确；

对于C,对于任意的工，VEA恒有/(x+y)+/(x-y)=/(工)/(歹)，

数学参考答案及评分标准•笫5页（共12页）

令X=0,则有f(y)+f(-y)=/(O)/Cy)=2f(y),变形可得/3)=，则/(x)为

偶函数，C正确；

对于D,对于任意的x,yeRlaW/(x+y)+/(x-y)=f(x)f(y),

令x=〃7+/,'=/可得：f(m+2t)+/(w)=f(m+/)/(/)=0,

变形可得+=

则有f(m+4/)=-f(m+2t)=f(m),即/(x)是周期为4/的周期函数,D正确,

故选：BCD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

题号13141516

(i)r+£=i

17(X+l)2+(y-心1

答案—(或8.5)(4,+co)43

2

(2)(6,8]

13.【解析】由题意，80%xl0=8,则这组数据的第80百分位数是:(8+9)=8.5,故答案

为：8.5

14.【解析】设圆心C(0,0)关于直线/的对称点为C(d»，

a+0RO.八

-----------+1=0

所以有1J2,解得。=_1,b=\,所以对称圆的圆心为。(-1,1),

a

又圆c的半径为1,所以圆c关于直线I对称的圆的方程为(X+1)2+3-1)2=I.

故答案为：(X+1)2+3-1)2=1.

15.【解析】设切点坐标为：(x。,%)，y=(x+l-a)ex,

所以切线斜率为4=60+1-。)0”,

所以切线方程为》-(x°-a)e"=(x0+1-a)e"(x-x0),

又切线过坐标原点，所以=(Xo+l-a)e&(O-x0),

整理得其一.+。=0,

又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，

所以△ua'-da>。，解得ae(-OO,0)D(4,+OO),又因为a〉0,所以aw(4,+<®).

故答案为：(4,+8).

数学参考答案及评分标准•笫6页(共12页)

16.【解析】圆弧的半径为。，OF=c=\,/与用2=120。，所以可得圆弧的半径为

B[F=2OF=2,即。=2,所以6=>]a2-c2=G,

22

所以曲圆的方程为：?+?=l（x20）,（X-1）2+/=4（X<0）,则半椭圆方程为

0+4=l（xNO）,4（-L0）,所以4其实是椭圆的另一个焦点，设/尸必=。，MFQ

43

的周长为A,

①当时，。在圆上，P在椭圆上，

nn

£=1^01+1^01+1^1+14^1=2a+r+2;-sin|=6+4sin|e(6,8)；

②当％py时，P、。都在椭圆上，〃=|4。|+|叫|+|阳+|四=2。+2〃=8：

③当。e(年,时，尸在圆上，Q在椭圆上，

n_0n

L=\A,Q\+\FQ\+|FP|+\A,P\=2a+r+2,-sin=6+4cos|e(6,8)：

6+4sin-,回。句

2

所以AJ|P。的周长L=8,-[PT]

6+4cos—,

2

所以A4/Q的周长范围为：（6,8].故答案为4勺=1,(6,8].

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.【解析】

（1）设等差数列｛q｝的公差为d，等比数列｛〃,｝的公比为夕，

\4+d=2-2q-\\d=4q-5

^[4+2d=2-q2+2=>[d=q2-\'.............................，分

:•q=2,d=3,

=3〃+1,bn=2"................................5分

127

（2）当｛%｝的前60项中含有也｝的前6项时，令3〃+1<2，=128=〃<寸,

此时至多有41+7=48项（不符）.

当｛%｝的前60项中含有｛"｝的前7项时，令3〃+1<2'=256n〃<85.

数学参考答案及评分标准•第7页（共12页）

且22，24.26是｛/｝和｛"｝的公共项..................7分

则｛%｝的前60项中含有｛〃｝的前7项且含有｛为｝的前56项，再减去公共的三项.

.•.S6c=(56x4+^^x3]+2+23+2$+27=4844+170=5014....10分

<2)

18•【解析】

(1)证明：四边形/8CD是正方形，可得/8〃C。，又月Ba平面。CP,COu平面。CP,

则有48〃平面。CP................................3分

四边形/Z)PQ是梯形，且Q4//PD,

又。4a平面。CP,PDu平面DCP,则有0//平面。CP,

又。AcAB=A,QA,48u平面Q48,故平面Q/8//平面BDC.....6分

(2)依题意知。/,DC,£(P两两垂直，故以。为原点，DA,DC,。尸所在的直线

分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则C(0,2,0),尸(0,0,2),8(2,2,0),0(2,0,1),

可得：方=(2,2,-2),PC=(0,2,-2),而=(2,0,-1),设平面P8C的一个法向

量力=(x,y,z),

_.fn-PB=2x+2y-2z=0/、八

则1—,取y=l,可得万=(0,1,1)...................8分

n-PC=2y-2z=0

设平面尸5。的一个法向量历=(X”M，ZJ,

.w-P5=2x4-2y.-2z.=0_/、八

则n_'Z，'，取$=1,可得而=(1,1,2),............10分

周尸0=2司一马=0

因为出(而用m卜n]阖=熹=等,

所以平面QBP与平面BPC夹角的大小为30°.12分

数学参考答案及评分标准•第8页(共12页)

19•【解析】

(1)选①2a-b=2ccosB,由余弦定理得2a-b=2c・^~^———=a+c——^-....3分

laca

整理得。2+从一。2=。6,所以cosC=《+b：]《二》,又Ce(O,%),故c=f.…6分

2ab23

选②5=*(/+/-c2),因为S=；absinC,a2+b2-c1=2abcosC.............3分

故L/sinC=3^2a6cosC，可得tanC=>/J，又Ce(O,;r),故C=g.............6分

243

选③73sin(/i+5)=l+2sin2y,可得加IsinC=2-cosCn\/3sinC+cosC=2,

....................................................3分

所以sin(c+?)=l,又Ce(O,”)，所以C+rr1......................6分

(2)在A48C中，因为CD是N/C8的平分线,且6=4,设CZ)=x,所以

11.乃1.兀

SMCB=SMCD+S^BCD=-^silly=y/>xsin—+—ajcsin—

626

EP4\/3a=4x+ax................................8：分

=x=迤，

a+4

半=S&CDB=gaxsi*=y[3ax=8..........

..................................................10分

联立以上两式得：3/-2。-8=0,又。〉0,解得。=2..............................12分

C

;

1

AD

数学参考答案及评分标准•第9页（共12页）

20.【解析】

（1）零假设为〃。：对党史知识的了解情况与性别无关.

根据列联表中的数据，经计算得到

200x(30x80-20x70)2

2x2.667<7.879=x.....................3分

z50x150x100x1000005

根据小概率值a=0.005的独立性检验，没有充分的理由说明〃。不成立，则不能认

为对党史知识的了解情况与性别有关..............5分

（2）设事件/为“第二支部从乙箱中抽出的第I个题是选择题”,

事件与为“第一支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件当为“第一支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”,

事件名为“第一支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，

则四、仄、与彼此互斥，且AU&U员

1

尸（鸟）=r等'C=i£s，c3

8分

28，

8'8

654

P(川片)=§,P(/也)=§,

P(A\B2)=~,

P(A)=P(B,)XP(A\B1)+P(B2)XP(A\B2)+P(B3)XP(A\B))

56155347

=-X—H--X—+——X-=一............10分

所求概率即是A发生的条件下用发生的概率:

56

P（8/）P（幻尸（川巴）Ri,。

P(4M)=12分

p(/)749

12

21.【解析】

a2

19

（1）由题意知，*3分

a2-b2=c2

解得/=40=3,

椭圆C的方程为%小1................................5分

数学参考答案及评分标准•笫10页（共12页）

⑵⑴显然