(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义第八讲 空间直线与平面、平面与平面的垂直 原卷版+解析

专题08空间直线与平面、平面与平面的垂直

一、考情分析

性质定理

L判定定理

L性质定理

L判定定理

二、考点梳理

考点一直线与平面垂直

(D直线和平面垂直的定义

如果一条直线,与平面。内的任意直线都垂直，就说直线,与平面«互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

IA.a、

一条直线与一个平面内的

ILb

判定定理两条相交直线都垂直，则该直anb=O>

aua

线与此平面垂直

ka>

=/J_Q

两直线垂直于同一个平

-al.a

性质定理

面，那么这两条直线平行7a,

考点二平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判定一个平面经过另一个平面的一条7±

=〃_L£

定理垂线，则这两个平面互相垂直01bluB

aVP、

如果两个平面互相垂直，则aAB=a

性质>

在一个平面内垂直于它们交线的1.La

定理lu£>

直线垂直于另一个平面£,U

=/_L。

考点三知识拓展

1.两个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方

法).

2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,

就垂直于这个平面”.

三、题型突破

重难点题型突破01线面垂直

例1.（1）、（2021•陕西,西安高级中学高一阶段练习）若以。表示直线，a表示平面，下面推论中正确的个

数为（）

①//a,则：J；

（2）a±a,aA.b,则匕〃a；

（3）a//a,alb,则6_La.

A.1B.2C.3D.0

（2）、（2022•全国•高三专题练习）如图，在正方形SG/G2G3中，E,F分别是G/Gz,G2G3的中点，D是EF

的中点，现在沿SE,SE及E尸把这个正方形折成一个四面体，使G/,Gz,G3三点重合，重合后的点记为G,

则在四面体S-EFG中必有（）

A.SGEI平面EFGB.S。色平面EFG

C.GE3平面SEFD.GZ®平面SEF

（3）、（2022•广东茂名•高三阶段练习）（多选题）已知正方体ABC。-ABGA中，点。是底面ABC。的中

心，点M是侧面BBCC内的一个动点，且QM//平面GA。，则以下关系一定正确的是（）

A.OMHDC,B.^M-C^D=%.GWC.OM1B.CD.OM工BD]

【变式训练IT】、（2022•浙江丽水•高二期末）空间中两条不同的直线机，〃和平面则下列命题中正确

的是（）

A.若nLa,则

B.若m〃a,nila,则〃?//〃

C.若，〃_L〃，nA.a,则加_La

D.若〃?_L”，nila,则”?J_tz

【变式训练『2】、（2022•浙江•模拟预测）己知圆锥SO,48是圆。的直径，尸是圆O上一点（不与Z,B

重合），。在平面S/B上，则（）

A.直线8Q可能与平面SAP垂直B.直线B。可能与平面S8P垂直

C.直线8。可能与平面S4P平行D.直线8Q可能与平面S8P平行

【变式训练13】、（2022•全国•模拟预测）（多选题）如图，在正四棱柱ABCO-AMCQ中，AC与30交于

点0,P是BG上的动点，下列说法中一定正确的是（）

A.AC±BD,

B.平面ABCQ

C.点P在BG上运动时，三棱锥尸-的体积为定值

D.点P在BC|上运动时，P0始终与平面平行

例2.(2022•四川成都•高三阶段练习(文))如图，在四棱锥A-BQDE中，8C，平面N8E,且E>E〃BC,

A

⑴求证：AE_L平面/8C；

(2)若点尸满足AD=/IAP，且平面CEF,求九

【变式训练2-1】、(2022•广西广西•模拟预测(文))在平行四边形ABC。中，AB=3,BC=2,过点4作

C。的垂线交8的延长线于点£,AE=B连接E8交/。于点F,如图①，将"E沿月。折起，使得

点E到达点尸的位置，如图②.

图①图②

(1)求证：451.平面麻尸;

(2)若G为P8的中点，H为C。的中点，且平面AQP_L平面/88,求三棱锥G-8C”的体积.

【变式训练2-2】、(2022•山西晋中•一模(文))如图所示，在四棱锥尸-48CQ中，为回平面/8CQ,底面N8CQ

是矩形，PA=AB=0,AD=2,过点8作8血C,交4D于点E,点F,G分别为线段尸O,OC的中点.

(1)证明：4C0平面8£/；

(2)求三棱锥尸-8GE的体积.

重难点题型突破02面面垂直

例3.（1）、（2022•陕西•宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两条直线/,，〃及两个平面夕以

下说法中正确的是（）

A.若〃/£,mlIp,则"/加

B.若/〃7,lUm,则机///

C.若U0,///,„,则£

D.若/，夕，1咋y,///m,则4//7

（2）、（2021•山东•高二学业考试）如图，在四面体。一48C中，若AB=CB,AD=CD,E是NC的中点,

则下列结论正确的是（）

D

A

A.平面平面

B.平面4平面BDC

C.平面/8CEI平面且平面/DCS平面BDE

D.平面45as平面NOC,且平面4DC0平面8DE

（3）、（2021■山东省潍坊第四中学高三开学考试）（多选题）在四边形488中，AD//BC,AD=AB,

ABCD=45°,ZBAD=9O°,将△AB。沿8。折起，使平面AB。J_平面8c0,构成三棱锥A-8CD,则在

三棱锥A-3CD中，下列命题错误的是（）

A.平面/WE>_L平面N8CB.平面ADCJ•平面BCD

C.平面ABC_L平面SCOD.平面4）C_L平面力8c

（4）、（2021•四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））如图，已知矩形42CZ）,AB=0AD=\,AF1

平面Z8CZ）,且AF=3,点E为线段。C（除端点外）上的一点，沿直线NE将向上翻折成，O'AE,M

为8。的中点，则下列结论正确的有.（写出所有正确结论的序号）

①三棱锥A-BC尸的体积为半；

②当点£固定在线段。C某位置时，则小在某圆上运动；

③当点E在线段OC上运动时，则W在某球面上运动；

④当点E在线段OC上运动时，三棱锥M-BCF的体积的最小值为3.

【变式训练3-1】、（2022・江苏镇江•高二开学考试）（多选题）己知m,"为两条不重合的直线，«,夕为两

个不重合的平面，则（）

A.若m〃n,m<^a,则加〃aB.若mua,a/3=n,m//p,则6〃％

C.若〃z_La,〃_La,则D.若机_La,mup,则a_L£

【变式训练3-2】、（2022•四川达州•高二期末（文））（多选题）在四棱锥P-43C。中，四边形ABC。为菱形,

P4_L平面ABC。，E是尸。中点，下列叙述正确的是（）

A.CE〃平面PABB.CE_L平面PAD

C.平面P8CJ_平面幺8D.平面PB£>_L平面PAC

【变式训练3-3】、（2022•全国•高三专题练习）（多选题）如图，点N为边长为1的正方形ABC。的中心，.ECQ

为正三角形，平面ECDL平面ABC。，M是线段即的中点，则（）

A.直线BM、EN是异面直线

B.BM#EN

C.直线与平面ECD所成角的正弦值为画

7

D.三棱锥N-ECD的体积为立

24

【变式训练3-4】、（2021•河南省杞县高中高三阶段练习（理））己知加，”是两条直线，a、B、7是三个

不同的平面，给出下列命题：

①若a_Ly,£_L/,则a〃/：

②若"_La,nA.。,则a〃/；

③若nua,mua,且〃?〃£,n//p,则a〃尸；

④若机，〃为异面直线，且"ua,muB,m//a,n//P,则a〃£.

其中正确命题的序号是.

例4.（2022•陕西咸阳•高一期末）如图甲，直角梯形ABCD中，ABLAD,AD//BC,/为4）的中点，E在

8C上，且E/W45,现沿£尸把四边形CD正折起得到空间几何体，如图乙.在图乙中求证：

⑴平面ADFH平面BCE；

⑵平面ABCJ•平面8CE.

【变式训练4-1】、（广西玉林市普通高中2022届高三3月教学质量监测考试（第一次适应性测试）数学（文）

试题）如图所示，己知四棱锥中底面ABCD是矩形，面丛£＞，底面ABC。且A3=l,

PA=AD=PD=2,E为PD中点.

⑴求证：平面尸CD_L平面ACE；

（2）求点B到平面ACE的距离.

【变式训练4-2】、（2021•西藏林芝•高三阶段练习（文））如图所示，直三棱柱A8C-4⑸G的底面是边长为

2的正三角形，E,尸分别是BC,CG的中点.

（1）求证：平面AEFJ_平面耳8CG.

⑵若/庄C=45。，求三棱锥A-EFC的体积.

重难点题型突破03综合应用

例5.(2022•辽宁实验中学高三阶段练习)如图，在正三棱柱A8C-A内G中，各棱长均为2,。是CQ的中

点.

⑴求证：平面平面的34；

(2)求平面8£>A与平面力8c所成角的大小.

例6.(2022・全国•高三专题练习)如图，四棱锥尸一488的底面48。是边长为2的正方形，以=尸8=3.

⑴证明：明〃)=朋8C；

(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角尸一的大小.

例7.（2022•浙江绍兴•高三期末）如图，三棱锥P—ABC中，AC=CB=PA=PC,Z4CB=120°,ZfiCP=90°.

(1)证明：平面心6_L平面ABC；

⑵求直线依与平面PAC所成角的正弦值.

例8.(2022•重庆南开中学模拟预测)如图所示，四棱锥A-3CDE中，13ABe为正三角形，CDHBE,

D

⑴求四棱锥A-BCDE的体积;

(2)求BE与面ADE所成角的正弦值.

四、课堂训练（30分钟）

1.（2022•黑龙江•一模（理））设m"是两条不同的直线，«,P,7是三个不同的平面，下列四个命题中

正确的是（)

A.若mlla,nlla,则mlln

B.若a,7,2,则。〃尸

C.若all/3,mua,n//p,则相〃九

D.若allp,尸〃mla,则他

2.（2022・四高三开学考试（文））已知a,夕是两个不同的平面，/，团是两条不同的直线，下

列命题是真命题的个数为（)

命题①：若机〃a,"?〃/,则a〃/命题②：若加〃a,ILa,贝ij〃7_L/

命题③：若加〃a,a-LJ3,则m//p命题④：若相〃1km,则」_La

A.4B.3C.2D.1

3.（2022・浙江•高三专题练习）如图，在正方体ABC。-A4GR中，点尸是线段8G上的一个动点，有下列

三个结论:

①4尸〃面ACR；

②8sAp；

③面面4CD.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.②③C.①③D.①②

4.（2021•陕西,西安高级中学高一阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-AMG中，AC=8C,O为A8的中点,

下列说法正确的个数有（)

G

①。，平面488小；

②Bq〃平面AOC；

③平面AOC，平面48gA.

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.（2021•湖南•常德市第二中学高二期中）如图，在正方体中，A/、N分别为NC,48的中

点，则下列说法正确的是（）

A.MM3平面/。。小

B.MN^AB

C.直线MN与平面/BCD所成角为45°

D.异面直线WN与。。所成角为60°

6.（2021・湖南・常德市第二中学高二期末）如图，直线以垂直于圆O所在的平面，H/18C内接于圆O,且

为圆O的直径，点〃为线段P8的中点.以下结论成立的是（）

A.BC^PC

B.QW0平面Z8C

C.点8到平面RIC的距离等于线段8c的长

D.三棱锥必为C的体积等于三棱锥A/-/8C体积

7.（2022•四中高三开学考试（理））在三棱锥P-4?C中，PA=AB=ACf,BC=2,PC=2&，

且PCJL8c.

(1)证明：平面4>8_L.平面PBC；

(2)求钝二面角AC—P的余弦值.

8.(2022•全国•高三专题练习)如图，在四棱锥中，力团底面ABCD,底面ABCD是矩形，PA=2AD=^,

且尸C=2卡.点E在PC上.

(1)求证：平面出比0平面RIC；

(2)若E为PC的中点，求直线PC与平面所成的角的正弦值.

专题08空间直线与平面、平面与平面的垂直

一、考情分析

性踊理

J判定定理

L性质定理

J判定定理

二、考点梳理

考点一直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线/与平面a内的任意直线都垂直，就说直线,与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

lYb

一条直线与一个平面内的

aQb=O>

判定定理两条相交直线都垂直，则该直

aua

线与此平面垂直baa>

=/_La

两直线垂直于同一个平al.

性质定理-〃力

面，那么这两条直线平行£a\

考点二平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判定一个平面经过另一个平面的一条1.La

Oa_L£

定理垂线，则这两个平面互相垂直bluB

a工6、

如果两个平面互相垂直，则aCl£=a

性质>

在一个平面内垂直于它们交线的IS.a

定理1

直线垂直于另一个平面£b7c£,

=a

考点三知识拓展

1.两个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的

一个重要方法).

2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内

的无数条直线，就垂直于这个平面”.

三、题型突破

重难点题型突破01线面垂直

例1.（1）、（2021•陕西•西安高级中学高一阶段练习）若表示直线，a表示平面，下面

推论中正确的个数为（）

①，匕//a,则）J：

@ala,al.b,则方〃a：

（3）a//a,aYb,则b_La.

A.1B.2C.3D.0

【答案】A

【解析】

【分析】

对于①，利用线面垂直的性质判断即可，对于②，由线面垂直的性质和线面平行的判定判

断，对于③，由线面平行的性质判断

【详解】

对于①，当a，a,6〃a时，则“人相交垂直或异面垂直，所以①正确，

对丁②，当时，b〃a或〃ua,所以②错误，

对于③，当。〃时，b与a平行，或相交，或。ua,所以③错误，

故选：A

（2）、（2022•全国•高三专题练习）如图，在正方形SG/G2G3中，E,F分别是G/G?,G2G3

的中点，。是E尸的中点，现在沿SE,S尸及所把这个正方形折成一个四面体，使G/,G2,

G3三点重合，重合后的点记为G,则在四面体S—E/G中必有（）

A.SG0平面EFGB.SD3平面E/G

C.G/=13平面SE尸D.GDO平面5£产

【答案】A

【解析】

【分析】

根据在折叠的过程中，始终有SG曲G/E,SGjfflGs凡即可得SGfflGE,SGSGF,从而由线面

垂直的判定定理可得结论

【详解】

对于A,因为在正方形SGG?Gj中，SG^GiE,SG用GjF,

所以在四面体SEFG中，SG3GE,5G0GF,

因为GEcGF=G,所以SG3平面E尸G.所以A正确，

对于B,因为SG3平面EFG,G£）u平面EFG.所以SG_LGD,所以NSGD=9（）。,所以NSDG

不可能为直角，所以S。与GO不垂直，所以SD与平面EFG不可能垂直，所以B错误，

对于C,由题意可知AGM为等腰直角三角形，且GE=GF,NG庄=45。，所以GF与平面

SEF不可能垂直，所以C错误，

对于D,由选项B的解析可知，NS3G不可能为直角，所以SD与GO不垂直，所以GO与

平面SEE不可能垂直，所以D错误，

故选：A.

（3）、（2022•广东茂名•高三阶段练习）（多选题）已知正方体4BCO-ABCQ中，点。是底

面ABCD的中心，点〃是侧面88CC内的一个动点，且OM〃平面GA。，则以下关系一定

正确的是（）

5c,

0

4B

A.OM//DQB.C.OMD.OM1BD.

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据正方体的性质，利用线面、面面平行垂直的判定定理及性质定理逐一验证即可.

【详解】

A：因为O为底面中心，连接8。，BG，因为OM//平面CM。，根据线面平行性质定理可

知：OMHDC、、A正确;

B：因为直线CM与平面CM。不平行，所以点C与点”至U平面CM。的距离必然不相等,

故VM-C,W*，B错误.

C：根据中位线可知：M为BG中点，所以OMDC{,BtCA。，因为A。与。G不垂直，

所以。例与片。不垂直，故C错误.

D：根据正方体性质易知：。弓，平面88小，所以力q_LB。，所以OM_LBR,故D正

确.

故选：AD

【变式训练1T】、（2022•浙江丽水•高二期末）空间中两条不同的直线机，〃和平面a,则下

列命题中正确的是（）

A.若m_La,nVa,贝

B.若mHa,nila,则m//〃

C.若，〃_L〃，〃J_a,则/??_La

D.若，”_L〃，nila,则，〃_La

【答案】A

【解析】

【分析】

利用线面垂直的性质判断A：举特例说明并判断B,C,D作答.

【详解】

对于A,mLa,〃J_a,由线面垂直的性质知，mlln,A正确；

对于B,在长方体AB8-ABCQ，平面ABC。视为平面a,棱A4，AA所在直线分别视

显然有机〃a，nila,此时"，与〃相交，B不正确；

对于C,在长方体ABC。-A&GR,平面的CD视为平面a,棱4内,你所在直线分别视

为宜线"?，n,

显然有机-L”，n±（z,此时,w//a,C不正确；

对于D,在长方体ABCQ-ABC。，平面ABCD视为平面。，棱村织人口所在直线分别视

为直线加，n,

显然有,"J-",nila,此时机//a,D不正确.

故选：A

【变式训练・2】、（2022•浙江•模拟预测）已知圆锥SO,"8是圆。的直径，尸是圆。上一

点（不与48重合），0在平面”8上，则（）

A.直线3Q可能与平面SAP垂直B.直线8。可能与平面SBP垂直

C.直线BQ可能与平面SAP平行D.直线BQ可能与平面SBP平行

【答案】C

【解析】

【分析】

按照对应选项的条件假设，再结合题目条件，利用反证法证明，对选项逐一判断.

【详解】

对A,若BQL平面SAP,则8QJ.AP,又SO^AP,BQu平面S43，SOu平面&18,又

因为SO//B。时，8。不垂直于平面SAP,所以SO,B。必相交，所以AP_L平面SAB，不符

合题意，故A错误；

对B,若8。，平面SBP,则又SOLBP,BQu平面SAB,SOu平面1s4B,乂

因为SO//8Q时，B。不垂直于平面S8P,所以SO,3Q必相交，所以平面SA8,不符

合题意，故B错误；

对C,若B。//平面乂3Qu平面&记，平面〕平面&IP=SA,所以BQ〃SA,

如图所示，可能存在，故C正确；对D,8。与平面S8P有公共点，不可能平行，故D错误.

故选：C

【点睛】

解答本题的关键是利用反证法对选项逐一证明判断.

【变式训练上3】、（2022•全国•模拟预测）（多选题）如图，在正四棱柱ABCD-ABCQ中,

4c与3。交于点。，P是8G上的动点，下列说法中一定正确的是（）

Di

A.AC工BQ

B.平面ABCQ

C.点P在BG上运动时，三棱锥P-偿。的体积为定值

D.点尸在BG上运动时，P0始终与平面平行

【答案】ACD

【解析】

【分析】

依题意可得AC_LBD,AC1BB,,即可得到ACL平面80。由，即可判断A；

根据正四棱柱的性质可得用C，8G不一定成立，即可判断B,易知BG〃平面明。，即可

判断C,由面面平行的判定定理得到平面GBO〃平面A4R,由尸Ou平面GBO,即可得

到PO〃平面即可得证；

【详解】

解：对于选项A,由条件得AC1BD,AC1BB,,BDcBB、=B,BD,BBtu平面BDRB、,

所以AC,平面BDD出.又因为平面再，所以AC_LBR,故选项4正确；

对于选项B,由于正四棱柱的侧面不一定是正方形，所以瓦C，8G不一定

成立，所以BC，平面ABGA不一定成立，故选项8错误；

对于选项C,易知BCJ!平面AAtD,所以点尸到平面AA,D的距离为定值，所以三棱锥

P-A4,。的体积为定值，故选项C正确；

对于选项D,由于8G〃A。，BD"B、D\,BC；,BOu所以平面C/Z),且BD=B,

4。,耳。《平面用。，且所以平面QB。〃平面ABQ,点尸在BQ上运

动时，/0<=平面68。，所以「O〃平面A8Q,故选项D正确.

故选:ACD.

例2.(2022・四川成都•高三阶段练习(文))如图，在四棱锥A-3COE中，BCJ_平面Z8E,

且£)£〃8C,DE=3AB=3BC=6,BE=4,ZABE=60°.

D

⑴求证：A£_L.平面ABC；

(2)若点/满足A。=2AF,且AB//平面CEF,求2.

【答案】⑴证明见解析(2)4

【解析】

【分析】

(1)在AWE中，由余弦定理求得4E=2>/5,再根据勾股定理证得利用线面

垂直的判定定理可得证；

ApBG

(2)连接3。交CE于点G,连接FG,根据AB〃平面CEF,得到AB//FG,由工=一求

卜D3D

解.

(1)

证明：在AABE中，AE2=AB2+BE2-2AB-BE-cosZABE,解得4E=2>/J.

BE2=AB2+AE2<即AB_L/i£.

I28C_L平面/BE,0BC1A£,

又AB,8Cu平面N5C,ABcBC=B,回AE_L平面/BC.

⑵

A

连接8。交CE于点G,连接FG.

ArBG

回45//平面。£户，平面ABDc平面CEF=FG,0AB//FG,0—=—.

R「1

在直角梯形3CDE中，ABCGADEG,0—=—=-,

GDDE3

,-r|>i4尸_BG_I.

明以行;=；ZX=W，所xr以A£）=4A尸，

FDGD3

02=4.

【变式训练2T】、（2022•广西广西•模拟预测（文））在平行四边形ABC。中，AB=3,BC=2,

过点/作8的垂线交CQ的延长线于点E,AE=6,连接E8交于点F,如图①，

将_4汨沿折起，使得点£到达点P的位置，如图②.

图①图②

⑴求证：45_1平面3尸尸；

⑵若G为尸8的中点，〃为8的中点，且平面平面/8CA,求三棱锥G-BC”的体

积.

【答案】⑴证明见解析

⑵』

16

【解析】

【分析】

（1）通过证明「F，A£>,BF_LAO来证得AD_L平面哥尸.

（2）先证明PF_L平面ABCO,然后根据锥体体积公式，求得三棱锥G-3cH的体积.

（1）

折叠前，在Rt/XBAE中，AB=3,AE=也，

ZAEB=60°目一BE=26，

AOE是直角三角形，,-.DE=ylAD2-AE2=1-CE=4,

在；8CE中，CE=4,BE=2®BC=2,CE2=BE2+BC2,

：.BEVBC,又BC“AD、.-.BE1AD,EF=-AE=—.

22

折叠后，PFLAD,BFLAD,PFcBF=F，

.-.AD±¥ffiTBFP.

⑵

•••平面A£）P_L平面488,且平面皿》0平面"8=4）,尸产u平面/。尸，

且由（1）知尸尸J_">,.•.Pf_L平面N8CD由（1）得PF=立.

2

由于G是尸8的中点，所以G到平面A8C。的距离是P到平面ABC。的距离的一半.

设G到平面ABCD的距离为力，则〃=!「尸=更.

24

13

CH=-DC=-

22t

._1.-I3H3G

..Sc——Cruri,AE——x—x，3-----,

BCH2224

,1375>/3_3

V

••G-BCH=]SfiCH-«=-X^—X—=—.

【变式训练2-2】、（2022•山西晋中•一模（文））如图所示，在四棱锥尸-/8C。中，以1回平面

ABCD,底面是矩形，PA=AB=丘,4）=2,过点8作5£&4C,交于点E,点

F,G分别为线段尸。，OC的中点.

⑴证明：NQ3平面8EF；

⑵求三棱锥广8GE的体积.

【答案】（1）证明见解析

呜

【解析】

【分析】

（1）利用线面垂直证明B4_LAC,由防〃24可知所_LAC,结合BE,AC可以证明结

论.

（2）先利用面积分割法求出三角形8GE的底面积，然后利用椎体的计算公式求解.

⑴

证明：BEVAC,

jr

所以ND4C+/BEA=-,

2

TT

又二ZDAC+ZDCA=-

2t

・•・ZDCA=ZBEA,

RtBAEsRtADC,

ADCD

:・——=——，

ABAE

又AD=2,AB=CD=6,

・.•AE=1,

・・•点E为线段Z。的中点，

EF//PA,

乂・尸平面力8cO,ACu平面为BCD,

・•・PALAC,

・•.EFLAC,

又EFBE=E,EFfBEu平面BEF,

・•.AC_L平面BEF.

⑵

解:

由（1）可知E尸〃P4且EF=—PA="

22

又.PA_L平面43co

/.£/_1_平面力8。。

crA近6叵3近

S.BEG=S矩形ABC。-SABE~

EDGKCG2424

所以V三棱锥咚棱链FYGE=gX孝X；

重难点题型突破02面面垂直

例3.（1）、（2022•陕西•宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两条直线口"及两

个平面力，7,以下说法中正确的是（）

A.若〃//，mlIP,则〃/机

B.若////,Him,则zw//y

C.若I工0,i//m,则仅_Ly

D.若灶0,m峰y,[//m,则分///

【答案】C

【解析】

【分析】

根据线面平行、线线平行的性质可判断AB,根据直线与平面垂直的判定定理可判断CD.

【详解】

对于A,〃/4，机//力，则/,，〃可能平行、相交、异面，故错误；

对于B,IHy,l//m,则加在平面内或机故错误；

对于C,由/〃/_L£,可得，力，又所以力J_7,故正确；

对于D,由C可知得不到£///,故错误.

故选：C

（2）、（2021・山东•高二学业考试）如图，在四面体。一/8C中，若AB=CB,AD=CD,E

是ZC的中点，则下列结论正确的是（）

A.平面Z8Q3平面

B.平面Z8OEI平面8DC

C.平面平面且平面力。。3平面8OE

D.平面Z8CEI平面/OC,且平面ZOC0平面

【答案】C

【解析】

【分析】

利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.

【详解】

因为且E是ZC的中点，所以3£EL4C,同理有Q血C,于是平面因为

/C在平面N8C内，所以平面平面6Z）E.又由于XCu平面/CD所以平面4cLH3平面

BDE.

故选：C

（3）、（2021•山东省潍坊第四中学高三开学考试）（多选题）在四边形中，AD//BC,

AD-AB,NBCD=45°,ZBAD=90°,将△ABD沿8。折起，使平面平面88,

构成三棱锥A-3C£>,则在三棱锥A-88中，下列命题错误的是（）

A.平面A»D_L平面Z8CB.平面A£>C_L平面88

C.平面ABC_L平面BC£>D.平面ADC_L平面NBC

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据已知条件，结合面面垂直的判定和性质，结合二面角的定义，对每个选项进行逐一分析,

即可判断和选择.

【详解】

根据题意，作图如下：

因为在四边形/8CD中，AD//BC，AD=AB,ABCD=45°,ABAD=90°,

所以8£>_LCD,又平面平面8C。，且平面A8Dc平面BCD=①），

故CQ_L平面N8Q,又ABu面ABZ），则8_LA8,又AZ）d_AB，

又a>cAO=2C2AOu面A£>C,故ABJ■平面/DC,又A5u面A8C,

所以平面A8C_L平面4OC,故D正确；

设A8=AO=1,则&，BC=2,CD=6，

由C0LA3,又SLAB，Cr>cAr>=2C£>,AOu面AOC,可得AB_L平面4OC,

又ACu面AOC,可得AB_LAC,47=斥1=退，

所以ZC4D为平面ABD与平面ABC所成角，且tanACAD=—=72,

AD

故二面角不为直角，故A错误；

由上述证明可知，NA£>8为平面/OC与平面8CD所成角，为45。，故B错误；

若平面ABCL平面BC。，取5c的中点4,可得DH_LBC,则£>〃_L平面/8C,

AHu平面/8C,可得

而I3AOH中，AO=1,DH=\,AH=1,显然团A£>〃不为直角三角形，故C错误.

故选：ABC.

（4）、（2021•四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））如图，已知矩形AB=6

AD=\,4尸，平面/8CO,且AF=3,点E为线段。C（除端点外）上的一点，沿直线ZE将

△D4E向上翻折成，O'AE,/为B£>'的中点，则下列结论正确的有.（写出所有正确

结论的序号）

F

②当点E固定在线段。C某位置时，则次在某圆上运动；

③当点E在线段0c上运动时，则以在某球面上运动；

④当点E在线段。C上运动时，三棱锥尸的体积的最小值为器.

【答案】②③④

【解析】

【分析】

利用等体积法求出体积，即可判断选项①，利用DM回D0E,即可判断选项②，根据AW=

1保持不变，即可判断选项③，求出点M到平面BCF的距离的最小值，过点A作出8F的垂

线，求出最小值，即可判断选项④.

【详解】

对于①，由等体积法可得，匕一BCF=%_ABC='xgx石X3=#,

三棱锥N-8C5的体积为3,故选项①错误；

对于②，当固定点£时，可知点屏在球面被平面截得的圆弧匕即在某圆上运动，

故选项②正确；

对于③，当点E在线段。C上运动时，力理=1保持不变，

点以的轨迹为以点力为球心，半径为1的球面的一部分，

故选项③正确；

X'j于（3），SpcF=exBCXBF=3*1x,9+3='J^>,

.•.求三棱锥8CF的体积的最小值即求点加到平面8c尸的距离4的最小值，

即求点D0到平面距离〃的最小值，且4=gd,

过点力作8尸的垂线，垂足为，，

；力61,平面/8C。，且8Cu平面48c£）,

^AFLBC,

又BCLAB,iLAB[\AF=A,AF,/8u平面/8F,

，8C_L平面尸，

又平面ABF,

贝ijBCA.AH,

XBC'BF=F,BC,BFu平面BCF,

故/平面BCF,

•.•点以在以点4为球心，半径为1的球面上运动，

31

则点以到平面BCE距离的最小值为1=1-1=1,