山东各地市2023-2024年上学期期末数列试题汇编答案

山东市各地市2023-2024年上学期期末数列汇编

一、单选题

（2024年山东日照期末）1.若无穷等差数列｛4｝的公差为d，则“d>0”是“三左eN*，为>。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

10

（2024年山东青岛期末）2.已知等差数列｛4｝各项均为正整数，［1=。1+a2+”3，«2<>则其公差"为

)

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

（2024年山东潍坊期末）3.如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明.它

的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构.它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形

等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为

第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯.则前〃次操作共抠除图形的面积为（）

nn

8c1-让

AiD.

B-88⑼

【答案】B

（2024年山东淄博期末）4.设5“为等差数列｛4｝的前〃项和，则“对V〃eN*，4+i>4,”是

“码+1>(〃+1)Sn”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

/

.〃兀

数列｛4｝的前〃项和为5“,右4=1,4=2,且4+2

（2024年山东济南期末）5.2+cos昼an-S1D——,

72

则$2024=()

202420241012

A.3-1011B.3+1011C.31O12-1O11D.3+1011

【答案】D

（2024年山东聊城期末）6.设等差数列｛4｝的前〃项和为S,,，已知：（42—1）3+2023（42—1）=1，

（4012—1）3+2023.2012—1）=—1，则下列结论正确的是（

A.$2023——2023,%012<12B.1^20232023,〃2012>〃12

C.$2023——2023,%012〉012D.§2023=2023,%012<%2

【答案】D

（2024年山东滨州期末）7.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角

垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…….记第〃层球的个

数为为，则数列的前20项和为（)

10204019

A.—B.—C.—D.—

21212110

【答案】C

二、多选题

1

（2024年山东济宁期末）8.已知数列｛4｝的前几项和为S“，且满足%=1,anan+x=V,bn--------,数列

logz%

也也+J的前n项和为T"，则下列说法正确的是（）

A.%=2小B.出“=22

C.S=3-21012-3

2024D-Tn<\

【答案】ACD

（2024年山东日照期末）9.在平面四边形ABC。中，点。为动点，△A3。的面积是△BCD面积的3倍，又数列

｛%｝满足4=3,恒有3D=（a,—3"T）8A+（a"+i+3"）BC,设｛%｝的前〃项和为S“，则（）

A.｛4｝为等比数列B.%=-81

C.为等差数列D.S“=（3—〃）3"—3

【答案】BCD

三'填空题

（2024年山东烟台期末）10.已知等差数列｛4｝的前几项和为工，'=25且1=15,则%的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】利用等差数列的基本量体和d表示S5=25,4=15,计算即可.

【详解】结合题意：设等差数列的公差为d，

S5=5〃]+10d=25=1

因为S5=25,“8=15,所以＜解得7c

—q+7d=15[d=2

故答案为：1

（2024年山东泰安期末）11.已知正项数列｛%｝的前几项积为北，且满足a,（3（—1）=（（〃eN*）,则＜=

【答案】+；（〃eN*

（2024年山东枣庄期末）12.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S",若q=-10,1—与=1，则％=•

【答案】-10

（2024年山东潍坊期末）13.已知a〃=L若对任意的“都有（％+2）（凡+2）（见+2）三加，则实

数上的最大值为.

【答案】—

8

四、解答题

（2024年山东滨州期末）14.已知等比数列｛%,｝的公比为2,且%是心与。5一8的等差中项.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

为奇数，

(2)坟"一12〃一为偶数.求数列他“｝的前2〃项和邑“.

【答案】（1）o„=2"

Q2W+10

(2)———+2H2+H

3

(2024年山东德州期末)15.己知等差数列｛q,｝的前几项和为S“，且%=3,岂=20,数列｛〃｝的前几项和7；满足

关系式(=1—d(〃eN)

(1)求数列｛4｝,也｝的通项公式；

(2)求数列｛%•4｝前几项和4.

【答案】(1)+bn=—

(2)Rn=3-^-

n2n

(2024年山东潍坊期末)16.已知等比数列｛%｝满足6=；,=a6.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛"4｝的前〃项和.

【答案】(1)%=2"-2

(2)(n—l).2"T+g

(2024年山东枣庄期末)17.己知数列㈤｝中，％=1为4+1=(〃+1)2。”.

(1)求/；

,n+15

(2)设2=,求证：b,+A++b<—.

。/4+216

【答案】(1)4=1

(2)证明见解析

(2024年山东济宁期末)18.已知数列｛4｝为公差大于0的等差数列，其前〃项和为S“，工=15,%/4=8.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设d=2%-cos与，求数列｛2｝的前100项和加0.

【答案】(1)a“=n

2102_4

(2)-——-

5

(2024年山东烟台期末)19.已知数列｛4｝的前〃项和3="+^,且工,S3—2,S7成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

（2）若b”=奇,求证：数列也｝的前几项和7；<:.

【答案】⑴an=2n-l

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据等比中项的定义，得到（S3—2）2=S27,解出m=0,得到S“=〃2,进而算出数列｛4｝的通项公

式;

（2）利用错位相减法，结合等比数列的前〃项和公式算出7；的表达式，进而证出不等式7；<g成立.

【小问1详解】

根据题意，可得⑸―2）2=$S7，即（7+m）2=（1+旬（49+机），

解得m=0,所以S“="2,

当”=1时，q=S]=1,

22

当心2时，an=Sn-Sn_}=n-(«-l)=2n-l,%=1=2x1—1也符合,

故=2〃一1.

【小问2详解】

2〃一12n—l

证明：由（1）的结论，可得包=万］

4〃

1352M—1

所以＜=%+不+不+H-----------

4〃

两边都乘以:‘得:1=:+*+鲁++犷，

以上两式相减，可得：

11工

3.1J111A2«-1181万、不I2n-l5(22”—1

4"4U434"J4"+i4]_144"12(34)4"

~4

所以小结合篝〉。，可知不等式，得成立.

（2024年山东聊城期末）20.己知等差数列｛4｝的前几项和为5“，且%=4,项=72,neN,.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

1111

（2）记数列《丁-----卜的前〃项和为北，求证：Tn<—.

S'+a"18

【答案】（1）an=2n

（2）证明见解析

（2024年山东日照期末）21.己知24）个正数排成九行九列，与表示第i行第/列的数，其中每一行的数成等

13

差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为4.已知出4=1，。42=—，。43=一.

816

（1）求公比4；

（2）记第九行的数所成的等差数列的公差为媒，把4,…所构成的数列记作数列｛4｝,求数列｛4｝的前几项

和S".

【答案】（1）q=-

2

⑵日-

（2024年山东济南期末）22.将数列｛4｝中的所有项按照每一行项数是上一行项数的两倍的规则排成如下数表：

ax

〃4%a6%

〃8〃12^^13^^14^^15

记表中的第一列数外,%，«4＞《，…构成的数列为也｝,§“为数列也｝的前77项和，且满足S.=2"-1.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为2的等差数列，求上表中第"（左23）行所有项的

和小

【答案】⑴b„=2'1-1

2kl

（2）Tk=2--2^

（2024年山东泰安期末）23.己知数列｛4｝满足4=5育，正项数列也｝满足〃2—2（n—1）优—4〃=0.当九

时，记y=min｛《,％,…,％｝,1=max｛4+i，a,.+2,,a„｝（z=1,2,.,ra-l）,c;.=s-+tt.

（1）证明：de?,…是等比数列；

(2)求4C“T+%C"_2++b”7cl.

【答案】（1）证明见详解;

18

(2)bxcn_x+b2cn_2++4_£=干+18〃_36

（2024年山东淄博期末）24.已知｛。“｝和｛%｝均为等差数列，％=々=1,%=勾+。2，瓦=+a?,记

%=max{4—叫，b2-na2,…，bn-nan(/2=1,2,3,•••),其中max{%,巧，,•>W}表示为，%，

…，Z这s个数中最大的数.

（1）计算G，C],。3,猜想数列｛&｝的通项公式并证明;

1

（2）设数列《，的前〃项和为S,,若S“<-加2+4相对任意〃eN*恒成立，求偶数⑷的值.

【答案】解：⑴设等差数列｛%｝和也｝的公差分别为4,〃2,那么

0+24=1+。+4)，所以］，:，所以=〃也=2〃一1,

1+4d2=1+3d2+1+4@=2

那么,Cr=bY-ar=1-1=0,C2=max{4-2〃］也一2%}=T2分

G=max{仇—3%,b?-3%,4-3a3}——2,

猜想，｛c“｝的通项公式为C"=l-〃5分

当〃N3时，(%+i-nak)=(bk+i-bk)-n(ak+l-ak)=2-n<0,所以数歹U也；一〃。/关于左wN*单调

分

递减.所以Gmax{4—72al,用一na?,-,bn—naH］