高考数学 特色题型汇编：多项选择题-数列（基础、中档、压轴）（原卷及答案）（新高考地区专用）

多项选择题——数列（基础、中档、压轴）

1.无穷数列｛q｝的前〃项和S“=G?+加+C,其中。，b,C为实数，贝IJ（）

A.｛《,｝可能为等差数列B.｛4｝可能为等比数列

C.｛%｝中一定存在连续三项构成等差数列

D.｛4｝中一定存在连续三项构成等比数列

2.下列说法错误的有（）

A.若a,b,c成等差数列，则”2,〃,c2成等差数列

B.若a,b,c成等差数列，则log2log2410g2c成等差数列

C.若a,b,c成等差数列，则a+2,6+2,c+2成等差数列

D.若a,b,c成等差数列,则2",2",2,成等差数列

3.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，则（）

A.Sh=2S4-S,B.56=3（S4-S2）

c.s2„,S4„-52„,臬“-54”成等差数列D.字成等差数列

4.“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描

述”.例如：取第一项为1,将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，

则第三项为21;将21描述为“1个2,1个1”,则第四项为1211；将1211描述为“1个1,

1个2,2个1”,则第五项为111221,…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起

来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.对于外观数列｛q｝,下列说法正确的是

（）

A.若4=3,则4=131213B.若q=22,则40a=22

C.若q=6,则4。。的最后一个数字为6D.若q=123,则即）。中没有数字4

5.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为

“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个

球，第三层有6个球，…，设第〃层有。“个球，从上往下〃层球的球的总数为5,,则

A.=H4-l(n>2)B.S7=84

98x9911114044

C.D.—I---1---1--1----=----

。20222023

6.已知等差数列｛6,｝的前”项和为S“，等比数列他,｝的前”项和为7；,则下列结论正

确的是（）

A.数列为等差数列B.对任意正整数“，片+%222%

C.数列区“+2-52,,｝一定是等差数列D.数列区“+2-（“｝一定是等比数列

7.已知数列｛叫满足q=1，4+2=（-1严（4-〃）+〃，记｛%的前”项和为S“，则（）

A.见8+%。=10°B.%。一46=4

C.$48=600D.$49=601

8.若正整数〃八〃只有1为公约数，则称机，〃互质，对于正整数上＜P（k）是不大于

%的正整数中与女互质的数的个数，函数。（&）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函

数，例如：。（2）=1,奴3）=2,奴6）=2,9（8）=4.已知欧拉函数是积性函数，即如果

%,〃互质，那么夕（曲）=那㈤奴〃）,例如：0（6）=奴2）奴3）,则（）

A.奴5）=奴8）B.数列加（2"）｝是等比数列

C.数歹U｛夕（6"）｝不是递增数列D.数列［木的前〃项和小于|

9.已知数列｛可｝满足。।S〃为其前〃项和，则（）

A.a4-a2=7B.a｛Q=55C.S5=35D.as+a4=28

10.已知函数“X）=】gx,则（）

A./（2）,/（710）,“5）成等差数列B./（2）,“4）,“8）成等差数列

C./（2）,<（12）,“72）成等比数列D."2）,“4）,“16）成等比数列

11.设等比数列｛助｝的公比为q,其前〃项和为S〃，前〃项积为Th,并满足条件田>1,

d—I

Cl2O19a2O2O>1,一［V0,下列结论正确的是（）

〃2020一］

A.S2019<S2020B.。201孤2021一1<°

C.r020是数列｛2｝中的最大值D.数列｛T〃｝无最大值

12.若数列｛%｝是等比数列，则（）

A.数列是等比数列B.数列｛①“｝是等比数列

C.数歹（］｛4+为“｝是等比数列D.数列忖｝是等比数列

13.已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S“,公差”工0.若S“4S6,则（）

A.a,<0B.d<0C.4=°D.S13<0

14.对任意的qe（0,l）,由关系式a.+i

15.“天干地支纪年法”（也叫农历）源于中国，中国自古便有十天干与十三地支.十天

干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、

午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列

起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第

二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开

始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回至『子''重新开始，即“丙子”……依此类推.2021年为

“天干地支纪年法”的辛丑年，为了推算公元“年（〃为不小于2021的正整数）所在的农

历年份,我们定义数列｛%｝：q=（〃-2021H60的余数若4=0,则公元第〃年为辛丑

年；若勺=1,则公元第"年为壬寅年，依次类推，则（）

A.出149=8B.V〃eN*,”“+60=%

C.D.an=k^>an+x=k+\

16.己知5,为数列｛q｝的前"项之和，且满足45“=〃「+2%，则下列说法正确的是（）

A.｛«„｝为等差数列B.若｛%｝为等差数列，则公差为2

C.｛%｝可能为等比数列D.S4的最小值为0,最大值为20

17.著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套

着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个

柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将〃个圆盘全部从1号柱子

移动到3号柱子的最少操作数为句,则（）

23

A.B.%=8

C.«„+i=2a„+nD.—

1-X,XG[0,1),

18.己知函数/（x）=,2J。对定义域内任意x,都有/(x)=/(x-2),若函

岛一皿t[1,2）,

数g（x）=f（x）-Z在[0,+oo）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则％的可能取

值为（）

A.0B.1C.72D.6-1

19.若数列｛4｝满足：对ViJeN*,若i</,则称数列｛叫为“鲤鱼跃龙门数

列''.下列数列｛%｝是“鲤鱼跃龙门数歹的有（）

。<〃+1_,n

A.a=n--4n+lB.a=------C.a=sinmtD.a=In-----

nnn+2nnn+]

20.已知无穷数列｛《,｝满足：当”为奇数时，勺=2〃+1；当〃为偶数时，a„=n2,则

下列结论正确的为（）

A.2021和2023均为数列｛%-｝（〃eN*）中的项

B.数列eN*）为等差数列

C.仅有有限个整数々使得a”>%*成立

D.记数列｛%｝的前”项和为S“，则1恒成立

21.已知数列｛q｝满足4=1,J-J=a"（"€N"）,前”项和为S"，则（）

]2

A.&”>1B.<?2O22—1Q|2C〈石D-S"4〃

22.对于正整数〃,研〃）是小于或等于〃的正整数中与”互质的数的数目.函数以〃）以其

首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如研9）=6,则（）

7

A.Iog7^（7）=5+log76B.数列加（3"）｝为等比数列

C.数列加⑺｝不单调D.数列荷1的前〃项和恒小于4

23.在数列｛4｝中，若（〃..2,"eN*,p为非零常数），则称㈤｝为“等方差

数列”，〃称为“公方差”，下列对”等方差数列”的判断正确的是（）

A.｛（-1）"｝是等方差数列

B.若正项等方差数列｛4｝的首项4=1,且4,外，氏是等比数列，则片=2〃-1

C.等比数列不可能为等方差数列

D.存在数列｛4｝既是等方差数列，又是等差数列

24.等差数列｛a,,｝的前项n和为5„,数列也,｝为等比数列，则下列说法正确的选项有()

A.数列｛2%｝一定是等比数列B.数列｛九｝一定是等比数列

C.数列｛2｝一定是等差数列D.数列｛〃,+%”｝一定是等比数列

n

25.已知等比数列｛4｝的公比为q,且“2022=1，记｛4｝的前"项和为S"，前〃项积为1，

则下列说法正确的是()

A.当0<4<1时，⑸｝递减B.当夕>0时，sm3>4043

C.当4>1时，Tn>T1O22D.当-l<"0时，Tn>T2O22

26.已知等比数列圾｝,首项々>1且为递减数列，公比为q,前〃项和为S“，函数g(x)

的导函数在x=0处的函数值为1,且g(x)=x(x+4)(x+H)…(x+与)，则()

A.O<^<1B.b3=1

c.陶，为单调递增的等比数列D.｛lg〃｝为单调递增的等差数列

27.将数列｛3〃-2｝与｛2〃｝的公共项从小到大排列得到数列包｝,则下列说法正确的有()

A.数列｛%｝为等差数列B.数列｛4｝为等比数列

C.«„=4-'

D.数列｛(3"-2)4｝的前〃项和为(〃-1)4向+4

28.给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数

列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现自1,1起进行构造，第1

次得到数列1,2,1,第2次得到数列1,3,2,3,1,第〃(〃eN.)次得到数列

l,x,,x2,记/=1+X1+/++/+1,数列｛。〃｝的前〃项和为S〃，则()

A.4=81B.an=3an_x-1

iw+,3

C.勺=3"+1D.SZJ=^x3+/?-|

29.定义H“=%+2/++2-a”为数歹”｛4｝的"优值已知某数列｛4｝的“优值，，

n

H„=r,前〃项和为s“，下列关于数列｛%｝的描述正确的有（）

A.数列｛4｝为等差数列B.数列｛a,,｝为递增数列

C.涯=等D.8，S4,$6成等差数列

30.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个

名词源于希腊文，它的原意是“旋卷"或''缠卷".小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌

套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1

的正方形ABCD中，作它的内接正方形且使得NBE尸=春；再作正方形EFG”

的内接正方形MNPQ,且使得=与之类似，依次进行，就形成了阴影部分

的图案，如图所示.设第"个正方形的边长为应（其中第1个正方形488的边长为

4=48,第2个正方形EFGH的边长为…），第个直角三角形（阴影部分）

的面积为S“（其中第1个直角三角形A£”的面积为第2个直角三角形的面

积为邑，…），则（）

AEB

A.数列｛叫是公比为彳的等比数列B.£=[

C.数列｛S,｝是公比为。的等比数列D.数列｛S“｝的前”项和北＜；

31.数列｛4｝满足4=1,4用=/&）,"wN”，定义函数y=/（x）是数列｛叫的特征

函数，则下列说法正确的是（）

A.当/（x）vx时，数列｛%｝单调递增B.当/(x)=2x+l时，a”=2"-1

C.当f（x）=y_4-1时，14<a„<2（/7>2）

D.当方程（x）-x=0有唯一解时，存在£>0,对任意〃eN*,都有以「qj<£

32.如图，一只蚂蚁从正方形43co的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一

条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为（1，逆时针的概率为o:，设蚂蚁经过〃步到达

B,。两点的概率分别为P“,%（〃eN+）.下列说法正确的有（）

B.外“+%“=1

2022

D.XA>505

k=\

若2。£=1+寸，*„=log^,数列也｝的

33.已知正项数列｛4｝的前〃项和为S”,2

前〃项和为7,则下列结论正确的是（）

A.｛S；｝是等差数列B.«„<a„+1

C.S„<^-'D.满足123的"的最小正整数解为10

34.已知数列｛q｝满足，4=1,《向=卜"一;：："则下列说法正确的是（）

[an+2，〃为偶数

202

A.%=7B.«2021=2'

2+3

C.a2n+2=a2„D.3S2„+1=2"-6n-5

35.若数列｛4｝满足4=1,4=1，q=a,i+4-2（〃N3,”eN*）,则称数列｛4｝为斐波

那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是

()

A.%+。2+%+…+%=。〃+2-1B.4+4+〃5+…+白2“-1=。2〃-1

a

C.%=5D.4+。2+%+4+%+4=20

1

36.记表示与实数x最接近的整数，数列｛%｝通项公式为%=函(〃eN*),其

前〃项和为S“，设/=则下列结论正确的是()

A.=k-•-B.4n<k-\--

22

C.n^,lc—k+\D.S2022<9°

(n,n=2k-l,

37.已知数列｛叫的通项公式为%=:(丘N*),S,,是数列｛4｝的前〃项

〔2x32,n=2k

和，若加eN*,使S2M=a&T(rwN)则4=()

A.1B.2C.3D.4

38.已知各项都是正数的数列｛4｝的前"项和为5“，且S”=会+小，则()

A.代｝是等差数列B.Sn+Sn+2<2Sn+[

C.«„+|>a„D.5„--^->lnn

39.已知数列｛4｝的前甘项和为Sa,q=l,且=a“-3a,+1(n=l,2,...),则

()

A.3a„tl<anB.%=圭C.ln^J</i+lD.l<Sn<j^

40.已知数列｛4“｝,也｝,有4T=4一司,%=〃,-4,neN*，则()

A.若存在机>1,a„,=b,„,则at=b、

B.若%哂,则存在大于2的正整数〃，使得勺=0

C.若4=a,a2=h,且山b,则%22=-12他”

D.若q=-l,a2=-3,则关于x的方程2o5+(2o3+l)8sx+2cos2x+cos3x=0的所有

实数根可构成一个等差数列

41.已知纥G(〃=1,2,3,)是直角三角形，A,是直角，内角儿、B“、，所对的边

222

分别为4、b八%,面积为S“，若4=4,q=3,%=制&。3=巧1组，则

()

A.⑸“｝是递增数列B.应.）是递减数列

C.｛2-1｝存在最大项D.他,-1｝存在最小项

42.已知数列｛q｝满足4=28,%=严+“卜小（"22）,„6N*,数列也｝的前〃项

和为S“，且包=1082（%+2,42,1）-1暇（为「生"+1），则下列说法正确的是（）

A.—=21B,4"=16

a2'

C.数列］乎｝为单调递增的等差数列

D.满足不等式S“-5>0的正整数"的最小值为63

43.已知数列也｝的前"项和为S“，且S“+4=l对于v〃wN"恒成立，若定义贷>=5.，

S,*=£s,g>（A22）,则以下说法正确的是（）

（=1

A.｛叫是等差数列B.sf）=士产1

A"12021

C.S1r）_毅=置D.存在”使得S产2）=品

44.我们常用的数是十进制数，$n1079=lxlO3+OxlO2+7x10'+9xio\表示十进制的

数要用10个数码.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；而电子计算机用的数是二进制数，

只需两个数码0和1,如四位二进制的数1101⑵=1x23+1x22+0x3+1x2°,等于十进

制的数13.把机位〃进制中的最大数记为其中〃，?HeN,,n>2,加（利〃）为

十进制的数，则下列结论中正确的是（）

A./（5,2）=31B.M（4,2）=M（2,4）

C.D.M（〃+2,〃+l）>A/（〃+l,〃+2）

45.已知数列｛〃“｝满足％=1,4川二%〃（1114+1）+1,则下列说法正确的有（）

-^-<5

A.

q+4

若几22,则;4s—\<1D.£ln（4+l）4（2"-l）ln2

C.

4普《+1/=1

参考答案:

1.ABC

【解析】由S“=GJ+加+C可求得见的表达式，利用定义判定得出答案.

【详解】当〃=1时，«|=51=a+b+c.

2-

当“22时，an=Sn-Sn_]=an+Z>n+c-a(n-l)-Z?(n-l)-c=2an-a+b.

当”=1时，上式=a+b.

所以若｛4｝是等差数列,^a+b=a+b+c.-.c=O.

fQ=C=0

所以当c=0时，｛q,｝是等差数列，6.0时是等比数列；当CKO时，｛《,｝从第二项开

始是等差数列.

故选：ABC

【点睛】本题只要考查等差数列前〃项和S.与通项公式。”的关系，利用5“求通项公式，属

于基础题.

2.ABD

【分析】根据等差数列的定义，结合特例法进行判断即可.

【详解】A：1,2,3显然成等差数列，但是1,4,9显然不成等差数列，因此本说法不正确；

B：0,0,0显然成等差数列，但是log2aJog?"log2c这三个式子没有意义，因此本说法不正

确；

C：因为。，匕，c成等差数列，所以28=a+c,因为2(b+2)-(a+2+c+2)=2匕-a-c=0,

所以《+2,0+2,c+2成等差数列，因此本说法正确；

D：1,2,3显然成等差数列，但是2"=2,2〃=4,2,=8,显然2",23,2。不成等差数列,因此本说

法不正确；

故选：ABD

3.BCD

【分析】利用等差数列求和公式分别判断.

【详解】由已知得S〃=4〃+lJ-,

A选项，S6=6tZj+15J,84=44+6",S2=2a,+1/,所以2s4-S2=6%+11"w§6,A选项

错误；

B选项，3（54-52）=6^+15J=S6,B选项正确；

2

C选项，S2n=2w+〃（2〃-l”=2a]n+（2n-n^d,S4n=4w+2/?（4〃-l）d,

2

S6tl=6ci｝n+3n（6n-\）d,S4n-S2n=2q〃+（61—〃）d,56/J-S4n=2的+（1On-n^d,则

s2+s6n-s4n=4的+（⑵2-2〃）d=2[26〃+（6/-n）rfJ=2（S4„-S2/I）,C选项正确;

-3VS>2a+JdS.4a.+6d3.S&6a,+I5d5..

D选项，——=q+-,-£=—j----=q+-d,-^=-^------=a.+-d则n

2212441266129

邑+邑=2q+3d=2x1,D选项正确；

264

故选：BCD.

4.BCD

【分析】根据题干中的递推规律，依次分析各项的正误.

【详解】对于A项,4=3,即“1个3"，02=13,即“1个1,1个3"，4=1113,即“3个1,

1个3”,故4=3113,故A项错；

对于B项,a,=22,即“2个2”，出=22,即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22,

则4ao=22,故B项正确；

对于C项，4=6,即力个6”,a2=16,即力个1,1个6ca3=H16,即“3个1,1

个6"，故4=3116,即“1个3,2个1,I个6"，以此类推可知，eN*）的最后一个数

字均为6,故C项正确；

对于D项，q=123,则生=111213,a3=31121113,4=1321123113,L,

若数列｛《,｝中，％仅25,%eN*）中为第一次出现数字4,则4T中必出现了4个连续的相同

数字,

如4.i=mi,则在a1的描述中必包含“1个1，1个1"，

即4一2=11,显然的描述是不合乎要求的，

若4T=2222或QT=3333，同理可知均不合乎题意,

故4,(〃eN,)不包含数字4,故D项正确.

故选：BCD.

5.BCD

【分析】根据题意求得4、%、%，进而可得为利用累加法求出。“即可判断选项

A、C；计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.

【详解】由题意得，

a,=l>a2-a,=2,a3-a2=3,,an-an_x=n,

以上〃个式子累加可得

a〃=l+2++〃=——~~-(n>2),

又4=1满足上式，所以故A错误；

则〃2=3,“3=6，/=1°，%=15，4=21,%=28,

得67=4+02++%=1+3+6+10+15+21+28=84,故B正确;

士98x99田「丁冰

有"98=---，故C正确;

121、

由丁诉^(丁西),

,1111、c八1、4044

得一+一十+----------)=2(1------)=----,

4a22022202320232023

故D正确.

故选：BCD.

6.ABC

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,设等比数列也,｝的公比为q,求出s“，利用等差数列

的定义可判断AC选项；利用基本不等式和等比中项的性质可判断C选项；取q=T可判断

D选项.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则S“="q+也二所以，&=q+也也.

2n2

对于A选项，=q+㈣一弓一也也=4,所以，［A,为等差数列，A对；

对于B选项，对任意的〃eN*,…，由等比中项的性质可得力3=d»*2，

由基本不等式可得Y+%222b力.2=2b3，B对；

对于C选项‘令C”=S2n+2—S2„=O2n+2+”2"+l>

所以，C“M—C”=(«2,皿+。2”+3)-(4“+2+。2"+1)=4",

故数列区“+2-S2,,｝一定是等差数列，C对；

对于D选项，设等比数列也｝的公比为4，

当q=-l时，T2n+2-T2„=b2n+2+b2n+l=b2n+i(^r+l)=O,

此时，数歹式不是等比数列，D错.

故选：ABC.

7.BCD

【分析】由条件可得当”为奇数时，«„+2=«„=«,=);当〃为偶数时，an+a,l+2=2n,然后

可逐一判断.

【详解】因为q=1,4+2=(-1严(4一〃)+”，

所以当”为奇数时，«„+2=«„=«i=1;当”为偶数时，a“+4”2=2〃.

所以(^+"50=96,选项A错误；又因为46+a48=92,所以。50-%6=4,选项B正确;

+

邑8=4+4+/++%7+[(4+4)+(%+%)++(«46«4)i)]

(2+46)x12

=24xl+2x(2+6++46)=24+2x=600

2

故C正确

549=548+a49=600+1=601,选项D正确.

故选：BCD

8.ABD

【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可

得出结果.

【详解】°(5)=4,奴8)=4,.,.以5)=例8),A对；

为质数，...在不超过2"的正整数中，所有偶数的个数为2"T，

夕(2")=2"-2"T=2"T为等比数列，B对；

:与3"互质的数为1,2,4,5,7,8,10,11,,3"-2,3"-1.

共有(3-1)•3"~'=2-3"'个，二s(3")=2・,

又•••9(6")=s(2")奴3")=2.6"T,，9(6")一定是单调增数列，C错；

9(6")=26、1才的前〃项和为

九邛＜3D对.

5|_(6川5

故选：ABD.

9.ABC

2

【分析】根据条件依次可得卬=1。+卬=2?,〃3+〃2=3。4+”3=4?,a5+a4=5r

22

ae+a5=6,aw+a9=10,然后可得4-。2=7,a6-a4=11,a^-a6=15,6i10-a8=19,

然后可逐一判断.

22

【详解】因为q=1,4+%=2、a3+a2=3,a4+a3=4,

222

a5+tz4=5,a6+a5=6,a10+«9=10,

所以2=4?-32=7,%—4=62—52=11,

“8一〃6=8一一7~=IS,%。—4=I。?-9?=19,

累加得斯)一。2=7+11+15+19=52,

22

々+52=2?—q+52=3+52=55,S5=aA+a2+a3+a4+a5=14-3+5=35,

因为〃4—%=7,4—4=7+11+15=33,所以4+/=7+33+2叼=46,

故选：ABC.

10.ABD

【分析】根据函数解析式，求出选项对应的函数值，结合等差数列的等差中项和等比数列的

等比中项的应用依次判断选项即可.

【详解】A：/⑵+〃5)=lg2+lg5=l,2/(痴)=21gM=21glO：=l，

则〃2)+〃5)=2/(710),由等差中项的应用知，

/(2)、/(9)、”5)成等差数列，所以A正确；

B：,"2)=lg2,/(4)=lg4=21g2,/(8)=lg8=31g2,

则f(2)+/(8)=2/(4),由等差中项的应用知，

八2)、/(4)、〃8)成等差数列，所以B正确；

C：/(2)+/(72)=lgl44=21gl2=2/(12),2/(12)=21g12=1g144,

则42),/(12),“72)成等差数列，又"2)二"12),所以C错误;

D：/(2)=lg2,/(4)=lg4=21g2,/(16)=lgl6=41g2,

则"(4)f=/(2)/(16),由等比中项的应用知，

/(2)、/(4)、/(16)成等比数列，所以D正确.

故选：ABD.

11.AB

【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得(。口2。/8)(4口2。/9)=(小)2(产)>1,

分析可得q>o,可得数列｛。〃｝各项均为正值，又由ey<0可得［“刈g［或［“刘

a2O2O-'［«2020>11«2020<1

由等比数列的性质分析可得口的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案.

【详解】根据题意，等比数列｛&〃｝的公比为q,若42。必202。>1,则洋I。*）=（卬）

2（产）>1,

又由内>1,必有4>0,则数列｛〃〃｝各项均为正值，

又由如三<0,即（。2。/9-1）（的2。-1）<0,则有卜刈9：或卜刈9>\

°20201[^2020>11^2020<1

仿刈。>1

又由切>1,必有OVqVl,则有《,

1^2020<1

对于A,有S2020-S20/9=a2020>0,即S2019Vs2020,则A正确；

对于B,有〃2020V1，贝〃20/如202/=（〃2020）^Vl,则B正确；

（凡①。>1

对于C,Q9,则乃0/9是数列｛772｝中的最大值，C错误，同理D错误；

1^2020<1

故选：AB

12.AD

【分析】设等比数列｛%｝的公比为4（4N0），利用等比数列的定义结合特例法可判断各选项

的正误.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4（4W0）,

1

牛=2=1,则是以上为公比的等比数列，A对；

±%qq

a„

k=o时，他=0,则｛机,｝不是等比数列，B错；

%+4,+1=4+4“=4,（1+4），4=-1时，%+4,+1=°，

此时｛。“+。,用｝不是等比数列，C错;

2

攀=42,所以，｛4；｝是公比为才的等比数列，D对.

故选：AD.

13.BD

(分析】依题意可得S54s6且S74s6,即可得到620,%40,再根据d工0,即可得到d<0,

4>0,最后根据等差数列前〃项和公式及下标和性质判断53；

【详解】解：因为S,,VS6,所以s54s6且S7Vs6,B|J«6=S6-S5>0,a7=S7-S6<0,因

为d#0即。6、%不同时为零,所以d=%-4<0，因为42°，即4+5420,所以4>0,

6=13(%；。)=13%40,故D正确；出不一定为零，故C错误；

故选：BD

14.BCD

【分析】根据数列和函数关系，转化为/(4)>%,即函数Ax)图象上任意一点Q,y)都满足

y>x,利用数形结合即可求解.

【详解】解：由4”=/(%)且即/(%)>%,即函数人力图象上任意一点(x,y)都

满足V>x,结合选项可知函数y=f(x)的图象不可能是BCD,

故选：BCD.

15.ABC

【分析】结合已知条件以及选项，逐项分析计算即可得出结论.

【详解】为49=(2149—2021)+60的余数=128+60的余数=8,所以A对；由。”的定义得，

4+60=”“，所以B对：假设C的结论不成立，则〃=机，所以”“=4"，这与已知生尸耳,矛

盾，所以假设不成立，所以C对；若为=59,则。向=0,所以D错.

故选：ABC.

16.CD

【分析】当”=1时，解出4,当〃*2时，由退位相减法求得2(q,+a,,.1)=(«„+%)(%-%)，

讨论勺+“,1=0和4,+%#0,求出数列伍“｝的通项，再依次判断即可.

【详解】当〃=1时，4S]=a；+2(?!=4«,,解得4=0或4=2,当时，4s—=a“_J+2a,,..,

22

4%=4s“-4S,i=a,,+2a„-a,,,,-2«„,l,

整理得2(4,+a,i)=(q,+*)(%-a,-)，当4,+4-|=。时，若q=。，可得”“=。此时为等

差数列，若4=2,二=-1,

a„-i

可得数列他“｝为等比数列，%=2,(—I)”、当。“+4一户0时，可得a,,-a,i=2,数列｛4｝为

等差数列，

若q=0,可得a,=2〃-2,若4=2,可得%=2〃；故A错误；B错误：C正确；当为=0

时，$4=0;

当q=2・(一1户时，邑=2+(-2)+2+(-2)=0；当a“=2〃-2时，S&=等、4=12；当q=2〃

2IQ

时，s4=—^x4=20；故D正确.

故选：CD.

17.AD

【分析】由题可得4+1=2。,,+1,进而可得｛。“+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，可

得a“=2T,即得.

【详解】将圆盘从小到大编为1,2,3,号圆盘，则将第”+1号圆盘移动到3号柱时，需先将

第1〃号圆盘移动到2号柱，需次操作；

将第〃+1号圆盘移动到3号柱需1次操作；

再将1〃号圆需移动到3号柱需。“次操作，

故4+i=2a”+1,%+l=2(a“+l),又4=1,

•••｛4+1｝是以2为首项,2为公比的等比数列,

4+1=2x2"-'=2",即an=2"-1,

%=3,%=7.

故选：AD.

18.ABD

【分析】结合f(X)周期性和函数/(X)在［0,2］的解析式画出fW的图象，将g(x)=f(x)-k的

零点转化为函数图象交点问题，分情况讨论g(x)=fM-k的零点即可.

【详解】由已知，/(x+2)=/(x),则，(x)的周期为2.其大数图象如图所示，由图可知,

①当％=0时,g(x)零点为1、3、5、7、…，满足题意；

②当k=l时，g(x)零点为0、2、4、6、…，满足题意；

③当&e(0,l)时，若零点从小到大构成等差数列｛怎｝,公差只能为1.

由1-%=在」="”，得与=2—0,止匕时&=1_与=应_1；

3-々3-(占+1)[r

④当女€(7,0)=(1,心)时，函数g(x)无零点，不符合题意.

故选：ABD.

19.BD

【分析】举特例i=l</=3,4=-2=%可说明A不符合题意，同理可说明C不符合题意;

依据“鲤鱼跃龙门数列''的定义，可说明B,D.

【详解】对于A,不妨取i=l</=3,但q=-2=q,不满足故A错误；

1

对于B,q,=碧=1-2，对V，•，%N*,若y・，则7g

7^2

则1-」--:~即4〈知，故B正确；

i+2y+2

对于C,不妨取，=2＜/=4,但%=0=4,不满足《＜勺，故C错误;

对于D,an=ln-=ln(l---1),对ViJcN*,若，＜/,则」^＞三y,

n+ln+lz+1J+1

则1一」~7＜1一-,故ln(lOclnQ--；―-),即《＜。八故D正确;

z+1j+lz+1J+1

故选：BD

20.BD

【分析】分别令q=2021、区,=2023,解出〃的值，可判断A选项；利用等差数列的定义

可判断B选项；解不等式。“>心可判断C选项；利用等比数列的求和公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，分析可知当”为奇数时，%=2〃+1为奇数，

当"为偶数时，*="2为偶数，

令q=2"+1=2021可得〃=1010,不合乎题意，

令/=2/1+1=2023可得”=1011,合乎题意，

所以，2021不是数列他i}(〃eN.)中的项，2023是数歹U{%-}("eN")中的项，A错；

对于B选项，因为《向—Ge=[2(2/7+1)+1]-[2(2«-1)+1]=4,

所以，数歹!){外,1}(”€^^*)是公差为4的等差数列，B对；

对于C选项，若攵为偶数，由42A>〃3人可得4公>9/，矛盾，

若改为奇数，由可得4%2>6%+1,即4产一6Z-1>0,解得%>土叵，

4

所有满足条件k>小画的奇数k都合乎题意，

4

所以，有无限个整数k使得成立，C错；

a4"+i

对于D选项，2"为偶数，贝1旬=Q")2=4"，，上=/=4且4=4,

所以，数列{%,}是以4为首项，以4为公比的等比数列，

所以，5=也夕=竺a<竺.1，D对.

〃1-433

故选：BD.

21.BCD

【分析】根据首项判断A,由递推关系式可推出数列为递减数列，据此放缩后可判断D,再

由」一='+《,放缩可得据此可判断BC.

【详解】由4=1知，A错;

1_1

+a.,a,=1>0,a„>0,""""也=a">0,a„>an+l,

anan+\

〃=1时，Sj=1;

〃22时，S〃=q+〃2+…+4<q+