天津市河西区2024届高考数学倒计时模拟卷含解析

天津市河西区实验中学2024届高考数学倒计时模拟卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等比数列｛4｝的各项均为正数，设其前"项和S“，若用=4"(〃eN*)，则S5=()

A.30B.3172C.1572D.62

2.如图，平面四边形ACBD中，ABLBC,AB=6BC=2,AABD为等边三角形，现将沿A5翻

折，使点。移动至点P,且则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()

3.已知函数Ax)满足当无＜0时，2f(x-2)=f(x),且当xe(—2,0］时，/(x)=|x+11—1；当x＞0时，

/。)=108〃双。＞0且。/1).若函数/(*)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则。的取值范围是()

A.(625,+oo)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

4.已知acR,beR,贝!)“直线ax+2y-l=0与直线(a+l)x-2ay+l=0垂直”是“。=3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.下列函数中，图象关于y轴对称的为()

A."MgB./(x)=j7+2x+，7-2x,xe[-l,2]

X,-x

C./(x)=sin8xD.f(x)=—

X

6.已知｛%｝为正项等比数列，s“是它的前”项和，若q=16,且％与内的等差中项为。，则项的值是()

O

A.29B.30C.31D.32

7.如图，在AABC中，点。为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则PA+尸。=

195711027

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+—BCD.-BA+-BC

33999999

8.数列｛〃〃｝满足：q=：，。〃一。〃+1=2a〃a〃+i，则数列｛。/向｝前10项的和为

1020918

A.—B.—C.—D.—

21211919

9.已知定义在R上的函数/(x)在区间[0,+8)上单调递增，且y=/(x—1)的图象关于x=l对称，若实数。满足

flog/</(-2),则。的取值范围是()

I2)

A.[ofB.C,D.(4,+oe)

10.已知函数%+后大有两个不同的极值点看，x2,若不等式/(%)+/(%2)>2(玉+12)+，有解，贝!K

的取值范围是()

A.(~℃,—2In2)B.(—co,-21n2]

C.(-w,-ll+21n2)D.(-oo,-ll+21n2]

11.2021年部分省市将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生

物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

11

A.-B.-

84

11

C.—D.一

62

12.已知锐角。满足2sin2o=l-cos2。，则tana=()

1

A.-B.1C.2D.4

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/（x）=12一"41函数8⑴=/⑴+/（—%），则不等式g（x）<2的解集为__.

（%-1）,%>1

但x>0

14.设/（x）=x'（其中e为自然对数的底数），g（x）=/2（x）—（2根-l）/（x）+2,若函数g（x）恰有4

-2019%,x<0

个不同的零点，则实数机的取值范围为.

15.各项均为正数的等比数列｛4｝中，S“为其前几项和，若%=1，且$5=邑+2,则公比q的值为.

22

16.若椭圆C：二+――=1的一个焦点坐标为（0,1）,则C的长轴长为.

mm-1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在平面直角坐标系xOv中，直线/的参数方程为｛°ca为参数），以坐标原点。为极点，X轴的

U=3-2，

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=4sine.

（1）求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线/与曲线C交于A、B两点,求AQ钻的面积.

18.（12分）已知三棱柱A3C—4用孰中，AB=BB［=2,。是的中点，/B/A=60。，BXD±AB.

（1）求证：AB±AC；

（2）若侧面ACC】A为正方形，求直线用。与平面G所成角的正弦值.

19.（12分）［选修4-4：极坐标与参数方程］

x=V2+V2cosa

在直角坐标系xQy中，曲线C］的参数方程为（&是参数），以坐标原点。为极点，左轴的正半轴

y=yj2sina

为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为Q=4sin，.

（1）求曲线G的极坐标方程和曲线02的直角坐标方程;

⑵若射线e=,O＜，＜m与曲线G交于。，A两点,与曲线交于。，3两点，求3+|冲取最大值时tan6

的值

20.（12分）在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线石：丁2=2勿（°＞0）的焦点为产，准线为/,尸是抛物线上E上

一点，且点尸的横坐标为2,|母1=3.

（1）求抛物线E的方程；

（2）过点尸的直线机与抛物线E交于4、B两点，过点/且与直线机垂直的直线〃与准线/交于点"，设A3的

中点为N,若。、MN、E四点共圆，求直线加的方程.

21.（12分）已知椭圆C：三+\=1（。〉6〉0）的离心率为?，右焦点为抛物线V=4x的焦点

（1）求椭圆C的标准方程；

4

（2）。为坐标原点，过。作两条射线，分别交椭圆于4、N两点，若OM、GV斜率之积为一彳，求证：△MON

的面积为定值.

22.（10分）已知O为坐标原点，点耳（—也,0）,与（板,0），S（372,0）,动点N满足|g|+|NS|=4g,点P

为线段Nf；的中点，抛物线C：一=2加火〃2〉0）上点A的纵坐标为#,OA.OS=6屈

（1）求动点P的轨迹曲线W的标准方程及抛物线。的标准方程；

（2）若抛物线C的准线上一点。满足OPLOQ,试判断薪干+就产是否为定值，若是，求这个定值；若不是,

请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据%。用=4",分别令”=1,2,结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公

式，最后利用等比数列前"项和公式进行求解即可.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为4,由题意可知中：。]>0,4〉0.由。“。用=4",分别令〃=1,2,可得的2=4、。2%=16,

a,-a,-a=4fa,=J2

由等比数列的通项公式可得：C2匕=，

c^-q-a^q=16[q=2

因此S5=也1_2.=3172.

51-2

故选：B

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.

2、A

【解析】

将三棱锥P-A5C补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角

形的外心连线上，在舟OBE中,计算半径08即可.

【详解】

由PBLBC,可知3C，平面%8.

将三棱锥P-ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同.

BC

由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，

记ZXABP的外心为E，由人钻。为等边三角形，

可得BE=1.又0E=g=l,故在OBE"中，OB=0，

此即为外接球半径，从而外接球表面积为8».

故选：A

【点睛】

本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.

3、C

【解析】

先作出函数/■(》)在(-8,0］上的部分图象，再作出/(x)=log.x关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点

时满足的条件，解之即可.

【详解】

先作出函数/Xx)在(一*0］上的部分图象，再作出"X)=logflx关于原点对称的图象，

如图所示，当0<。<1时，对称后的图象不可能与在(-8,0］的图象有3个交点；

当。>1时，要使函数fM关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，

^・6M4-2r\<

a>l

贝卜—log.3〉—g,解得9<a<625.

,u1

-logfl5<--

故选：c.

【点睛】

本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.

4、B

【解析】

由两直线垂直求得则a=0或。=3,再根据充要条件的判定方法，即可求解.

【详解】

由题意，“直线ax+2y-1=G与直线(a+l)x-2ay+1=0垂直”

则a{a+1)+2x(—2a)=0,解得a=0或Q=3,

所以“直线依+2y-1=0与直线(a+l)x—2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件，故选B.

【点睛】

本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得。的值，同时

熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

5、D

【解析】

图象关于y轴对称的函数为偶函数，用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.

【详解】

图象关于y轴对称的函数为偶函数；

A中，xeR,f1,故=为奇函数；

J(-x)~+lVx2+l

5中，/(x)=j7+2x+J7-2x的定义域为[-1,2],

不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

C中，由正弦函数性质可知，f(x)=sin8x为奇函数；

。中，xeR且xwO,于(-x)=:=/(©,故/(x)=e'+：'为偶函数.

(—X)x~

故选：D.

【点睛】

本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法：

(1)定义法：对于函数“元)的定义域内任意一个x都有/(x)=-/(-x),则函数f(x)是奇函数；都有/(x)=A(-幻,

则函数『(X)是偶函数

(2)图象法：函数是奇(偶)函数O函数图象关于原点(V轴)对称.

6、B

【解析】

设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计

算即可得到所求.

【详解】

设正项等比数列的公比为q,

则a4=16q3,a7=16q6,

a’与a7的等差中项为W9，

即有34+37=—,

4

9

BP16q3+16q6,=—,

4

解得q=；（负值舍去）,

2

故选C.

【点睛】

本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题.

7、B

【解析】

PA+PC=BA~BP+BC-BP=BA+BC-^BQ,将BQ=BA+AQ=葩+gAC,AC=BC—BA代入化简即

可.

【详解】

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC-^BQ

=BA+BC-|(BA+Ag)

=-BA+BC--x-AC

333

1?57

=-BA+BC——(BC-BA)=-BA+-BC.

3999

故选:B.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.

8、A

【解析】

11c1

分析：通过对an-an+i=2anan+i变形可知--------=2,进而可知4=------,利用裂项相消法求和即可.

aa

n+ln2n~1

11-

详解：；,二--=2.

an+\an

...；=；+2（n—3）=2n-l,gpa；）=—^—,

/2〃-1

a“％+i=^（a„-4+i）=〈j1-1I，

22^2n-l2n+ly

；・数列｛。九%+1｝前10项的和为万］1_§+§_勺+

故选A.

点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子

的结构特点，常见的裂项技巧：(1)一不=717(2)「---『+k-赤);(3)

n[n+k)k\nn+kJ弋n+kkv'

]_J_(_[______]__y]=,^hn〃+i)；〃+2)；此外'需注意裂项

(2w-l)(2n+l)~2{2n-l~2n+lJ；⑷n(n+l)(n+2)-2

之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

9、C

【解析】

根据题意，由函数的图象变换分析可得函数y=/(x)为偶函数，又由函数y=/(x)在区间上单调递增，分

/、

析可得ylog/<f(-2)f(|log2tz|)</(2)|log2a\<2,解可得。的取值范围，即可得答案.

\2J

【详解】

将函数y=/(%—1)的图象向左平移1个单位长度可得函数y=/(£)的图象，

由于函数y=/(%—1)的图象关于直线％=1对称，则函数y=f(x)的图象关于y轴对称，

(\

即函数y=/(x)为偶函数,由/logy</(-2),得"|log24)</(2),

I2)

函数y=/(x)在区间[0,+8)上单调递增，则|log24<2,得—2<log2i<2,解得:<Q<4.

因此，实数。的取值范围是]:,4

故选：c.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数y=/(%)的奇偶性，属于中等题.

10、C

【解析】

先求导得r(x)=2a『—J+1(%>0),由于函数/(九)有两个不同的极值点再，/，转化为方程2依2—%+1=。有

X

两个不相等的正实数根，根据/,%+々，求出"的取值范围，而/(玉)+/(七)>2(%+为2)+/有解，通

过分裂参数法和构造新函数力(。)=-力-l-ln(2a)[0<a<g；通过利用导数研究/z(a)单调性、最值，即可得出♦

的取值范围.

【详解】

由题可得：f(x)=2-~~X+1(x>0),

X

2

因为函数/(x)=ax-x+lnx有两个不同的极值点占，x2,

所以方程2依2-x+1=0有两个不相等的正实数根，

A=1—8〃>0,

于是有%+%2=—>0,解得0<6Z<—.

2a8

=—>0,

122a

若不等式/(%)+/(%)>2(%+%2)+r有解，

所以/<[/(再)+/(%)-2&+%)]厘

因为〃%)+/(%)—2(%+x2)=鬲一%+lnXj+遍一兀2+lnx2-2(玉+x2)

=〃[(再+%2J-2X1%2J-3(X1+x2)+ln(x1x2)=.

设/z(a)—------1—ln(2〃)|0<67<一|,

4aI8)

/(a)=上学>0,故/。)在jo」]上单调递增，

4a一I8J

故")<W=—ll+21n2,

所以f<—n+21n2,

所以t的取值范围是(―8,—11+21n2).

故选：C.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算

能力，有一定的难度.

11、B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率。=—=一,

124

故选B.

12、C

【解析】

利用sin2a=2sinacosa,cos2。=1一2sin2a代入计算即可.

【详解】

由已知，4sinacos«=2sin2«>因&为锐角，所以sintzwO,2coscir=since,

即tana=2-

故选：C.

【点睛】

本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、[-2,2]

【解析】

3+x,x<-13-x,x>1

/(%)=<l-x,-l<x<l,/(-x)=<1+%,-1<X<1,

,x>1(x+l)~,x<-1

x2+3x+4,x<-1

所以g(x)=2,-IVxVl,

x2-3x+4,x>1

所以g(x)W2的解集为［-2,2］。

点睛：本题考查绝对值不等式。本题先对绝对值函数进行分段处理，再得到了(-x)的解析式，求得g(x)的分段函数

解析式，再解不等式g(%)W2即可。绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理。

14、m>2

【解析】

求函数1(x),研究函数的单调性和极值，作出函数Ax)的图象，设f=/(x),若函数g(x)恰有4个零点，则等价为

函数/z(Z)=Z2-(2m-l)/+2有两个零点，满足/>1或利用一元二次函数根的分布进行求解即可.

【详解】

当%>0时，F(x)=e(l

X

由/'(%)>。得：1-Znr>0,解得0<x<e,

由广(x)<。得：1一/加<0,解得x〉e,

即当x=e时，函数/(尤)取得极大值，同时也是最大值，f(e)=1,

当xf中»,y(x)f。，

当XfO,/(x)f-8,

作出函数/'(x)的图象如图,

设［=/(%),

由图象知，当/〉1或/<0,方程r=/(x)有一个根,

当/=0或/=1时，方程”/(X)有2个根,

当0</<1时，方程f=/(x)有3个根，

则g(x)=f(x)-(2m-1)/(%)+2,等价为/!(?)=?-(2m-l)Z+2,

当［=0时,/7(0)=240,

二若函数g(x)恰有4个零点，

则等价为函数的）=/一（2相-1）?+2有两个零点，满足/>1或0</<1,

7/(0)=2>0

则

/?(1)<0

BPA（1）=l-2m+l+2=4-2/n<0

解得：m>2,

故答案为：7">2

【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及.求的导数，研究函数的/（X）的单

调性和极值是解决本题的关键，属于难题.

V5-1

15、

2

【解析】

将已知由前"项和定义整理为。3+%+%=2,再由等比数列性质求得公比，最后由数列｛风｝各项均为正数，舍根得

解.

【详解】

因为—kS<2+2=>%+%+生+。4+〃5=4+%+2—/+。4+%=2

-1±A/5

即〃3+i3V+o3v2=2nq2+g-i=0ng=

-2~

又等比数列｛4｝各项均为正数，故"=与1

故答案为：避二

2

【点睛】

本题考查在等比数列中由前〃项和关系求公比，属于基础题.

16、2百

【解析】

由焦点坐标得根2-1-m=1从而可求出7〃=2,继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.

【详解】

解：因为一个焦点坐标为(0」)，则根2—1—771=1,即加之—777—2=0,解得加=2或机=—1

2222

由二+Y—=1表示的是椭圆，贝!|加＞0,所以加=2,则椭圆方程为乙+工=1

m-132

所以a=-\/3,2a—2＞/3•

故答案为：2班.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略机＞0,从而未对的两个值进行取舍.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、⑴l:2x+y-3=0,C:x+y-4y^0；(2)^1.

【解析】

(1)在直线/的参数方程中消去参数f可得出直线/的普通方程，在曲线C的极坐标方程两边同时乘以夕，结合

'n2=x2+V2

■可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

Qsm。=y

(2)计算出直线/截圆C所得弦长|人耳，并计算出原点。到直线/的距离d',利用三角形的面积公式可求得AGL4B的

面积.

【详解】

X—t

(1)由1cc得y=3-2x,故直线/的普通方程是2x+y—3=0.

U=3-2f

一二42

由夕=4sin6»,得"=4psin。，代入公式-得1+丁2=4丫，得一+/一分=。，

[psm3=y

故曲线C的直角坐标方程是/十/一4丁=o；

(2)因为曲线C:f+y2—4y=0的圆心为(0,2),半径为厂=2,

圆心(0,2)到直线2x+y—3=0的距离为1=卑)=且，

则弦长|AB|=2,2—屋=2

又。到直线/：2x+y—3=0的距离为/=以=递,

v55

3回

所以SAOAB」|A8|x"x亚"

2112555

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力,

属于中等题.

18、(1)证明见解析(2)空

5

【解析】

(1)取A3的中点。，连接8,。耳，证明A3,平面。。用得出A3,OD,再得出ABJ_AC；

(2)建立空间坐标系，求出平面GA。的法向量〃，计算cos<〃，与。〉即可得出答案.

【详解】

(1)证明：取AB的中点。，连接8,OBy,

N43A=60。，B[B=2,OB=^AB=1,

OB1=。4+1-2x2xlxcos60°=y/3,

OB2+OB；=BB；,故AB_L06,

又AB_LBQ,OB,(BXD=B,,平面。。及，

A3，平面。。四，

AB±OD,

O,。分别是AB,的中点，，。。//人。，

:.AB±AC.

(2)解：四边形ACGA是正方形，•••ACLAA，

又ACLAB,ABQA4,=A,AB,A4,u平面A531A，

.•.47，平面45用4，

在平面内作直线A5的垂线AE,以A为原点，以AB,AC,AE为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系

A-xyz,

则A(0,0,0),0(1,1,0),G(-l,2,邪),男(1,0,5,

AD=(1,1,0),AG=(-1,2,73),4。=(0,1,-A/3),

n-AD-0

设平面的法向量为〃=（x,y,z）,贝小

n-AC}二0

令x=l可得：〃=（1,—1,石），

/.cos<n监＞=2禽=+一竽

利＞1=咨

直线B]D与平面QAD所成角的正弦值为Icos＜〃

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题.

19、（1）G的极坐标方程为夕=20cos6.曲线。2的直角坐标方程为必+:/一分=0.（2）V2

【解析】

'222

%/_|_y/-0^

⑴先得到G的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将代入得/+y2=4y,得到

y=psinO

曲线C2的直角坐标方程；（2）设点4、B的极坐标分别为（月,。），（0力），

将。=尸0＜，＜?分别代入曲线弓、。2极坐标方程得：2i=20cos〃，0=4sin〃,

|Q4|+|0/=20cos^+4sin8之后进行化一，可得到最值，此时夕=会-夕，可求解.

【详解】

x=0+42cosal

(1)由<r得％2_20x+y2=o,

y=^Isina

x2+y2=p2

将“二代入得:

X=pcosd

Q=20COS。，故曲线q的极坐标方程为夕=20cos。.

由夕=4sin8得O2=42sin。，

将“=P代入得犬+/=4'，故曲线。2的直角坐标方程为V+y2—4y=0.

y=psind

⑵设点A、3的极坐标分别为g,e),(0,e),

将。=尸［。<，<曰分别代入曲线弓、。2极坐标方程得：夕］=2j5cos〃，夕2=4sin〃,

=

JU!)|OA|+1OB^=2-\/2cosy0+4siny5=2A/6sin^-+cos/3'2-\/6sin,其

中9为锐角，且满足sino=l8,cos°=95,当£+夕=彳时，|。4|+|。闿取最大值，

332

7T

此时,=_—2=上叶=肥

2sinesin。J3

T

【点睛】

这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代

表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，

其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些.

20、(1)>2=4%(2)y=±拒(X-1)

【解析】

(1)由抛物线的定义可得|P司=2+9即可求出乙从而得到抛物线方程；

(2)设直线加的方程为x=O+l,代入y2=4x,得/_4什一4=0.

设4(%,%),3(%,%)，列出韦达定理，表示出中点N的坐标，若。、M>N、E四点共圆，再结合

得OMLON,则OM.ON=0即可求出参数乙从而得解；

【详解】

解：⑴由抛物线定义，得附=2+言=3,解得p=2,

所以抛物线E的方程为y2=4x.

(2)设直线机的方程为x=9+1，代入V=4x,得/一43一4=0.

设4(%,%),B(%2,y2),则乂+%=4乙％%=-4.

由％=4芯,yf=4%，得

L义=(%+%)2-2%%_(47)2—2x(—4)

Xj+X==4r+2，

244-4—4

所以N(2r+l,2t).

因为直线的斜率为:，所以直线〃的斜率为-人则直线”的方程为y=-《x-1).

解得"(—1,2/).

若。、M，N、尸四点共圆，再结合MVLRV/,得OMLON,

解得t=±42,

贝!|QM-QN=—lx(2/+l)+2>2f=2F—l=0,

2

所以直线m的方程为j=±V2(x-l).

【点睛】

本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.

22

21、(1)—+^=1；(2)见解析

54

【解析】

(1)由条件可得c=l,再根据离心率可求得。力，则可得椭圆方程；

(2)当MN与x轴垂直时，设直线的方程为：x=4-〈/＜与椭圆联立求得的坐标，通

过ON斜率之积为-g列方程可得f的值，进而可得△MQV的面积；当肱V与左轴不垂直时，设"(七,％),

Nl9,%)，MN的方程为丫=履+加，与椭圆方程联立，利用韦达定理和。暇、(加斜率之积为-g可得

2"/=5尸+4,再利用弦长公式求出MN,以及。到的距离，通过三角形的面积公式求解.

【详解】

(1)抛物线/=4x的焦点为b(1,0),

7.C=1,

V5c非

e——，「.———

5a5

.\a=59b=29

22

椭圆方程为土+匕=1;

54

(2)(i)当MN与x轴垂直时，设直线的方程为：x=t(-y/5<t<45,t^0

45-t2_4

5-t---5

5

解得：t29=-

29

(ii)当MN与x轴不垂直时，设N(x2,y2)9MN的方程为丁=区+加

y—kx+m

rfctJ222

tn]Xy1n（4+5k2）J+lObnx+5m-20=0,

——+—=