2024年高考数学文试题分类汇编

导数及其应用

一、选择题

1、(2016年山东高考)若函数y=/(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相

垂直，则称y=/(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是

(A)y=sinx(B)y=]nx(C)y=ex(D)y=x3

2、(2016年四川高考)已知a函数f(x)=x3—12x的极小值点，则a二

(A)-4(B)-2(C)4(D)2

3、(2016年四川高考)设直线h,12分别是函数f(x)=」"i,5图象上点Pi,P2处的

Jnx,

切线，h与12垂直相交于点P,且h,12分别与y轴相交于点A,B则则4PAB的面积的取值范围是

(A)(0,l)(B)(0,2)(C)(0,+s)(D)(l,+s)

4、(2016年全国1卷高考)若函数/(工)=苫-；5M2工+。5也工在(73,+8)单调递增，则a的取值

范围是

(A)[-1,1](B)-1,1(C)

二、填空题

1、(2016年天津高考)已知函数/(x)=(2x+l)/J'(x)为/(x)的导函数，则尸(0)的值为.

2、(2016年全国III卷高考)已知为偶函数，当xVO时,/(x)=erT—X,则曲线y=/(x)

在点(1,2)处的切线方程式.

三、解答题

1、(2016年北京高考)设函数/(%)=三+a%2+〃x+c.

(I)求曲线y=/(九).在点(0,/(0))处的切线方程；

(II)设a=b=4,若函数/(%)有三个不同零点，求c的取值范围；

(III)求证：标一3匕＞0是/(%).有三个不同零点的必要而不充分条件.

2、(2016年江苏省高考)

已知函数/(x)=ax+bx(a>O,b>O,a^l,b丰1).

(1)设。=2力=’.

2

①求方程/(X)=2的根；

②若对任意x€R,不等式/(2x)>mf(x)-6恒成立，求实数m的最大值;

(2)若函数g(x)=〃x)—2有且只有1个零点，求的值.

3、(2016年山东高考)fix)=xlwc-cuc1+(2a-l)x,a£R.

(I)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间；

(II)已知;(%)在x=l处取得极大值.求实数〃的取值范围.

1p

4、(2016年四川高考)设函数f(x)=ax2—a—Inx,g(x)q—蔡，其中aGR,e=2.718…为自然对数

的底数。

(I)讨论f(x)的单调性；

(II)证明：当x>l时，g(x)>0；

(III)确定。的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1,+00)内恒成立。

5、(2016年天津高考)设函数f(x)=/-ox-b,xGR,其中

(I)求/(x)的单调区间;

(II)若/(x)存在极值点了0,且/(再)=/(%0)，其中国H》,求证：xl+2x0=Q；

(III)设。＞0,函数g(x)=|/(x)|,求证：g(x)在区间［-1刀上的最大值不小于工.

,•,4

6、(2016年全国I卷高考)已知函数KDuG-ZT+Xx-l尸

(I)讨论f(x)的单调性；

(II)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

7、(2016年全国H卷高考)已知函数/(%)=(x+l)lnx-a(x-l).

(I)当a=4时，求曲线y=/(x)在(1,/⑴)处的切线方程;

(II)若当xe(L+。。)时，f(x)X),求。的取值范围.

8、(2016年全国HI卷高考)设函数/(x)=lnx-x+l.

(I)讨论y(x)的单调性；

(II)证明当xe(l,+。。)时，1<--<x；

Inx

(III)设c>l,证明当xe(O,l)时，l+(c-l)x>c\

9、(2016年浙江高考)

々

设函数，(x)=d+——1,九£[0,1].证明：

1+x

33

(I)/(x)>l-x+x2；(II)—<f(x)<—.

42

2016年高考数学文试题分类汇编

导数及其应用

一、选择题

1、(2016年山东高考)若函数y=/(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相

垂直，则称y=/(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是

(A)y=sinx(B)y=lnx(C)y=e'(D)y=x3

【答案】A

2、(2016年四川高考)已知a函数f(x)=x3—12x的极小值点，则a=

(A)-4(B)-2(C)4(D)2

【答案】D

3、(2016年四川高考)设直线h,12分别是函数f(x)=；"i.5图象上点Pi,P2处的

jinx.x>\

切线，h与b垂直相交于点P,且li,12分别与y轴相交于点A,B则则4PAB的面积的取值范围是

(A)(0,l)(B)(0,2)(C)(0,+s)(D)(l,+s)

【答案】A

4、(2016年全国I卷高考)若函数/(x)=x-；sin2x+asinx在(T»,+CO)单调递增，则.的取值

范围是

(A)-1,1](B)—1,—(C)

【答案】C

二、填空题

K(2016年天津高考)已知函数/(x)=(2x+l)/J'(x)为/(x)的导函数，则尸(0)的值为.

【答案】3

2、(2016年全国III卷高考)已知"X)为偶函数，当xWO时，/(x)=—x,则曲线y=f[x}

在点(1,2)处的切线方程式.

【答案】y=2x

三、解答题

1、(2016年北京高考)设函数=9+依2+〃x+c.

(I)求曲线y=/(x).在点(O,/(O))处的切线方程；

(II)设a=Z?=4,若函数/(九)有三个不同零点，求c的取值范围；

(III)求证：储一3匕>0是/(%).有三个不同零点的必要而不充分条件.

解：(I)由/(X)=三+q2+法+0,得r(x)=3f+2ox+/?.

因为〃0)=c,f(O)=b,

所以曲线y=/(九)在点(0,/(0))处的切线方程为y=bx+c.

(II)当。=/?=4时，/(x)=x3+4x2+4x+c,

所以/，(耳=3*+8]+4.

2

令r(x)=0,得3%2+8%+4=0,解得x=-2或x=-“

/(%)与/'(%)在区间(-oo,yo)上的情况如下：

_2

(f-2)

X-2GV-3

/'(X)+0—0+

32

SJI

Cc---

27

所以，当c>0且。一”<0时，存在%£(-4,-2),x2,

七,使得/(石)=/(9)=/(项)=。.

由/(%)的单调性知，当且仅当ce[o,j1]时，函数/(力=%3+4%2+4》+。有三个不同零点.

(III)当A=4a?—125<0时，/f(x)=3x2+2ax+b>0,xe(^o,+oo),

此时函数/(%)在区间(f。,+8)上单调递增，所以“力不可能有三个不同零点.

当A=4〃2—126=0时，/'(力=3/+2G;+)只有一个零点，记作

当时，/'(x)>0，"可在区间(TAX。)上单调递增；

当工«尤0，内)时，/'(九)〉0,/(%)在区间优，+co)上单调递增.

所以/(x)不可能有三个不同零点.

综上所述，若函数/(x)有三个不同零点，则必有A=4a2_i2b>0.

故储-3>>0是/(%)有三个不同零点的必要条件.

当a=/?=4,c=0时，a2-3b>0,/(x)=d+4/+4尤=*(％+2)2只有两个不同

零点，所以6?-3〃>0不是/(九)有三个不同零点的充分条件.

因此标―3/>0是/(%)有三个不同零点的必要而不充分条件.

2、(2016年江苏省高考)

已知函数f(x)=ax+b\a〉0,6〉0,awl,b丰1).

(2)设〃=2力=

2

①求方程/(X)=2的根；

②若对任意％£R,不等式/(2x)>mf(x)-6恒成立，求实数m的最大值；

(2)若函数g(x)=〃x)—2有且只有1个零点，求油的值.

解：(1)因为。=2]=；,所以八>)=2、+2-1

①方程/(x)=2,即2工+2一,=2,亦即(2守-2x2^+1=0,

所以(2*—1)2=0,于是2，=1,解得x=0.

②由条件知f(2x)=22X+2^=(2X+2-X)2-2=(f(x))2-2.

因为f(2x)>〃矿(x)—6对于xeR恒成立，且f(x)>0,

所以根<6x))2+4对于％eR恒成立.

而写『寸⑺+篇"…・」4,且6°)八4=4,

f(x)/(0)

所以加W4,故实数机的最大值为4.

(2)因为函数g(x)=/(x)—2只有1个零点，而g(0)=/(0)—2=。°+/—2=0,

所以0是函数g(x)的唯一零点.

因为g(%)=，In〃+Z/In6,又由0<a<1,Z?>1知In〃<0/nb>0,

所以g(x)=0有唯一解％=log8(-粤)•

令h(x)=g(x)，则h(x)=(axlna+bxInb)=ax(ina)2+bx(inb)2,

从而对任意xeR,A(x)>0,所以且'(劝=/1(乃是(-00,+00)上的单调增函数，

于是当xe(—oo,Xo),g'(x)<g'(Xo)=O；当xe(xo，+co)时，g'(x)>g'(xo)^O.

因而函数g(x)在(-oo,x0)上是单调减函数，在(x0,+oo)上是单调增函数.

下证%=0.

若与<0,则/<5<0,于是g(^)<g(O)=O，

又g(log〃2)="陶2+6地。2—2〉。氏。2—2=0,且函数g(x)在以/和log02为端点的闭区间上

的图象不间断，所以在三和log。2之间存在g(x)的零点，记为X].因为0<a<1,所以log“2<0,

又£<0,所以西<0与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.

X

若飞〉0,同理可得，在才和log。2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾.

因此，%o=O.

于是—电3=1,故lna+ln0=0,所以。0=1.

In/?

3、(2016年山东高考)f(x)=x[nx-ax2+(2a-l)x,a£R.

(1)令8任)=/8)，求g(x)的单调区间；

(II)已知於)在ml处取得极大值.求实数〃的取值范围.

解析：(I)由/'(%)=InX-2依+2a,

可得g(x)=lnx-2ar+2a,x£(0,+co),

./x1cl-2ax

贝niI(%)=——2a=--------，

xx

当a<0时，

X£(0,+8)时，g'(x)>o,函数g(x)单调递增;

当a>0时,

1寸，g'(x)>0,函数g(x)单调递增,

1

xe——,+00时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减.

2a

所以当aWO时，函数g(x)单调递增区间为(0,”)；

当a>0时，函数g(x)单调递增区间为,单调递减区间为

(II)由(I)知，/'(1)=0.

①当aWO时，/'(x)<0,/(%)单调递减.

所以当xe(O,l)时，/'(x)<0,/(%)单调递减.

当为«1,T8)时,/'(X)>O,/(尤)单调递增.

所以/(力在x=l处取得极小值，不合题意.

②当。<工时，—>

0<1,由(I)知/'(%)在内单调递增,

22a

可得当当xe(O,l)时，/'(%)<0,时，/'(x)>0,

所以“X)在(0,1)内单调递减，在1,内单调递增,

2a

所以/(%)在x=l处取得极小值，不合题意.

③当a=；时，即(=1时，尸⑺在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减,

所以当xe(0,+oo)时，/'(x)<0,/(%)单调递减，不合题意.

④当a〉工时，即0<二-<1，当xe—时，/'(x)>0,/(%)单调递增,

22a

当xe(l,+8)时,/'(x)<0,/(%)单调递减,

所以f(x)在x=l处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为。〉工.

2

1A

4、(2016年四川高考)设函数f(x)=ax2—〃一Inx,g(x)=^—6，其中〃£R，e=2.718…为自然对数

的底数。

(I)讨论f(x)的单调性；

(II)证明：当x>l时，g(x)>0；

(III)确定4的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1,+00)内恒成立。

(I)f'(x)=2«x--=2ax-1(x>0).

XX

当aVO时，f\x)<0,/(%)在(0,+oo)内单调递减.

当a>0时，由/(%)=0,有x=-^L.

y/2a

当X£(0,7亍)时，尸(九)<0,/(九)单调递减；

当xe(―=,+(»)时，f\x)>0,/(x)单调递增.

y/2a

(II)令s(x)=e"T-x,贝!|5’(九)=e*T—1.

当x>1时，s*(%)>0,所以e*1>%,从而g(%)=----->0.

xe>

(iii)由(II),当x>l时，g(x)>0.

当a«0,x>l时，/(x)=a(x2-1)-Inx<0.

故当/(X)><?(x)在区间a,+oo)内恒成立时，必有〃>o.

当0<〃<一时，一,—>1.

2岳

由⑴有/忌)…仇从而g

>0,

所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+s)内不恒成立.

当a时，令/z(x)=/(九)-g(x)(4之1).

x3—2x+1%2—2x+1„

当x>1时，h'(x)=2ctx---1—--c1">x----1—---------；---->-----；---->0

XXXXX

因此Zz(x)在区间(1,+oo)单调递增.

又因为"⑴=0,所以当x>l时，h(x)=f(x)-g(x)>0,即/(%)>g(x)恒成立.

综上，aG[^-,+oo).

5、(2016年天津高考)设函数/(%)=一〃%一匕，xeR,其中

(I)求/(x)的单调区间；

(II)若/(%)存在极值点与,且/(再)=/(Xo),其中玉W%0,求证：国+2%=0；

(III)设。>0,函数g(x)=|/(x)|,求证：g(x)在区间[―1刀上的最大值不小于工.

,•,4

(1)解：由/(x)=d—奴—沙，可得尸(x)=3%2—a,下面分两种情况讨论：

①当a<0时，有/'袅)=3必—。20恒成立，所以了(无)的单调增区间为(—8,8).

②当a>0时，令/''OOnO,解得了=半或x=—半.

当x变化时，/'(X)、/(x)的变化情况如下表：

y/3ay/3ay/3a(73a

X(-°0，-一丁)-3-r十r(一-—,+00)

0—

/'(x)+0+

单调递增极大值单调递减极小值单调递增

/(x)

所以/(%)的单调递减区间为(-，单调递增区间为(-8,-

(2)证明：因为/(%)存在极值点，所以由(1)知a>0且飞彳0.

由题意得/'(4)=3*—a=0,即需=三，affi]f(x0)=xl-ax0-b=-y-b,

8。2Q

—

又f(-2%0)=—8XQ+26?XQ-b=——XQ+2CVCQ—b———x^—b—f(x0),且2x0wx0,

由题意及（1）知，存在唯一实数X］满足/&）=/（玉）），且石力不，因此％1=-2%,

所以％1+2%0=0.

（3）证明：设g（x）在区间上的最大值为/,max{x,y}表示x,y两数的最大值，下面

分三种情况讨论:

①当a23时，—节1<14詈，由（1）知/（X）在区间［—1,1］上单调递减,

所以/（%）在区间［—1,1］上的取值范围为"⑴,/（一1）］，因止匕

M=max{[/(I),/(-I)]}=max{|\-a-b\,\-l+a-b\]=max{|a-l+b\,\a-1-b\}

a—l—b,bNO,

所以M=a—1+|加之2.

a—1—瓦/?<0,

3lyf3a

②当一时,

43

由（1）和（2）知/（—1）2

所以/(%)在区间[—1,1]上的取值范围为"C§一)"(-、]一)]，

所以max{|fC^~LI/(~~~~)1}-max{|---y/3a—b\,\-y/3a—b\]

=max{\^-y/3a+b\,\^-y/3a-b\]=^A/3^+|Z?|>-|X-|X^3X1-=^.

③当0<a<?时，一1<一名巨<之巨<1,由(1)和(2)知，

433

»<代号)/哼…⑴“季)去争,

所以/（%）在区间［—1,1］上的取值范围为"⑴"（—1）］,因此,

M=max{[/(I),/(-I)]}=max{\-l+a-b\,\\-a-b\}-max[\\-a+b\,\\-a-b\}

=l-a+\b\>^.

综上所述，当。>0时，g(x)在区间［-1,1］上的最大值不小于

4

6、(2016年全国I卷高考)已知函数《X)=(x-2)铲+a(x-1>.

⑴讨论f(x)的单调性；

(II)若f(x)有两个零点，求°的取值范围.

【解析】(I)/'(x)=(x—1)/+2a(x—1)=(x—1)(/+2a).

(i)当a»O时，则当x>l时，/'(x)>0；当x<l时，f'(x)<0

故函数f(x)在(-oo,l)单调递减，在(l,+oo)单调递增.

(ii)当a<0时，由/'(x)=0,解得：x=1或x=ln(-2a)

①若ln(-2a)=l,即。=一|>,则VxeH,f\x)=(x-l)(er+e)>0

故f(x)在(-oo,+oo)单调递增.

②若ln(-2«)<l,即a>-|,贝U当xe(f/n(—2a))(l,^x>)时，f'(x)>0；当

xe(ln(-2a),1)时,f\x)<0

故函数在(—oo,ln(—2〃))，(1,8。)单调递增；在(ln(—2*1)单调递减.

③若ln(—2a)>1,即a<—g,则当尤e(TO,1)(ln(—2a),zo)时,f'(x)>0；当

xG(l,ln(-2a))时,f'(x)<0；

故函数在(-8,1),(皿—24),+8)单调递增；在(l,ln(—2a))单调递减.

(II)(i)当a>0时，由(I)知，函数/(x)在(—8,1)单调递减，在(L+o。)单调递增.

又；/(l)=e,/(2)=a,取实数6满足人<0且bvlnT，则

f(b)>-^(Z?-2)+a(b-1)2=a(b2-—b)>0

/(x)有两个零点.

(ii)若a=0,则/(x)=(x—2)-，故/(x)只有一个零点.

(iii)若a<0,由(I)知，当42—1，则/CO在(1,+°。)单调递增，又当xWl时，f(x)<0,

故/(X)不存在两个零点;

当a<—],则函数在(ln(-2a),+8)单调递增;在(l,ln(-2«))单调递减.又当xW1时，/(%)<0,

故不存在两个零点.

综上所述，a的取值范围是(0,内).

7、(2016年全国H卷高考)已知函数/(x)=(x+l)lnx—a(x—1).

(I)当a=4时，求曲线y=/(x)在(1,/⑴)处的切线方程;

(II)若当xe(l,+8)时,f(x)X),求a的取值范围.

解析：(D/(幻的定义域为(0,+8).当。=4时,

/(x)=(x+l)lnx-4(x-l),/,(x)=lnx+--3,/'(I)=-2,/(l)=0.

X

所以曲线y=/(x)在(1,/(D)处的切线方程为2x+y-2=0.

(II)当xe(l,+oo)时，/(x)>0等价于Inx-~—>0.

x+1

/、.a(x-1)

令g(x)=lnx------—，

x+1

2ax~+2(1—a)x+1

屈1)=0,

叫"(X+1)2x(x+l)2

(i)当aW2,xG(1,+oo)时,x~+2(1—ci)x+12x?—2x+1>0,

故g'(x)>0,g(x)在xe(1,+8)上单调递增,因此g(x)>0；

(ii)当a>2时，令g'(x)=0得%~ci-I——1)"—1,%=a—1+-y(<7—1)—1，

由々〉1和工1%2=1得%<1，

故当xe。,4)时，g'(x)<0,g(x)在xeQ,4)单调递减，因此g(x)<0.

综上，a的取值范围是(TO,2].

8、(2016年全国HI卷高考)设函数/(x)=lnx-x+l.

(I)讨论/'(%)的单调性；