2024届江苏省南通市崇川区中考一模数学试题含解析

2024学年江苏省南通市崇川区八一中学中考一模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.-3的相反数是（）

11cC

A.--B.-C.-3D.3

33

2.一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）.

3.如图，直线AB〃CD,AE平分NCAB,AE与CD相交于点E,ZACD=40°,则NDEA=()

z______♦t/B

A.40°B.110°C.70°D.140°

x+1>0

4.不等式组［x—3〉。的解集是()

A.x>—1B.x>3

C.—1VXV3D.x<3

5.计算3x2y.2x3y2小盯3的结果是().

A.5x5B.6x4C.6x5D.6%4y

6.如图，在RSABC中，ZACB=90°,点D,E分别是AB,BC的中点，点F是BD的中点.若AB=10,贝《EF二

()

A.2.5B.3C.4D.5

7.一元二次方程X2-3x+l=0的根的情况()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.以上答案都不对

8.一元二次方程X2+2X-15=0的两个根为（）

A.Xj=-3,x2=-5B.X]=3,X2=5

C.X]=3,x2=-5D.Xj=-3,X2=5

9.二次函数y=ax2+c的图象如图所示，正比例函数y=ax与反比例函数y=£在同一坐标系中的图象可能是（）

A.B.C.D.

%2+2x—3

10.分式J1—的值为0,则x的取值为（)

W-1

A.x=-3B.x=3C.x=-3或x=lD.x=3或x=・l

11.如图，△ABC中，ZCAB=65°,在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC〃AB,则NBAE

等于（）

A.30°B.40°C,50°D.60°

12.如图，△AbC的面积为12,AC=3,现将△ABC沿45所在直线翻折，使点。落在直线上的。处，P为直线

上的一点，则线段的长可能是（）

A.3B.5C.6D.10

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2,ZBAC=30°.在图中画出弦AD,使AD=1,则NCAD的度

数为

15.函数二1自变量x的取值范围是.

x—3

3

16.如图，RtAABC中，ZC=90°,AB=10,cosB=_,则AC的长为

17.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与运费y(元)满足如图所示的函数图象，那么每位乘客最多可

免费携带—kg的行李.

k

18.如图，点A,B是反比例函数y=—(x>0)图象上的两点，过点A,B分别作AC_Lx轴于点C,BD_Lx轴于点D,

x

连接OA,BC,已知点C(2,0),BD=2,SABCD=3,则S.AOC=—.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，已知NABC=ZDCB,ZACB=ZDBC,求证AB=DC.

20.（6分）如图，在矩形A5CD中，E是5c边上的点，AE=BC,DF1AE,垂足为F.

（1）求证：AF=BE；

（2）如果BE：EC—2-1,求ZCDF的余切值.

21.（6分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低.马迹塘一农户需要将A,B两种

农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A,B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运

费比原来减少了300元，A,B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示：

品种AB

原来的运费4525

现在的运费3020

（1）求每次运输的农产品中A,B产品各有多少件；

（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加8件，但总件数中

B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元.

22.（8分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,以5C为直径作。。交45于点。，取AC的中点E,边结。E,OE、

OD,求证：OE是。。的切线.

23.(8分)某村大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，该村果农小张种植了黄桃树和苹果树，为进一步优化

种植结构，小张将前年和去年两种水果的销售情况进行了对比：前年黄桃的市场销售量为1000千克，销售均价为6

元/千克，去年黄桃的市场销售量比前年减少了m%(m#)),销售均价与前年相同；前年苹果的市场销售量为2000千

克，销售均价为4元/千克，去年苹果的市场销售量比前年增加了2m%,但销售均价比前年减少了m%.如果去年黄

桃和苹果的市场销售总金额与前年黄桃和苹果的市场销售总金额相同，求m的值.

24.(10分)如图，NAOB=45。，点M,N在边OA上，点P是边OB上的点.

(1)利用直尺和圆规在图1确定点P,使得PM=PN；

(2)设OM=x,ON=x+4,

①若x=0时，使P、M、N构成等腰三角形的点P有个；

②若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是.

25.(10分)如图，矩形A3CD中，AB=4,BC=6,E是3C边的中点，点尸在线段AD上，过尸作PFLAE于F,

设

(1)求证：AFFAs^ABE；

(2)当点尸在线段4。上运动时，设是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与AABE相似？

若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

(3)探究：当以O为圆心，。尸为半径的。。与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：.

26.（12分）如图，直线y=kx+2与x轴，y轴分别交于点A（-1,0）和点B,与反比例函数y二一的图象在第一象

x

m

限内交于点C（1,n）.求一次函数y=kx+2与反比例函数y二一的表达式；过x轴上的点D（a,0）作平行于y轴的

x

m

直线分别与直线y=kx+2和双曲线产一交于P、Q两点，且PQ=2QD,求点D的坐标.

x

27.（12分）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利

润：

方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；

方案二：售价不变，但发资料做广告.已知当这种商品每月的广告费用为机（千元）时，每月销售量将是原销售量的p

倍，且p=.

试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解题分析】

相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，1的相反数还是L

【题目详解】

根据相反数的定义可得：一3的相反数是3.故选D.

【题目点拨】

本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键.

2、B

【解题分析】

朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.

【题目详解】

31

依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=-=-

02

故选B.

【题目点拨】

此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.

3、B

【解题分析】

先由平行线性质得出/ACD与/BAC互补，并根据已知/ACD=40。计算出/BAC的度数，再根据角平分线性质求出

NBAE的度数，进而得到NDEA的度数.

【题目详解】

：AB〃CD,

ZACD+ZBAC=180°,

ZACD=40°,

.,.ZBAC=180o-40°=140°,

：AE平分/CAB,

11

ZBAE=-ZBAC=-xl40°=70°,

22

ZDEA=180°-ZBAE=110°,

故选B.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补.

4、B

【解题分析】

根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集.

【题目详解】

x+1>0①

[%-3>0②，

解不等式①，得x>-l,

解不等式②，得x>l,

由①②可得，x>l,

故原不等式组的解集是x>L

故选B.

【题目点拨】

本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法.

5、D

【解题分析】

根据同底数塞的乘除法运算进行计算.

【题目详解】

3x2y2.x3y2+xy3=6xsy4-?xy3=6x4y.故答案选D.

【题目点拨】

本题主要考查同底数倦的乘除运算，解题的关键是知道：同底数倦相乘，底数不变，指数相加.

6、A

【解题分析】

先利用直角三角形的性质求出CD的长，再利用中位线定理求出EF的长.

【题目详解】

,?ZACB=90°,D为AB中点

..CD=/,»I

ylB=3x5f

•点E、F分别为BC、BD中点

故答案为：A.

【题目点拨】

本题考查的知识点是直角三角形的性质和中位线定理，解题关键是寻找EF与题目已知长度的线段的数量关系.

7、B

【解题分析】

首先确定a=l,b=-3,c=l,然后求出△=b2-4ac的值，进而作出判断.

【题目详解】

a=l,b=-3,c=l,

；.△=(-3)2-4xlxl=5>0,

二一元二次方程X2-3X+1=0两个不相等的实数根；

故选B.

【题目点拨】

此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(：()△>0u方程有两个不相等的实数根；(2)A=0o

方程有两个相等的实数；(3)△<0地程没有实数根.

8、C

【解题分析】

运用配方法解方程即可.

【题目详解】

解：X2+2X-15=X2+2X+1-16=(X+1)2-16=0,即(X+1)2=16,解得，X]=3,x2=-5.

故选择C.

【题目点拨】

本题考查了解一元二次方程，选择合适的解方程方法是解题关键.

9、C

【解题分析】

根据二次函数图像位置确定a<0,c>0,即可确定正比例函数和反比例函数图像位置.

【题目详解】

解：由二次函数的图像可知a<0,c>0,

...正比例函数过二四象限，反比例函数过一三象限.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了函数图像的性质，属于简单题，熟悉系数与函数图像的关系是解题关键.

10、A

【解题分析】

分式的值为2的条件是：(2)分子等于2；(2)分母不为2.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.

【题目详解】

:原式的值为2,

X，+2x—3=0

(x-2)(x+3)=2,即x=2或x=-3；

又・..|xl・2#2,即x#2.

.*.x=-3.

故选：A.

【题目点拨】

此题考查的是对分式的值为2的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为2这个条件.

11、C

【解题分析】

试题分析：；DC〃AB,/.ZDCA=ZCAB=65°.

:△ABC绕点A旋转到AAED的位置，ZBAE=ZCAD,AC=AD.

ZADC=ZDCA="65°."ZCAD=180°-ZADC-ZDCA="50°."/.ZBAE=50°.

故选C.

考点：1.面动旋转问题；2.平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质.

12、D

【解题分析】

过B作BNLAC于N,BMLAD于M,根据折叠得出NCAB=/CAB,根据角平分线性质得出BN=BM,根据三角

形的面积求出BN,即可得出点B到AD的最短距离是8,得出选项即可.

【题目详解】

过B作BN_LAC于N,BM_LAD于M,

•.•将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的处,

.,.ZC,AB=ZCAB,

：.BN=BM,

「△ABC的面积等于12,边AC=3,

1

二-xACxBN=12,

；.BN=8,

.'.BM=8,

即点B到AD的最短距离是8,

BP的长不小于8,

即只有选项D符合，

故选D.

【题目点拨】

本题考查的知识点是折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解题关键是求出B到AD的最短距离，注意:

角平分线上的点到角的两边的距离相等.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、30或1.

【解题分析】

根据题意作图，由AB是圆O的直径，可得/ADB=NAD，B=1。，继而可求得/DAB的度数，则可求得答案.

【题目详解】

解：如图，:AB是圆O的直径，

ZADB=ZADrB=l°,

,.AD=AD=1,AB=2,

1

cosZDAB=cosDrAB=—,

ZDAB=ZD,AB=60°,

,?ZCAB=30°,

ZCAD=30°,ZCADr=l°.

.'/CAD的度数为：30。或1。.

本题考查圆周角定理；含30度角的直角三角形.

14、±1.

【解题分析】

试题分析：;（±2）2=4,二4的平方根是±1.故答案为±1.

考点：平方根.

15、x>l且x丹

【解题分析】

根据分式成立的条件，二次根式成立的条件列不等式组，从而求解.

【题目详解】

x-1>0

解：根据题意得：｛2一八，

x-370

解得它1,且x#l,

即：自变量X取值范围是史1且x，l.

故答案为x>l且xrl.

【题目点拨】

本题考查函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件.

16、8

【解题分析】

BC3

在RSABC中，cosB=—=-,AB=10,可求得BC,再利用勾股定理即可求AC的长.

AB5

【题目详解】

「RtAABC中，ZC=90°,AB=10

BC3

cosB=-----=—,得BC=6

AB5

由勾股定理得BC7AB2-BC2=J102-62=8

故答案为8.

【题目点拨】

此题主要考查锐角三角函数在直角三形中的应用及勾股定理.

17、2

【解题分析】

设乘客所携带行李的重量x(kg)与运费y(元)之间的函数关系式为y=kx+b,由待定系数法求出其解即可.

【题目详解】

'300=30k+b

解：设乘客所携带行李的重量x(kg)与运费y(元)之间的函数关系式为y=kx+b,由题意，得CM...,

9UU=50K+P

贝!Jy=30x-l.

当y=0时，

30x-l=0,

解得:x=2.

故答案为：2.

【题目点拨】

本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是

关键.

18、1.

【解题分析】

由三角形BCD为直角三角形，根据已知面积与BD的长求出CD的长，由OC+CD求出OD的长，确定出B的坐标，

代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOC面积即可.

【题目详解】

\BDXCD,BD=2,

1

BD，CD=2

••SABCD=2'

即CD=2.

,.C(2,0),

即OC=2,

.,.OD=OC+CD=2+2=1,

,B(1,2),代入反比例解析式得：k=10,

10

即y=一,

x

则SAAOC=L

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义

是解答本题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、见解析

【解题分析】

根据NABD=/DCA,ZACB=ZDBC,求证NABC=/DCB,然后利用AAS可证明△ABCg/XDCB,即可证明结论.

【题目详解】

证明：VZABD=ZDCA,ZDBC=ZACB

ZABD+ZDBC=ZDCA+ZACB

即NABC=/DCB

在△八8(3和4DCB中

ZABC=ZDCB

<BC=CB

ZACB=NDBC

/.△ABC^ADCB(ASA)

.,.AB=DC

【题目点拨】

本题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是求证△ABC之Z\DCB.难度不大，属

于基础题.

20、(1)见解析；(2)cot/CDF=孚.

【解题分析】

(1)矩形的性质得到AD^BC,AD//BC,得到AD^AE,ZDAF^ZAEB,根据AAS定理证明△"石父4次区；

(2)根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.

【题目详解】

解：(1)证明：••・四边形ABC。是矩形，

AD^BC,AD//BC,

：.AD^AE,NDAF=ZAEB,

在ZWE和.QE4中，

"NDAF=ZAEB

<ZAFD=ZEB9A

AD=AE

:FABE'DFA,

/.AF=BE；

(2)・LE咨J)FA,

:.AD=AE,ZDAF=ZAEB,

设CE=k,

•••BE：EC=2：1,*

BE=2k,

AD—AE—3k,

AB=JAE2-BE2=4k,

ZADF+NCD尸=90°,ZADF+ZZMF=90°,

:"CDF=/DAE,

:.NCDF=ZAEB,

BE_2k_24

cot/CDF-cot/AEB=

【题目点拨】

本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理

和性质定理是解题的关键.

21、（1）每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件，（2）产品件数增加后，每次运费

最少需要1120元.

【解题分析】

（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，根据表中的数量关系列出关于x和

y的二元一次方程组，解之即可，

（2）设增加m件A产品，则增加了（8-m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，根据（1）的结果结合图表

列出W关于m的一次函数，再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”，列出关于m的一元一次不

等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案.

【题目详解】

解：（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，

根据题意得：

'45x+25y=1200

30x+20y=1200-300，

x=10

解得：1

y=30

答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件，

(2)设增加m件A产品，则增加了(8-m)件B产品，设增加供货量后得运费为W元，

增加供货量后A产品的数量为(10+m)件，B产品的数量为30+(8-m)=(38-m)件，

根据题意得：W=30(10+m)+20(38-m)=10m+1060,

由题意得：38-m<2(10+m),

解得：m>6,

即6<m<8,

I,一次函数W随m的增大而增大

二当m=6时,W=1120,

最小

答：产品件数增加后，每次运费最少需要U20元.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用，解题的关键：(1)正确根据等量关系

列出二元一次方程组，(2)根据数量关系列出一次函数和不等式，再利用一次函数的增减性求最值.

22、详见解析.

【解题分析】

试题分析：由三角形的中位线得出进一步利用平行线的性质和等腰三角形性质，找出AOCE和AODE相

等的线段和角，证得全等得出答案即可.

试题解析：证明：•.•点E为AC的中点，OC=OB,：.OE//AB,：.ZEOC=ZB,ZEOD=ZODB.又：/ODB=/B,

：.NEOC=/EOD.

在AOCE和AODE中,：OC=OD,ZEOC=ZEOD,OE=OE,..AOCE^^ODE(SAS),ZEDO=ZECO=90°,

：.DE±OD,二。后是。。的切线.

点睛：此题考查切线的判定.证明的关键是得到

23、m的值是12.1.

【解题分析】

根据去年黄桃和苹果的市场销售总金额与前年黄桃和苹果的市场销售总金额相同，可以列出相应的方程，从而可以求

得m的值

【题目详解】

由题意可得，

1000x6+2000x4=1000x(1-m%)x6+2000x(l+2m%)x4(1-m%)

解得,m1=0(舍去)，m2=12.1,

即m的值是12.1.

【题目点拨】

本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出m的值，注意解答中是m%,最

终求得的是m的值.

24、（1）见解析；（2）①1；②:x=0或I/-4或4Vx<4户；

【解题分析】

（1）分别以M、N为圆心，以大于］MN为半径作弧，两弧相交与两点，过两弧交点的直线就是MN的垂直平分线;

（2）①分为PM=PN,MP=MN,NP=NM三种情况进行判断即可；②如图1,构建腰长为4的等腰直角△OMC,和

半径为4的。M,发现M在点D的位置时，满足条件；如图4,根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆

心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P,再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x

取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可.

【题目详解】

解：（1）如图所示：

（2）①如图所示

故答案为L

②如图1,以M为圆心，以4为半径画圆，当。M与OB相切时，设切点为C,0M与OA交于D,

A

图3

.\MC±OB,

,.ZAOB=45°,

...△MCO是等腰直角三角形,

.\MC=OC=4,

OM=4^/2,

当M与D重合时，即尤=OM—=4，芽—4时，同理可知：点P恰好有三个;

如图4,取OM=4,以M为圆心，以OM为半径画圆.

则。M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4,即以/PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆

心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以NPNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有

一个是以NM为底边的符合条件的点P；

点M沿OA运动，到MI时，发现。与直线OB有一个交点；

.•.当4<x<4j5时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；

综上所述，若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4j，—4或4cx<4/

故答案为x=0或x=4j»—4或4<x<4^2.

【题目点拨】

本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等

腰三角形的画法.

256

25、(1)证明见解析；(2)3或7.(3)x或0<x〈l

o5

【解题分析】

(1)根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；

(2)由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当NPEF=NEAB时，则得到四边形ABEP为

矩形，从而求得工的值；当/际时，再结合(1)中的结论，得到等腰△小£.再根据等腰三角形的三线

合一得到歹是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解.

(3)此题首先应针对点P的位置分为两种大情况：①与AE相切，②0。与线段AE只有一个公共点，不一定

必须相切，只要保证和线段AE只有一个公共点即可.故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段AE外的

情况即是》的取值范围.

【题目详解】

(1)证明：•..矩形45cD,

S.AD//BC.

.-.ZABE=90.

ZPAF=ZAEB.

)L\PF±AE,

:.ZPFA^ZABE^90.

：.^PFA^^ABE.

⑵情况1,当AEFPsLABE,且ZPEF=ZEAB时，

则有尸E〃4B

四边形ABEP为矩形，

：.PA=EB=3,即x=3.

情况2,当△PFEsAABE,且ZPEF=ZAEB时，

ZPAF=ZAEB,

：.ZPEF=ZPAF.

：.PE=PA.

：PFLAE,

...点F为AE的中点，

；AE=^AB2+BE2=J42+32=725=5,

5

PE鲁即反

2

~AE

5w

■,-P£=T

25

满足条件的x的值为3或

o

6

(3)x=5或0<x<l.