2024年高考数学押题卷3附答案解析

2024年高考数学押题卷3

一.选择题（共8小题）

1.已知集合4={x|lWx<4},B={x\x>2},则（）

A.B.{x|l<x<4}C.{x|lWx<4}D.{x|2<x<4}

2.四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别

为40cm,20cm,高为24cm）,则四羊方尊的容积约为（）

A.22400cm3B.32400cw3C.44800cm3D.67200cm3

3.函数/'(%)=sinx-V^cosx,xe[-^的最大值为()

A.0B.1C.V3D.2

4.已知复数2=h次，xER,y€R,满足区+l|+|z-1|=4,则点(x,y)的轨迹是()

A.线段B.圆C.双曲线D.椭圆

5.若(2x—3>2=cig+a1(x—2)+a2(x—2)?+…+。口(x—2)"+的?(x-2>2,贝1J()

A.。0=-1B.ao-。1+。2-----\~a\o-an+an=-1

+

c.ai+a2+…+%2=3"+1D.~+^2…+声+萍=2"-1

6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y

>0,则土+—>（吐0）当且仅当巴='时等号成立.根据权方和不等式，函数/'（X）=告+丁二（0Vx〈J）的

xyx+yxyxi—^x4

最小值为（）

A.1B.4C.9D.16

7.在四棱锥尸-4BCD中，底面48CQ是矩形，B4_L底面48CD,且口=45,AD=3AB,则PC与底面所成

角的正切值为（）

1

-3CV1O

A.3B.W

7

8.已知点P是抛物线f=2x上的动点，点尸在了轴上的射影是点力（94）,则|E4|+|PM的最小值是（）

93

5-C4-

A.2D.2

二.多选题（共3小题）

（多选）9.广东省2017到2022年常住人口变化图如图所示，则（）

第1页（共14页）

A.广东省2017到2022年这6年的常住人口逐年递增

B.广东省2017到2022年这6年的常住人口的极差为1515万

C.从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为:

D.广东省2017到2022年这6年的常住人口的第70百分位数为12656.80万

(多选)10.定义域为R的连续函数/(x),对任意x,f(x+y)+f(x-y)=2f3于(y),且/(x)不恒为0,

则下列说法正确的是()

A./(x)为偶函数B./G)(0)20

C.若/⑴=0,则£管4f(j)=4048D.若0为/(x)的极小值点，则/(x)的最小值为1

(多选)11.下列命题中的真命题有()

1%2+5

A.当x>l时，x+=j■的最小值是3B./。的最小值是2

xTV%2+4

C.当0cx<10时，J%(10-%)的最大值是5

D.若关于x的不等式ax2+6x+c>0的解集为{x[2<x<3},贝！|a-6+c>0

三.填空题(共3小题)

TT_>T_>T

12.已知a=(2,-1),6=(1,-2),(2a+Z?)||(ma-2b),则加=.

13.如图，为确定某大厦的高MM选择点/和另一楼顶C为测量观测点，从/点测得的“点的仰角/M4N=60°.C

点的仰角NC48=45°,NM4C=75°,从C点测得/MC4=60°.已知楼高8c=20根,则大厦的高MV=m.

14.已知人，仍是椭圆C的两个焦点，若。上存在一点尸满足|尸人|=15|尸尸2],则C的离心率的取值范围

是.

第2页(共14页)

四.解答题(共5小题)

2

15.甲乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛，比赛没有平局，设甲在每局中获胜的概率为了且各局胜负相

互独立，已知比赛中，乙赢了第一局比赛.

(/)求甲获胜的概率；(用分数作答)

(II)设比赛总的局数为亭求孑的分布列及期望£短(用分数作答)

2

16.如图，在直三棱柱NBC-/'B'C中，AB=AA'=AC=2,ZBAC=~n,点、D,£分别是3C,A'B'的中

点.

(I)求证：DEACC'A'；

(II)求二面角夕-AD-C的余弦值.

第3页(共14页)

17.在机(m，2,mEN+)个不同数的排列(Pi,尸2,…，Pm)中，若时，2>/*/(即前面某数大于

后面某数)则称B与B构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列(2,40,3,

1)中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4.

(1)求(1,3,40,2)的逆序数；

(2)已知〃+2(«GN+)个不同数的排列(Pl，P2，…,Pn+l,P„+2)的逆序数是2.

(i)求(尸〃+2,Pn+i,尸2,尸1)的逆序数即

(ii)令b“=厮+之+即+[[2,证明2w+Jwbi+如---\-bn<2n+

Q•.十]Iza.Izz«J

第4页(共14页)

X乙y乙

18.已知双曲线C：装―6=1缶>0,b>0)的左、右焦点分别为为，尸2，且同尸2尸4,若C上的点M满足

-|g||=2恒成立.

(1)求C的方程；

(2)若过点M的直线/与C的两条渐近线交于尸，0两点，且也ZP尸圈0|.

(i)证明：/与C有且仅有一个交点；

(iO求卷+高的取值范围.

第5页(共14页)

19.已知函数/(x)=xlnx.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/(D)处的切线方程；

(2)设b>a>0,证明：0</(a)+f(b)—2/(竽)V(b—a)En2.

第6页（共14页）

2024年高考数学押题卷3

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.已知集合/={x|lWx<4},B={x\x>2},贝（）

A.{x\x^l}B.{x|l<x<4}C.{x|l^x<4}D.{x|2<x<4}

解：4={x|lWx<4},B={x\x>2},则力G5={X|2V%V4}.故选：D.

2.四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别

为40c冽，20cm,高为24c加），则四羊方尊的容积约为（）

A.22400cm3B.32400cm3C.44800cm3D.67200cm3

]

解：根据台体的体积公式可得：四羊方尊的容积约为X24x（402+40x20+202）=22400cm3.故选：A,

3.函数/（%）=s讥％-V^cos%,xE[-^^的最大值为（）

A.0B.1C.V3D.2

解：因为/（%）=s讥％—gcos%=2（右加一字cosx）=2sin（x一守），又；—引时，％一江［一力，

所以当x—即时，f（x）的最大值为/（5）=2sin（—―=2sin-=1.故选：B.

4.已知复数2=田短，xGR,昨R,满足|z+l|+|z-1|=4,则点（x,己的轨迹是（

A.线段B.圆C.双曲线D.椭圆

解：,复数z=x+».（x,昨R）,且|z+l|+|z-1|=4,

・••由复数的模的几何意义可得，复数z对应点到（1,0）,（-1,0）的距离和等于4,

・,•点（％,y）的轨迹是以（1,0）,（-1,0）为焦点的椭圆，且c=l,2Q=4,

、%2y2

.'.4Z=2,b=同故x,>满足的轨迹方程是1+了=1.故选：D.

5.若（2%—3）"=劭+（!］（%—2）+—2/+,,,+—2）n+%2（%—2）",则（）

A.ao=-1B.ao-〃1+。2-的^---l-tzio-a\\+an=~1

C.+。2+…+a12=3"+1D.万+尹+…+―fl+~^12=2—1

解：令£=x-2,则％=汁2,2x-3=2（什2）-3=2/+1,

所以（2/+1）12=〃0+4"+。2於+…+。1/1+〃12产，选项/,令£=0,则40=1,即选项2错误;

第7页（共14页）

选项5,令，=-1,贝1J40-41+42-的+…+〃10-〃11+〃12=(-2+1)12=1,即选项5错误;

选项C,令£=1,则的+。1+〃2+。3+…+〃10+〃11+〃12=312,

所以〃1+。2+。3+…+。1。+。11+。12=312-^Q=312-1,即选项C错误；

选项D,令£=劣,则40+粤+，T+弟•+第■=（2X^+1产=2%

所以?+箸+…+W^I=212-40=212-1,即选项。正确.故选：D.

22乙2112±z,

6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设。，b,x,y

22（）ab

>0,贝|」一a十b一a+b~2当且仅当一二一时等号成立.根据权方和不等式，函数/（%）=，14金（0<%<1»的

xyx+yxyxi—^x4

最小值为（）

A.1B.4C.9D.16

解：当04G时，根据权方和不等式，可得f（久）=各鲁24=16,

当且仅当丁=,即％二卷时，f（x）的最小值为16.故选：D.

4%1-4%8

7.在四棱锥尸-4BCQ中，底面48CQ是矩形，B4_L底面/5CD,且AD=3AB,则PC与底面/5CQ所成

角的正切值为（）

1V1U「

A.~B.3C.---D.V10

310

解：因为处_L底面/BCD,4Cu底面NBC。，所以刃_L4C,则PC与底面48CQ所成角为/尸C4,

DA/10

设45=1,贝Ij24=l,AD=3,XC=V10,所以tcm/PCZ=衣=尢■.故选：C.

8.已知点尸是抛物线产=2x上的动点，点P在）;轴上的射影是〃，点/4）,则|。4|+|尸M的最小值是（）

93

A.5B.-C.4D.-

22

1

解：依题意可知焦点尸（5，o）,准线x=—去1延长尸河交准线于//点.则冲=尸珥尸/=下引，1=凹1，

\PM\v\PA\=\PF\v\PA\-^,我们只有求出|母最小值即可.由三角形两边长大于第三边可知，|尸尸|+|我|2|£4|,

①设直线旗与抛物线交于Po点，可计算得尸0（39,另一交点（-暂1，1—）舍去.

1Q

当尸重合于Po时，|尸功+|我|可取得最小值，可得E4|=5.则所求为1PM+1出尸5-2=于故选：B.

第8页（共14页）

二.多选题(共3小题)

(多选)9.广东省2017到2022年常住人口变化图如图所示：则()

A.广东省2017到2022年这6年的常住人口逐年递增

B.广东省2017到2022年这6年的常住人口的极差为1515万

C.从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为:

D.广东省2017到2022年这6年的常住人口的第70百分位数为12656.80万

解：对于由图可知，2021年到2022年常住人口在减少，故/错误；

对于8,将广东省2017到2022年这6年的常住人口(单位：万)按照从小到大的顺序排列为：

11169.00,11346.00,11521.00,12601.25,12656.80,12684.00,

则极差为12684.00-11169.00=1515万，故8正确；对于C,因为这6个数据中大于12000万的有3个，所以从

31

这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为:=个故C正确；

对于，因为6义70%=4.2,所以第70百分位数为12656.80万，故。正确.故选：BCD.

(多选)10.定义域为R的连续函数/(x),对任意x,y€R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)于(y),且/(x)不恒为0,

则下列说法正确的是()

A./(x)为偶函数B./(x)(0)20C.若/(I)=0,贝叵鲁4f(j)=4048

D.若0为/(x)的极小值点，则/(x)的最小值为1

解：令工=〉=0,有»(0)=2，(0)]2,所以/(0)=0或/XO)=1,

若/(0)=0,则令>=0,有)(x)(x)/(0)=0,即/(x)恒为0,所以只能/(0)=1,

对于不妨令x=0,有/(y)+f(-j)=2f(0)f(y)=2f(y),即/'(-y)=f(y),

且函数/(y)的定义域为全体实数，它关于原点对称，即/(x)为偶函数，故/正确；

对于2,令丫=>,有/(2x)+f(0)=2[/'(x)尸20,令f=2x,由xCR,得/=2xeR,

所以当;6R时，有/(/)+f(0)>0,即当xCR时，/(x)+f(0)20,故2正确；

对于C,若/(I)=0,令x=l,有/(1+y)4/(1-y)=2/(1)/⑶)=0,所以/G)关于(1,0)中心对称,

又/(x)为偶函数，所以/(1+y)=-/(I-y)=-/(厂1),所以7(x+2)=-/(x),则/(x+4)=-/(x+2)

=f(x),即/(x)是以4为周期的周期函数，又f(0)=1,/(1)=0,

所以7(2)=-/(0)—-1,f(3)—f(-1)—f(1)=0,f(4)—f(0)=1,

第9页(共14页)

/(I)V<2)V<3)+f<4)=07+0+1=0,£普4f«)=506x[/⑴+f(2)+f⑶+f(4)]=0,故C错;

对于D,令/'(2x)=2[f(x)]2—/(0)>/(x)今/"(>)<一/或/(x)>1,

从而对VxWO,〃一+8,有1=/(。)寸(摄)(言)<…守仁)，

即f(x)在0处取得最小值1(此时可取特殊函数/(x)=吧/，故。正确.故选：ABD.

(多选)11.下列命题中的真命题有()

A.当x>l时，x+占的最小值是3B.胃=的最小值是2

xTVX2+4

C.当0<x<10时，1久(10-%)的最大值是5

D.若关于x的不等式ax2+6x+c>0的解集为{x[2<x<3},贝!|a-6+c>0

解：根据题意，依次分析选项：

对于/,因为x>l=>x-1>0,所以xH—=(x-1)H——Y+1>2(x—1)X7~~1[、+1=3,

x-ix—ig7(x—1)

y2Ity2I/II1I__________1

当且仅当x=2时等号成立，故4正确.对于5,/=/=，%2+4+N2,

VX2+4J/+4J%2+4

2+5

而等号成立的条件是f+4=l,即，=-3,故X不=22不成立，5错误；

V%2+4

对于C,因为0<x<10nx-10>0,所以—2=5,

当且仅当x=10-x=x=5时取等号，故C正确.

、,、、[--=2+3

对于。，若关于x的不等式办2+bx+c>0的解集为{R2VXV3},必有QVO且(Q，

-=2x3

\a

即b=-5Q,c=6a,故Q-6+c=12aV0.。错误.故选：AC.

三.填空题(共3小题)

12.已知a=(2,-1),b=(L-2),(2a+b)||(ma-2/)),则加=-6.

解：因CL—(2,—1),b—(1/—2),且(2a+b)||(TTICL—2b),所以2a+b=(5,—4),ma-3b=(2)n—

3,6—m)9可得5(6-m)+4(2m-3)=0,解得加=-6.

13.如图，为确定某大厦的高MM选择点/和另一楼顶。为测量观测点，从/点测得的M点的仰角/M4N=60°.C

点的仰角/。8=45°,NMAC=75：从。点测得NMCN=60°.已知楼高8C=20%,则大厦的高儿W=30

m.

第10页(共14页)

解：•.•RtZX/BC是等腰直角三角形，：.AC=V2SC=20V2,由题意可知/4WC=45°,在中，由正弦定

AM120V2

理得：淅--------,即-----------，解得NM=20百，：.MN=AM*sm600=30.

sinZ.ACMsin45°sin60°

7

14.已知为也是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足|尸刑=15评2],则C的禺心率的取值范围是—玲，1).

解：V|PFI|=15|PF2|,A2a=\PF\|+|PF2|=16|PF2|,：.\PF2\=|e[a-c,a+c],

贝Ue卷又0<eVl,，e的取值范围是弓，1).

四.解答题(共5小题)

15.甲乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛，比赛没有平局，设甲在每局中获胜的概率为|,且各局胜负相

互独立，已知比赛中，乙赢了第一局比赛.(/)求甲获胜的概率；(用分数作答)

(II)设比赛总的局数为协求w的分布列及期望石亭(用分数作答)

解：(/)甲获胜的概率P=(|)3+C0.(|)3=j1

(II)由题设知：。=3,4,5,P-=3)=(1—|)2=/，P(2=4)=(|)3+由.»=小

02cle11204

P(f=5)=cKj)2(1)2+Cb1-(|)3=1

••飞的分布列为：

345

P144

999

・,•党=3弓1+4弓4+5.4:普13

2

16.如图，在直三棱柱/2C-HB'C中，AB=AA'=AC=2,NA4C=轲点。，E分别是3C,A'B'的中

点.(I)求证：OE〃平面/CC'A'■,(TI)求二面角夕-AD-C的余弦值.

(I)证明：取NC的中点R连结。尸，A'F,则D尸〃AB,A'E//AB,J.DF//A'E,

11

,:DF*AB,A':.DF=A'E,：.DFA'E是平行四边形，C.ED//A'F,

不包含于平面NCC'A',A'/u平面/CC'A',〃平面/CC'A'.

(II)在平面NBC中，以过点/且垂直于NC的直线为x轴，以直线/C为了轴，AA'为z轴,

建立空间直角坐标系，由题意得/(0,0,0),B(V3,-1,0),

第11页(共14页)

LV31

C(0,2,0),B偿,-1,2),C'(0,2,2),D(y,0),

TAo1TT..T

.•.4D=(号，?0),AB=(V3,-L2),XC=(0,2,2),设平面夕4D的法向量机=(久，y,z),

V3,1八

贝MT22y,取x=l,得zn=(1,-V3,-V3),设平面C'的法向量九二(xi,yi,zi),

jn•AB=V3x—y+2z=0

C3,1_-_

贝11人4°=1+2,1=n°,取肛=1,得九=(1,-V3,V3),设二面角夕-4Q-C'的平面角为。，

2yl+2zi=0

cos0=cos<m/1〉=)二二面角5'-AD-C的余弦值为二.

V7-V777

17.在加(冽?2,mGN+)个不同数的排列(尸1,尸2,…，Pm)中，若冽时，尸>舄•(即前面某数大于

后面某数)则称B与马构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列(2,40,3,

1)中有逆序“2与1”，“40与3”,“40与1”，“3与1”其逆序数等于4.(1)求(1,3,40,2)的逆序数；

(2)已知〃+2(虻N+)个不同数的排列(Pi,Pi,丹+1，Pn+2)的逆序数是2.

(i)求(Pn+2,丹+1,…，尸2,尸1)的逆序数劭

(ii)令包=普金+与*，证明2什另加+历+…+幻<2叶,

几十］十/Q九十/L5

解：(1)(1,3,40,2)有逆序“3,2”,"40,2”,其逆序数有2个.

(2)(i)〃+1数中任取两个比较大小,共有鬣+2个大小关系，・・・斯=鬣+2-2,胫N*.

(；；)b-即+2+°九+1+2_鬣+2I鬣+3_.+1I.+3=2+2_2

"“~一%1+1+2十即+2—*+3鬣+2—九+3九+1n+1n—3，

27222

，61+历+…+仇=2〃+£M干一I+3=2n+1+3~^+2~^+3-

9991991q

=—

•y~/工耳单调递增，一工力.〈°，・〃九几十子

/n+,7—n+7731,31'—L5—n+7Z77-n+32:2+L<61+&+…+bV23

/y2

18.已知双曲线C：至一台=1(。〉0,匕〉0)的左、右焦点分别为乃，Fi，且巧产2|=4,若。上的点〃满足

-|MF2||=2恒成立.(1)求。的方程；(2)若过点M的直线/与。的两条渐近线交于尸，。两点，^\MP\=\MQ\.

12

(i)证明：/与C有且仅有一个交点；(五)求两+两的取值范围.

解：⑴由双曲线定义可知||MFi|-|MF2||=2a=2,解得〃=L

又由「1入|=4,解得c=2,

因为片+廿二狩，所以料=3,

所以双曲线C的方程为了—1.

(2)(/)证明：设/(xo，泗)，P(xi,yi),Q(工2,J2),

双曲线的渐近线方程为yi=V5%i①，y2=-V3%20,

①+②得yi+y2=百(久i一久2)，①-②得乃一为=V3(Xi+久2)，

2?7?

由于君一号=1且虐一号=1,相减可得/-%2二冬一仔'

第12页(共14页)

yi+72遮(-—*2)Hnyi+y23(%I-%2)

所以底~r=，即~=，

V3(XI+X2)yi~y2%i+%2yi-y2

由题可知所以XI+X2=2XO,yi+y2=2yo,

-,yo3(xi-％2)3x

所fi[h以一=--------，B即nkpo=—0

和y\-yiy。

所以直线尸0的方程为y-凡=翁(比一万0)，即3xox-yoy=3焉一羽，

又因为点M在C上，所以3焉一羽=3,即3》仃-义)歹=3,

(2_艺一

方程联立3一,得(%一3就)/+6x°x-3-羽=。，

3x0x-yoy=3

所以一3/+6%0乂-3就=0,由A=36-4X(-3)X(-3)=0知方程有且仅有一个解，

所以直线/与双曲线C有且仅有一个交点.

(拓)由⑵⑴联立