江西省南昌市2023-2024学年高三年级下册第一次模拟考试数学试卷（含答案）

南昌十九中2023-2024学年下学期高三第一次模拟考试

数学试卷

一单选题

1.设复数l+i是关于X的方程依2-2依+b=0（a/eR）的一个根，则（）

A.a+2b=0B.a-2b=0C.2〃+/?=0D.2a-b=0

2.已知集合A=]xx=■，左={X=]+左兀,左£Z；,则（

)

A.A=BB.AnB=0C.Ac-BD.AoB

3.双曲线]一9

=1的顶点到其渐近线的距离为（）

c."D,且

A.gB.1

23

4,函数/(x)=sin(Gx+0)(o>O,O<9〈兀）的部分图象如图所示，AfiC是等腰直角三角形，其中48两点为

图象与x轴的交点，C为图象的最高点,且|OB|=3|图,则，（2024）=（）

5.将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体

积为（）

c8兀

A.8兀BC.D.—

-T273

6.假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀

后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）

7.设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（）

A.」B.1cTD.还

5555

8.设直线/：X+y-1=0,一束光线从原点。出发沿射线丁="（%20）向直线/射出，经/反射后与％轴交于

1

点股，再次经X轴反射后与y轴交于点N.若卜半，则上的值为（）

321

A.-B.—C.-D.2

232

二多选题

9.已知向量Q=（1,G）,b=（cos<z,sin<z）,则下列结论正确的是（）

A.若〃///?,贝!Jtana=g

B.若a_Lb，贝！!tana=—且

3

IT

C.若。与h的夹角为则|〃-切=3

D.若。与6方向相反，则6在。上的投影向量的坐标是（一

10.已知函数〃同=y+6+6卜"下列结论正确的是（）

A.若函数〃x）无极值点，则没有零点

B.若函数〃尤）无零点，则“X）没有极值点

C.若函数恰有一个零点，则“X）可能恰有一个极值点

D.若函数有两个零点，则/（尤）一定有两个极值点

11.正方体A用GR-ABC£>的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合

V,则（）

A.V中元素的个数为58

B.V中每个四面体的体积值构成集合S,则S中的元素个数为2

C.V中每个四面体的外接球构成集合。，则。中只有1个元素

D.V中不存在四个表面都是直角三角形的四面体

三填空题

12.与圆V+y2=1和圆。-&）2+（尸点）2=9都相切的直线方程是.

13.已知函数f（x）=sin（0x+e）（0>O）在区间邑与）上单调，且满足/（5）=-1,/（当=0,则。=.

61264

14.从1,2,3,L，〃这〃个数中随机抽一个数记为X,再从L2,L,X中随机抽一个数记为F,则Ee）=.

2

四解答题

15.已知函数/(x)=----(尤/0).

⑴求/(x)的单调区间.

(2)讨论方程/(x)=。的根的个数.

16.如图，在圆锥SO中，48是圆。的直径，且ASAB是边长为4的等边三角形，C。为圆弧A3的两个三

等分点，E是S3的中点.

CD

⑴证明：DE//平面SAC；

⑵求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值.

17.已知各项均不为0的数列｛4｝的前〃项和为S“，且q=l,叫=凡"；+1.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵若对于任意〃eN*,2,•22S"成立，求实数2的取值范围.

22

18.已知双曲线C|：V-2=1经过椭圆C,:0+y2=i的左、右焦点£,月，设CC的离心率分别为e”马,且

ba

⑴求G，G的方程;

3

(2)设尸为C］上一点，且在第一象限内，若直线尸片与C?交于A,8两点，直线尸鸟与C?交于C,D两点，设AB,8

的中点分别为〃，N,记直线MN的斜率为％,当左取最小值时，求点尸的坐标.

19.由个小正方形构成长方形网格有，"行和〃列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一

轮.每次放白球的频率为乙放红球的概率为分P+q=L

⑴若根=2,p=q=g,记》表示100轮放球试验中"每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：

ni2345

y7656423026

求y关于“的回归方程111、=加+。，并预测〃=10时，y的值；(精确到1)

1?

(2)若〃=2,"=2,p=-,q=-,记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X,求X的分布

列和数学期望；

⑶求事件"不是每一列都至少一个红球"发生的概率，并证明：

k

-工七％一庇,y5_

附：经验回归方程系数：\=上4---------,a=y-bx,S",」ln%=53,h^=3.8.

-kx2i=l

i=l

南昌十九中2023-2024学年下学期高三第一次模拟考试数学答案

一单选题

1D2D3C4D5D6C7C8B

二多选题

9ABD10AD11ABC

三填空题

6〃+3

12x+y+应=013々14丁

四解答题

4

15.⑴减区间为：（7）,0）,（0,1）；增区间为：（1,+8）.

（2）0

【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间.

（2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数.

【详解】（1）因为〃制=不（XH0）.

所以：/⑴—』一飞一1）.

v7X2X2

由/（x）>o=>x>l,又函数定义域为（F,o）5o,+w）,

所以函数在（F,0）和（0,1）上单调递减，在（1,M）上单调递增.......6分

X-6Z

（2）因为0<。<1,所以：当x<0时，〃x）=-------<0,方程/（力=。无解；

当x>0,函数在（0』）上递减，在（1,内）递增，

所以/⑺.=”1）=.〜>ae°=a,所以方程/⑺=a无解.

综上可知：方程/（x）=a的根的个数为。.......................13分

16.（1）证明见解析

（2）1

【分析】（1）证明：取9的中点/，连接CRE尸,8,由题意可证得DE//CF,再由线面平行的判定定理

证明即可；

（2）以0为坐标原点，03,05的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面&4c

与平面S&）的法向量，由二面角的向量公式求解即可.

【详解】（1）证明：取&4的中点尸，连接CF,1,C£）.

因为C,。为圆弧AB的两个三等分点，所以C£»//AB,CD=^AB.

因为分别为的中点，所以所//AB,EF=^AB,

则CO//EE跖=。，从而四边形CDEF为平行四边形，

故£>£7/因为平面SAC,C尸u平面&4C,所以DE//平面&4C....................6分

（2）解：以0为坐标原点，OB,OS的方向分别为轴的正方向，

5

建立如图所示的空间直角坐标系.

因为48=相=4,所以4（0,-2,0）,8（0,2,0）（（6,-1,。），£>（A/3,1,0）,S（0,0,2^）,

则AC=（V3,1,0）,AS=（0,2,2^）,BD=（V3,-1,0）,BS=（0,-2,273）.

设平面必IC的法向量为，"=&,*,zj,

m-AC=6X[+y=0,

则令再=1,..............9分

m-AS=2yl+2-J^Z\=0,

设平面SB。的法向量为”=(%2，%，22)，

n-BD-s/3x—y,=0,//-\

则?2二令3=1,得〃=1,61..............12分

n-BS=-2%+2V3Z2=0,

设平面&4C与平面SBD所成锐二面角为。，

,八।,\m-n\1

则cose=|cos<m,n)\=--~.

\m\\n\5

故平面&4C与平面S3。所成锐二面角的余弦值为g..................15分

17.(l)a„=2n-l

「9

⑵北金，+8

_o

【分析】

(1)根据题意，得至IJ/N2时，45„_,=an_xan+1,两式相减得至1J4+1-4一=4,得到卬生,““-”及外,%，，%”均

为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；

22

(2)由(1)求得S“=/，证得为42条恒成立，设〃=5,求得数列的单调性和最大值，即可求解.

22'

【详解】(1)

6

解：因为数列｛%｝的前〃项和为S“，且％=l,s“=空产，即4S“=°M1M+1,

当〃22时，可得4s力=%a“+l,

两式相减得44=an(。”+]-,

因为4产。，故%+「%=4,

所以4,%1T，,及出,•均为公差为4的等差数列：

当〃=1时，由4=1及豆=节以，解得』=3,

所以⑸t=1+4(〃—1)=2⑵-1)-1,%=3+4(〃-1)=2(2”)一1,

所以数列｛4｝的通项公式为见=2〃一1..................................................7分

(2/7-1)(2H+1)+1

解：由(1)知4=2几一1,可得S〃==枕2,

因为对于任意〃WN*,2"42s“成立，所以22：恒成立，

设6=d,则6b=(“+1)2"二一"+2"+],

〃2〃〃+i〃2n+i2〃2〃+i

当1一0<〃<1+后，即"=1,2时，bn+l-bn>O,bn<bn+]

当〃>1+0,即九N3,〃eN*时，b,l+l-bn<O,bn>bn+.

oo

所以仿<功<4>%>2>•,故色入*=63=石，所以2、石,

OO

9

即实数2的取值范围为g，+e15分

O

22

2

18.(1)G的方程为X-Z,=1,C2的方程为|-+/=1

(2)尸(后2)

【分析】(1)由题意可得/-1=1,e^=--^-=-,解方程即可求出片,〃，即可求出G，C?的方程;

IZ1a"2O2

(2)设直线的斜率分别为匕，&，由题意可得上色=2,设直线尸耳的方程为：y=kl(x+l),联立

-2k：

,同理可得N,即可求出直线MN的斜率为人,再由基

7

本不等式即可得出答案.

【详解】（1）依题意可得/一1=1,得片=2,

由e©=乎，得e；e；=g^•展=g，解得廿=2,

22

2

故G的方程为X-^-=1,C2的方程为千+丁=1.............6分

（2）易知耳（—1,0）,乙（1,0）,设P（工,为）,直线尸月,尸乙的斜率分别为匕,质，

2

则匕桃2=47，「■，％）

x0+1x0-1x0-1

在G：/=1,即有无；一¥=1,

2

可得左上=乌%=2为定值.

2

设直线尸片的方程为：y=kl（x+l）f联立三十丁=1可得

（2年+1）%2+4%：x+2（r-1）=0,A＞0恒成立，

一4左2

设4（占，%），3（肛为），则有玉+Z=:^7#7

ZK]+1

可求得“

设直线尸月的方程为：y^k2（x-l）,C（x3,y3）,D（x4,y4）,

同理可得N

勺上2

女—2婷+1+2左2?+1_勺（2始+1）+%2（2%1+1）

川-2婷।2k；-2婷（2左+1）+2左2?（2婷+1）

2^2+12修+1

（2桃2+1）（勺+归2）（2桃2+1）（勺+k2）

8彳右+2（婷+甘）8婷戏+2j（K+《）2-2g]

«_5（勺+&）

由％&=2可得:“24+2化+^J

点P在第一象限内，故网＞尢＞0,

8

55573

k=-----——---------->——

24

+2(左+右)2

k、+k，2

当且仅当^^7=2化+&），即匕+&=26时取等号,

K、IK,

而匕+修＞2也兀=2近，故等号可以取到.

即当人取最小值时，匕+履=26，联立匕&=2,

可解得仁=6-1,左2=6+1，

故PK的方程为：y=(6_l)(x+l),P8的方程为：y=(73+l)(x-l),

联立可解得［-；-［；h,即有P（道,2）.............................................17分

【点睛】关键点点睛：本题（2）问的关键点在于设直线尸耳,尸6的斜率分别为％，品，由题意可得上芯=2,联

立直线尸片与椭圆的方程求得M,联立直线产后与椭圆的方程同理可得N

即可求出直线MN的斜率为左，再由基本不等式即可得出答案.

19.（l）lny=-0.4"+5;3.

32

⑵分布列见解析；

（3）l-（J-p"'）"；证明见解析.

【分析】（1）根据所给数据，结合经验回归方程系数公式，即可求得回归方程，继而求得预测值；

（2）确定X的取值可能为0』,2,根据条件概率的概率公式求得每一个值对应的概率，即可得分布列，继而求

得期望；

（3）求得每一列都至少一个红球的概率，根据对立事件的概率公式可得事件"不是每一列都至少一个红球”发

9

生的概率，再求得〃每一行都至少一个白球〃的概率，结合两事件的关系可得其概率大小关系，即可证明结论.

1+2+3+4+5

【详解】（1）由题意知人二3

5

5_

Z41nx-5x〃•Iny

53—5x3x3.84

故石二上一------=一——二-0.4,

，q2_5X九255—4510

Z=1

所以〃=3.8+0.4x3=5

所以线性回归方程为：1唯