2024年全国普通高中九省联考模拟数学试题（二）（含答案解析）

2024年全国普通高中九省联模拟数学试题（二）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.从小到大排列的数据1,2,3,羽4,5,6,7,8,y,9,10的第三四分位数为（）

A.3B.止C.8D.山

22

2.若椭圆C:二+]■=：!（/〃>0）上一点到C的两个焦点的距离之和为2〃z,贝1]利=（）

A.1B.3C.6D.1或3

3.设等差数列｛4｝的前“项和为若%+%=T°，$6=-42,贝2。=（）

A.12B.10C.16D.20

4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不

去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）

A.32种B.128种C.64种D.256种

5.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又

将三角板ABC折起，使得二面角少为直二面角，得图2所示四面体A5CD.小

明对四面体ABCD中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD_L平面A3C；

②2平面ACD；③平面平面ACZ）；④平面ABDJL平面3co.其中判断正

确的个数是（）

C.3D.4

6.己知点尸在圆（x-iy+y2=i上，点A的坐标为卜1,退为原点，则AO.AP的取值

范围是（）

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

7.若f（x）=2sinx（右cosx-sinx）,且=则,-到的最小值为（）

7171

A.兀B.—C.2TID.一

24

22

8.如图，已知耳B是双曲线c3-W=i的左、右焦点，P,Q为双曲线C上两点，满

足片尸〃工。，且优。卜怩"=3|耳尸则双曲线C的离心率为（）

415

丁

二、多选题

9.设复数z=」二(a,6eR且6a0),则下列结论正确的是()

a+b\

A.z可能是实数B.月=|可恒成立

C.若z2eR,则o=0D.若z+'eR,贝1z|=l

Z

4_i_D

10.在ABC中，若tan——=sinC,则下列结论正确的是()

A.叫学=1B.0<sinA+sinB<V2

tan8

C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C

11.已知函数/(x)的定义域为R,满足/(x+y)+〃x—y)=2/(x)/(y),且/⑴=—1,

则()

A./(0)=1

B./(x)为奇函数

C./(1)+/(2)++”2024)=0

D.［小)了+|小+野=1

三、填空题

12.若关于x的不等式04依2+版+。＜2（。＞0）的解集为卜|-14尤43},则3a+b+2c的

试卷第2页，共4页

取值范围是.

13.已知直三棱柱ABC-AKG.ABLBCACnZAB.ACnZ,则三棱柱ABC-A4G的

体积的最大值为;此时棱柱的高为.

14.已知正实数4,6,C,d满足油+1=0,c2+d2=\,则当(a-c)2+(b-d)2取得最小值

时，ab-.

四、解答题

15.已知函数”无)=21n_x+gar2-(2a+l)x.

⑴若曲线y=/(x)在(1"⑴)处切线与无轴平行，求。；

(2)若f(x)在x=2处取得极大值，求。的取值范围.

16.盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球.不放回.

(1)若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次.记摸出的红球个数为X.求

随机变量X的分布列和数学期望.

⑵若A盒中有4个红球和4个白球，8盒中在2个红球和2个白球.现甲、乙、丙三人

依次从A号盒中摸出一个球并放入3号盒，然后丁从B号盒中任取一球.已知丁取到红

球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率.

7T

17.在梯形A5CD中，ABCD,ZBAD=~,AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点，

线段AC与。P交于。点(如图1).将ACD沿AC折起到416,位置，使得平面。'AC，

平面BAC(如图2).

D'

图1图2

⑴求二面角A-BD'-C的余弦值；

(2)线段PD上是否存在点°,使得CQ与平面3C。所成角的正弦值为手？若存在，求

出冬的值；若不存在，请说明理由.

18.已知抛物线y?=4x,顶点为。，过焦点的直线交抛物线于A,B两点.

⑴如图1所示，已知|相|=8|,求线段AB中点到>轴的距离；

⑵设点尸是线段上的动点，顶点。关于点尸的对称点为C,求四边形OACB面积的

最小值；

(3)如图2所示，设O为抛物线上的一点，过。作直线。加，交抛物线于M,N两

点，过。作直线。P,。。交抛物线于尸，。两点，且DPYDQ,设线段

与线段PQ的交点为T,求直线07斜率的取值范围.

19.已知无穷数列{q}满足q=max{a“+],aa+2}-min{a“+],a“+2}(〃=l,2,3,),其中

max｛x,y｝表示x,y中最大的数，min｛x,y｝表示尤，y中最小的数.

⑴当4=1,g=2时，写出的的所有可能值;

(2)若数列｛%｝中的项存在最大值，证明：0为数列｛4｝中的项；

⑶若%>05=1,2,3,),是否存在正实数使得对任意的正整数”，都有44"?

如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】由百分位数的估计方法直接求解即可.

【详解】12x75%=9,••.该组数据的第三四分位数为"之.

2

故选：D.

2.B

【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.

【详解】若加>9,则由2标'=2机得〃1=1(舍去)；

若0<<9,则由2m=6得m=3.

故选：B.

3.B

【分析】设等差数列｛《｝的公差为d，根据已知条件可得出关于4、d的方程组，解出这两

个量的值，在利用等差数列的求和公式可求得小的值.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,则%+%=(%+2d)+(«1+4d)=2q+6d=-l。，①

6x5

$6=6q-------d=6q+15d=-42,(2)

联立①②可得4=-17,J=4,

inxo

因止匕，4=10q+—^—1=10<71+451=10x(-17)+45x4=10.

故选：B.

4.C

【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.

【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法；

若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法.

故一共有2,+2$=64种去法.

故选：C.

5.C

【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于①中，因为二面角A-3C-D为直二面角，可得平面ABC」平面BCD,

答案第1页，共16页

又因为平面ABCc平面3cD=3C,DCLBC,且OCu平面BCD,

所以。CL平面ABC,所以①正确；

对于②中，由DC_L平面A3C,且ABu平面A5C,可得ABJ_CD,

又因为AB1AC,且ACCD=C,AC,C£>u平面AC。，

所以AB2平面ACD,所以②正确；

对于③中，由AB上平面ACD,且至u平面AB£),所以平面ABD_L平面ACD,所以③正

确；

对于④，中，因为。C_L平面ABC,且。Cu平面BCD,可得平面ABC人平面BCD,

若平面ABD_L平面3CD,且平面ABDc平面ABC=AB,可得AB2平面BCD,

又因为BCu平面BCD,所以ABJ.3C,

因为AB与BC不垂直，所以矛盾，所以平面和平面3c。不垂直，所以D错误.

故选：C.

6.D

【分析】设P(x,y),利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.

【详解】设P(x,y),因点A的坐标为卜1,6),所以A0=(1,—6),AP=(x+l,y—6),

贝IAO'AP=x+l—y/3(y—y/3\=x-y/3y+4,

设%=x一百y+4,即y=+—0，

依题意，求t的范围即求直线y=冬+咚(4_)与圆(XT)?+/=1有公共点时在y轴上截

距的范围，

即圆心(1,0)至Ijy=[x+4(4T)的距离1=用41,解得3W/W7,

所以AO•AP的取值范围为[3,7],

故选：D.

答案第2页，共16页

7.B

【分析】化简〃九)解析式，得函数最大最小值与周期，利用/(%)/(%)=-3条件转化为与

最值的关系，再由最值与周期的关系可得.

【详解】/(%)=2sin%(由cos%—sin%)

=石sin2x-2sin2x=6sin2x+cos2x-l

=2sin-1,/(x)的周期为7=兀，且

令】=sin(2尤,则问一1』,

则/«=g。)=2-1,由g(t)的值域为［-3,1］,

故/(劝诙=1"(幻而L-3,

-3</(%,)

故-

-3</(%2)<l

/、/、"a)=i/(/)=1

由/&)/伍)=-3知，匕；：；=_或

/(%1)=-3'

即/(再),/(%)为函数的最大与最小值，或最小与最大值，

当占,三对应了(X)图象上相邻两最值点时，上-目的值最小,

故,一%,『§=/

故选：B.

8.D

【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得进而可得/月尸'。=/£尸耳=90,结合

勾股定理运算求解.

【详解】延长QB与双曲线交于点P，

因为写尸〃工P,根据对称性可知国H=|月尸|，

设昆尸［=|耳则区尸|=医。|=3,,

可得怩P|—怪尸1=2/=2a,即

答案第3页，共16页

所以|P@=4=4a,则|0£|=|°阊+2a=5匹|耳P|=|gH=3。,

即|PQ『+|4P『=|。耳『，可知/用尸'。=/片尸乙=9。，

在,尸7司中，由勾股定理得国pf+|耳P『=|月用2,

即/+（34）2=402,解得e=£=典.

故选：D.

【点睛】方法点睛：L双曲线离心率（离心率范围）的求法

求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定。，b,c的等量关系或不等关

系，然后把b用a,c代换，求e=£的值；

a

2.焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结

合起来.

9.BCD

【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可.

【详解】对于：若a-biab

Az='i是实数,

a+bia2+b2a1+/a1+Z?2

则6=0,与已知矛盾，故A错误;

bi

对于B：由A项知"H-----z-------r

a+6

所以|z|

-2_/b12ab._a2-b2lab.

对于C：若z-,厂（/+,）2-w）21-（/+「厂（/+,）21e'

答案第4页，共16页

2ab

则/+用2=U,因为bwO,所以a=0,故C正确;

aa]

对于D：z+—=---ba+bi=++ieR,

za+bia2+b2)Ia2+b2

b

则=。，因为人。，所以—,

22

a-b

所以|z|=1+|=1,故D正确.

a2+b2a2+b2

故选：BCD.

10.BD

4Iz?

【分析】由tan^—=sinC化简得到。=90。，再逐项判断.

co

・、斗印、向上A+B.=C>12一。C

【详向车】解：由tan—^—=smCntan彳一彳=———=——^-=2sin—cos—,

2(22)tankSink22

22

C71C

因为所以cos—wO,

222

rr

所以l=2sin25nl-2sin23=0ncosC=0nC=90°,

所以tanB=tan(g-A]=」：，且”=tan%不一定为1,A错；

12)tanAtanB

因为sinA+sinB=sinA+cosA=夜sin(A+45°),0°<A<90°n45°<A+45°<135°,

/.^<sin(A+45°)<l^>l<A/2sin(A+450)<V2,

从而有O<sinA+sin840，所以B正确，

又cosB=cos[5-A]=sinA,所以sirA+cos'B=2sin2A也不一定等于1,C错；

而cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=l=sin2c，D正确；

故选：BD

11.AD

【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.

【详解】对A：令x=l,y=0,则2/(1)=2/(1)/(0),

因为/⑴=T，所以"0)=1，故A正确;

对B：令x=0得：/(y)+/(-y)=2/(O)/(y),结合"0)=1可得/((=/(-y),

答案第5页，共16页

所以“X)为偶函数，故B错误；

对C：令y=l可得：/(x+l)+f(x-l)=2f(x)/(l),因为/(1)=T,

所以/(彳+1)+/(》-1)=一2/(%)0/(%+1)+/(切=-[/(%)+/(%-1)],

进一步可得：/(x+2)+/(x+l)=-[/(x+l)+/(x)]=/(x)+/(x-l),

又40)=1,/(1)=-1,

所以：/（0）+/（1）=/（2）+/（3）=?..=/（2023）+/（2024）=0,

所以〃1）+/（2）+/⑶+?+/（）+〃2023）=—力（0科一，故C错误；

对D：令x=y可得:〃2对+〃0）=2［〃切=卜（切2="2；）+1；

用x+g代替x,'得："2尤+］）+〃0）=2［小+；［„+£|2=〃2'）+1,

结合C的结果，可得：［〃圻+［小+；。3）+,+>2”0）+9）+2=］,

故D正确.

故选：AD

【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C,令y=l得到

〃彳+1）+〃尤）=-"（x）+〃x-1）］后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对

D,用x=y和用X+；代替x,y是解决问题的关键.

⑵加

【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等

式，求出。的取值范围，最后3a+Z?+2c都表示成。的形式即可.

【详解】因为不等式04依2+法+c<2（4>0）的解集为{x|-14尤43},

所以二次函数/（x）=a?+fox+c的对称轴为直线x=l,

/(-1)=2a-b+c=2

(),即(b=-2a

且需满足，/3=29a+36+c=2解得

/(1)>0[a+b+c>0c=-3d+2

答案第6页，共16页

所以Q+Z?+c=Q-2a-3a+220=>aW（,所以〃［Oq,

所以3Q+ZJ+2C=3〃—2〃—6〃+4=4—5〃£T

故答案为：

【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点

的值，继而用同一个变量来表示求解.

13,2鸣2有

333

【分析】利用直三棱柱的特征、体积公式结合导数求单调性及最值计算即可.

【详解】

如图所示，不妨设|AB|=X,由题意贝ljACnZX,BCnGx'M=,4一4%2（%£（0,1））,

贝！JV=44-4Yxg%xy/3x=6］（］一%2卜4,

令/«）=二/£（01））=/,«）=2，—3/，

贝！时，r（^）<o,q>%>o时，r（r）>o,

即/⑺在（o，g上单调递增，在（I』）上单调递减,

22

—V=6义

则了⑺而方27maxv

3

0

此时t=x2=-^>“if=9=4=竽

3

故答案为：j；-

3

14.£1

2

【分析】将（。-4+S-d）2转化为（〃力）与（G"）两点间距离的平方，进而转化为（。乃）与圆

心（0,0）的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.

【详解】可将（。-4+S-"转化为（。力）与（c,d）两点间距离的平方,

答案第7页，共16页

由a2—ab+1=0,得b=aT—,

a

而。2+/=1表示以（0,0）为圆心，1为半径的圆，（c,d）为圆上一点，

则（。⑼与圆心（0,0）的距离为：

yja2+b2=卜+（°+工]=J2a-+3+2>^2a2—+2=也行+2,

当且仅当2/=±,即。=±《1时等号成立，

aV2

此时（。力）与圆心（0,0）的距离最小，即（。力）与（c,d）两点间距离的平方最小,

即（a-c）2+（b-cl）?取得最小值.

当4=《口时，ab=a2+l=+1,

V22

故答案为：也+1.

2

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆，+相=1上的点到&=«+-±

a

的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.

15.（1）1

⑵卜

【分析】（1）先对/J）求导，利用导数的几何意义即可得解；

（2）分类讨论〃的取值情况，利用导数分析/（x）的单调情况，从而得到其极值情况，由此

得解.

【详解】（1）因为〃尤）=21nx+；62-（2a+l）x（x>0）,

所以广⑺]+办_即：1）—2—（2：+山+2——1d,

因为曲线y=〃x）在（L〃l））处切线与无轴平行，

所以广⑴=（aT[l2）=0,解得°=1,

X/（l）=1-3--1^0,所以a=l.

答案第8页，共16页

（2）〃尤）的定义域为（。,+8）,「（力（"冲一2）,

①当。=0时，4/^）>0,得0<x<2,令r（x）<0,得x>2,

\/⑴在（0,2）上单调递增，在（2,+8）上单调递减.

\/（x）在x=2处取得极大值，满足题意；

②当“<0时，4/^x）>0,得0<x<2,令广（力<0,得x>2,

\/（x）在（0,2）上单调递增，在（2,+8）上单调递减.

\/（x）在x=2处取得极大值，满足题意；

③当4>0时，

（i）当a=g时，1=2,/（%）>0

所以在（。，+"）上单调递增，〃。无极值，不满足题意；

（ii）当a>!时，-<2,

2a

令广⑺<0,得：<x<2,令制x）>0,得0<x/或X>2.

\/（X）在］。，£|上单调递增，在W上单调递减，在（2,+8）上单调递增.

\/（X）在x=2处取得极小值，不满足题意；

（iii）当0<。<!时，->2,

2a

令八%）<。，得2<X<L令用了）>。，得0<x<2或

\”勾在（0,2）上单调递增，在12,J上单调递减，在［,+，!上单调递增.

\/（X）在>2处取得极大值，满足题意；

综上所述，0的取值范围为,巴；］

16.（1）分布列见解析；期望为?

4

【分析】（1）列出X的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望.

答案第9页，共16页

（2）用条件概率公式求解.

5「1「以21s

【详解】（1）X可取0,1,2.且：P（X=0）=^=-,P（X=1）=W==函,

P（X=2）=|!$

所以X的分布列为:

X012

5153

P

142828

1533

贝IJ：石X=lx——+2x——=_

28284

（2）设事件“丁取到红球”，事件后="甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.

当甲、乙、丙三人取得1个白球,则丁取到红球的概率为

C；C；C；7'

3C1C1C13

当甲、乙、丙三人取得2个白球,则丁取到红球的概率为,

则丁取到红球的概率为舄l^x,；

当甲、乙、丙三人取得3个白球,

c8c7c6/

则丁取到红球的概率为需旨xg；

当甲、乙、丙三人取得3个红球,

0807c6'

则所求概率为：P（E|O）=?^

3C；C©43C©C；3C；C；C；2

7y/7y/7y/44

3C；C©53C；C；C；43C；C；C；33C；C；C；2'二①

j/7y'/

17.⑴—五

7

⑵存在‘软!

【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解;

答案第10页，共16页

（2）设尸0=海力（04左1）,表示出CQ,利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.

JT

【详解】（1）因为在梯形A5CD中，AB//CD,AB=2AD=2CD=4,ZBAD=~,p为AB

的中点，所以，CD//PB,CD=PB,

所以尸是正三角形，四边形DPBC为菱形，

可得AC/3C,ACLDP,

而平面£>'AC_L平面BAC,平面。'ACc平面BAC=AC,

力Ou平面O'AC,DO±AC,

Zy0_L平面BAC,所以（M,OP,。力两两互相垂直，

如图，以点o为坐标原点，OA,OP,o。'分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A（省,0,0）,C（-V3,o,o）,网一百,2,0）,£>（0,0,1）,尸（0,1,0）,

.•.AD1=（-73,0,1）,AB=（-2>/3,2,0）,BD=（V3,-2,1）,,

设平面ABD的一个法向量为m=（Xi，X，zJ,则

m•AD'=0-+2]=0

即《，令％=1,则乂=4=石,

AB=0-+2〉]=0

设平面C8D’的一个法向量为〃=（马,为，22），则

nBDr=0V3X-2%+z°=0

即《厂9，令％2=1，则％=°，

r

nCD=0，3%2+z2=0

1x1+73x0+73x(-73)币

m-n

COS(771,Ylj—"；~~I..=

71+3+3x71+3.7，

、mn

所以二面角A-/-C的余弦值为一。

答案第11页，共16页

（2）线段PD'上存在点。，使得02与平面3C。'所成角的正弦值为好.

8

T^PQ^APD（0<2<1）,因为CP=（若,1,0）,PZ）'=（0,-1,1）,所以

CQ=CP+PQ=CP+APD=(73,1-2,2),

退(1-2)屈

设C。与平面BC。’所成角为。，贝抬ine=cosCQ,n

2,2矛-22+48'

即3万一7彳+2=0,0<2<l,解得4=

所以线段尸力上存在点。，且冬=：，使得CQ与平面BCD’所成角的正弦值为好

PD38

18.(1)3

(2)4

£j_

⑶

2,2

【分析】（1）根据抛物线的性质求解即可；

（2）由题意可知四边形Q4BC的面积等于2%A°B，设出直线方程，与抛物线方程联立，结

合韦达定理和25VA°B=2*|。刊|为一求解即可；

（3）设。点坐标为（〃,2a）,将抛物线方程与直线ZW,ZW联立，利用韦达定理将点M和

点N坐标用。表示，进而可得到直线MN的方程，证明直线MN过定点即可求解.

【详解】（1）因为过焦点的直线交抛物线于A,B两点，且|AB|=8,

由抛物线的性质可得%+%+2=|AB|=8,

所以占+%=6,

答案第12页，共16页

所以线段A3中点的横坐标,即为线段AB中点到y轴的距离为上产=3.

(2)由点C与原点。关于点尸对称，可知P是线段0c的中点，

所以点。与点C到直线/的距离相等，所以四边形OABC的面积等于2SAAOB,

设直线/的方程为m町+1,联立工：吁1,消去x可得产-4~4=0,

[y=4x

设4(%,%)，8(4%)，由韦达定理可得%+%=4加，4=-4,

所以2SVA0B=2%|0刊|%-刃=J(%+4%%=4dm②+1，

当机=0时，四边形Q4BC的面积取最小值为4.

(3)设。点坐标为(6,2a),M点坐标为(XM，%/)，N点坐标为(%,打)，

由题意可知直线DM的斜率上存在，且不为0,

则直线DM的方程为V-2a=k(x-与抛物线V=4x联立，消去x得

y2--y+--4a2=0,

kk

一44

由韦达定理可得2〃+=7,解得＞时=7-2〃，

kk

直线@V的方程为y-2a=-1(x-/)与抛物线V=4x联立，消去x得

答案第13页，共16页

y2+4ky-Ska-4〃=0,

由韦达定理可得2。+%=-4k,解得yN=-4k-2a,

显然直线MN斜率不为零，

当直线MN斜率存在时，直线MN的方程为

卜％_Xf_40为)_40拓)，整理得.y_4x+yNyM

XX：

yN-yMN-My(%+%)(>“-%)'.yN+yM'

4

将=：—2a，%=-4左一2。代入LN得：

k

4x+fo'2a^4k-2°)kx-4k-2a+2ak2+a2kk(x-a2-4)

>=--A----------=---------2----------=-2a+--------------z—，

--2a-4k-2abak'k~bak~k~

k

所以直线LN过定点(4+",-2q),即T点坐标为(4+/，-2q),直线07的斜率为

0>--——

-2,当且仅当？4=*即。=2时，等号成立,

当a>0时，f+a

-4

当。<0时,2,当且仅当-2=-。，即4=-2时，等号成立,

当a=0时，k0T=0,

当直线MN的斜率不存在时，设M点坐标为（『,2。，N点的坐标为（/,-2。,

UUUUUUU

则。々2,2/-2々），DN=q?_心-2t-2a）,且根据题意『一片工。，

uuimumr

所以r>M?r）N（t--a1y2-4（产-/）=0,解得产=4