张家界市2024年高考数学全真模拟卷含解析

张家界市一中2024年高考数学全真模拟密押卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物

不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关

的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，

则该数列各项之和为（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

2.费马素数是法国大数学家费马命名的，形如22"+1（〃eN）的素数（如：22°+1=3）为费马索数，在不超过30的正偶

数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是（）

2141

A.—B.—C.—D.一

155153

(JI3兀、3

3.已知。tan(cr-7i)=--,则sina+cosa等于().

1117

A.±-B.——C.-D.―一

5555

1,

4.已知抛物线C：y犷的焦点为产，准线为/,P是/上一点，直线尸产与抛物线交于A,B两点，若PA=2AF，

4

则|由为（）

4016

A.—B.40C.16D.——

93

5.如图示，三棱锥P—ABC的底面ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,且===0，PC=6，

则PC与面R钻所成角的正弦值等于（）

H

A.-B.在C.正D.也

3333

22

6.设双曲线=-二=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C

ab

分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(-oo,-l)(l,+oo)

C.(-72,0),(0,V2)

D.(—co,—\/2)(A/2,+co)

7.二项式(二一3]展开式中，工项的系数为()

12x)x

8.将函数y=2cos2[m+£]-1的图像向左平移机(加>0)个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则，"的

最小值为()

9.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形

ABC的斜边BC,直角边人民4。.已知以直角边4。,45为直径的半圆的面积之比为上，记NABC=c,贝!|sin2a=

10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝

才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛,

每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了()

A.96里B.72里C.48里D.24里

"2

11.在平面直角坐标系中，已知从,立是圆/+V=]上两个动点，且满足=-幺伍eN*),设4,4

n〃2\/

到直线%+百y+〃(〃+1)=0的距离之和的最大值为a„,若数列工的前〃项和S.<m恒成立，则实数的取值

范围是()

12.已知集合A=W-2x-3<0}3={x|x<2},则AB=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：.

14.双曲线V-匕=1的离心率为

3

15.正项等比数列|{。“}满足="|，且2a2，^。4，。3成等差数列，贝!2a3>•(44+1)取得最小值时〃的

值为_____

16.已知非零向量“2的夹角为且恸=1,|24—,=百，则,卜.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

%=2+2cos9

17.(12分)在平面直角坐标系九0y中，曲线a的参数方程为一.八(夕为参数)，以原点为极点，x轴的

y=2sm”

94

非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为。=—5--------------7^.

cosa+4sina

(1)求曲线G的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程;

(2)若直线/：丁=依与曲线G、曲线在第一象限交于尸,Q两点，且|0P|=2|0Q|,点M的坐标为(2,0),求

AMPQ的面积.

18.(12分)已知函数/(x)=%2+2x—77〃n(x+l),其中mGH.

(I)若机＞0,求函数/(%)的单调区间；

(II)设8(力=/卜)+/.若8(同＞+在(0,+8)上恒成立，求实数机的最大值.

19,(12分)在△ABC中，角AB,C所对的边分别为。，b,C,若m=(a,b-c),九=(sinA—sin民sin5+sinC),

p=(1,2),且m_L〃.

(1)求角C的值；

(2)求几•p的最大值.

22

20.(12分)已知椭圆C:f+g=l(a〉6〉0),左、右焦点为耳、工，点尸为C上任意一点，若|尸耳|的最大值为

3,最小值为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)动直线/过点B与。交于P、。两点，在x轴上是否存在定点A,使/24月=224月成立，说明理由.

21.（12分）如图，在四棱锥尸—A5CD中，平面ABC。，AD±AB,AB//CD,AB=AD=AP=-CD=2,

一2

E为PC的中点.

(1)求证：跖1平面PC。；

(2)求二面角A—QB—C的余弦值.

22.(10分)如图，在四棱柱ABCD-agCiR中，平面ABC。，底面45。满足A。〃BC,且

AB=AD^AAl=2,BD=DC=2叵

(I)求证:AB，平面A。，A；

(n)求直线AB与平面与C。所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前〃项和公式，可得结果.

【详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,

公差为5x7=35的等差数列，记数列{%}

贝！］an=23+35(«-1)=35«-12

2

令a,,=35〃—12<2020,解得〃<58—.

35

故该数列各项之和为58x23+处出x35=59189.

2

故选：C

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

2、B

【解析】

基本事件总数〃=15,能表示为两个不同费马素数的和只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3个，根据古

典概型求出概率.

【详解】

在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数〃=15

能表示为两个不同费马素数的和的只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3个

31

则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是P=—=j

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题.

3、B

【解析】

3

由已知条件利用诱导公式得tan。=再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.

4

【详解】

3

由题意得tan(o-7i)=tana=——,

34

又。£cosa(0,sina)0结合sin26Z+cos2a=1解得sintz——,COS6Z——9

55

所以since+cos<z

5-5--5

故选B.

【点睛】

本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.

4、D

【解析】

如图所示，过A5分别作ACJU于C,BD工/于D,利用AAPCABPD和AFPMABPD,联立方程组计算得

到答案.

【详解】

如图所示：过A5分别作AC，/于C,BDL于D.

94

PA=2AF＞则|人。=］怛闾=§，

4

ApArAP3

根据AAPCAfi尸。得到：——二——,即

BPBDAP+》BJBD'

4

AP+-

AFFM即一士2

根据AFEMA5PD得到:

~BPBDBD

AP+-+BD

3

解得AP=|,BD=4,故|AB|=|A司+忸同=|AC|+忸。|=g.

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

5、A

【解析】

首先找出PC与面RLB所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系

求出所成角的正弦值.

【详解】

由题知ABC是等腰直角三角形且NACB=90°,ZXABP是等边三角形,

设中点为。，连接PO,CO,可知PO=Y5,CO=显,

22

同时易知AB^CO,

所以AB，面POC,故NPOC即为PC与面RR所成角,

PCP+CO?-PC?2&

有cosZPOC=

2POCO

故sinZPOC=Vl-cosZPOC=

3

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.

6、A

【解析】

由题意.1.(0,)，

aa

根据双曲线的对称性知。在x轴上，设O(x,0),则由

b2b2

BD±AB^.।r.t_,

c-xc-a|a2(a-c)|

因为D到直线BC的距离小于a+Jq2+炉，所以

|a(a-c)|a'

Z?b

即0〈一<1,所以双曲线渐近线斜率左=土一e(—L0)u(0,l),故选A.

aa

7、D

【解析】

写出二项式的通项公式,再分析x的系数求解即可.

【详解】

二项式|鼻―£|展开式的通项为(+i=a[£|[I](―3>/2「,令7—2/•=—1,得厂=4,故J项的系

数为端出74(—3)4=等.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的运算，属于基础题.

8、B

【解析】

由余弦的二倍角公式化简函数为y=cosX+971,要想在括号内构造工变为正弦函数，至少需要向左平移£个单位

I4J24

长度，即为答案.

【详解】

龙71X7171

由题可知，y=2cos2—+—-1=cos2—+—=cosx+£对其向左平移-个单位长度后,

28284

(冗71冗71、/\

y=coslx+—+—l=coslx+—l=-sinx,其图像关于坐标原点对称

44

TT

故，，的最小值为了

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.

9、D

【解析】

Ari

由半圆面积之比，可求出两个直角边AB,AC的长度之比，从而可知tana=——=-,结合同角三角函数的基本关

AB2

系，即可求出sin。,cos。，由二倍角公式即可求出sin2a.

【详解】

2

解：由题意知a£0,^1,以A3为直径的半圆面积S1=g»AB

AC「SAC21AC1

以AC为直径的半圆面积S2=g»9n贝!I|—9=TT——，即nntanoc-----二一

IAB-4AB2

.V5

sin2or+cos2a=1sina=——厂厂

弓「,所以sin2a=2sinacosa==d

由＜sina1，得,

tana-------=—2V5555

cos。2costz=-----

5

故选:D.

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.

10、B

【解析】

人每天走的路程构成公比为g的等比数列，设此人第一天走的路程为生,计算4=192,代入得到答案.

【详解】

由题意可知此人每天走的路程构成公比为'的等比数列，设此人第一天走的路程为％,

2

“i-GJ10丫

则1、”「.葭解得。1=192,从而可得生=192x—=96,%=192x—=24,故4-4=96-24=72.

1--

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11、B

【解析】

由于4,4到直线x+6y+/(〃+l)=O的距离和等于4,纥中点到此直线距离的二倍，所以只需求4,纥中点到此

直线距离的最大值即可。再得到4,纥中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和4,纥中点到此直线

距离的最大值的关系可以求出4。再通过裂项的方法求人的前〃项和，即可通过不等式来求解的取值范围.

【详解】

22

由OA“OB„=-—，得〃"cosNAOg,=—上，,ZA„OB„=120.设线段4区的中点G,贝!，：＜,

222

在圆x2+y2=y±,到直线尤+与+/(〃+1)=0的距离之和等于点c“到该直线的距离的两倍，点c“到直

线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆V+y2=ZL的圆心(0,0)到直线x+Gy+〃(〃+l)=0

-4

2\nn+2j

1

2

:.m>—.

4

故选：B

【点睛】

本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.

12、C

【解析】

解不等式得出集合A,根据交集的定义写出AH5.

【详解】

集合4=3，-2工-3叫=但-l<x<3},

B={x|x<2},AoB={x\-l<x<2}

故选C.

【点睛】

本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

根据程序框图直接计算得到答案.

【详解】

程序在运行过程中各变量的取值如下所示：

是否继续循环ix

循环前14

第一圈是44+2

第二圈是74+2+8

第三圈是104+2+8+14

退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1

故答案为：L

【点睛】

本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.

14、2

【解析】

a=1,b=y/3/.c=a2+b2=2,e=—=2

a

15、2

【解析】

先由题意列出关于4,q的方程，求得｛4｝的通项公式，再表示出（。化>（。2a3>•（44+1）即可求解.

【详解】

解:设｛4｝公比为比且q>0,

2

a3=%%a4=a2q

c1c

2x—&=2%+%

cl2c

2x—ci2q-2%+12a

；.q?_q_2=0

q>2

:.q=2

/5

..q+4q——

1

Cl,——

14

.•.4=—x2"T=2"-3

"4

・他=4%=2〃一3x2-2=22片

.•.姑2^=2-3x2*xX22B-5

_2-3+（-1）++（2n-5）

_2〃2-4〃

=2（«-2）2-4

.•.”=2时，上式有最小值2T=2，

16

故答案为：2.

【点睛】

本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.

16、1

【解析】

由已知条件得出4a2—4|a|.|6|.cos<a,6〉+办2=3,可得21al2-1。|-1=0,解之可得答案.

【详解】

2

向量a,b的夹角为,且|2a—切=百，|6|=1,可得:4。2—4|。|皿|•cos<a,b>+b=3,

可得21al2—|a|—l=0,解得|a|=l,

故答案为:L

【点睛】

本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属

于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)G的极坐标方程为Q=4COS，，C,的直角坐标方程为三+J?=1(2)巫

4-3

【解析】

(1)先把曲线G的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用x=0cos8,y=0sin。求得极坐标方程.将

c4

P1=一5---------,化为夕2cos2。+4.2sir?。=4,再利用x=pcose,y=psin。求得曲线C2的普通方程•

cosa+4sina

494

⑵设直线的极角八为'代入，得「西’将"°。代入片4期,,得

Pp=4cosq,由10Pl=2|0Q|,得Pp=2夕2，即(4cos%)2=162,从而求得sin?%,cos?4=：,

1十Dsin%33

从而求得2°,QP,再利用S^pQ=S^OMP-SAOMQ=5,IOMI,(^pP—%)•sin%求解.

【详解】

(1)依题意，曲线G：(x—2)2+丁=4,即炉+9―4%=0,

故02—4QCOS，=0,即Q=4COS，.

4

因为夕2=，p1cos2a+47?2sin2cr=4,

cos2a+4sin2a

2

即/+4/=4,即?+y2=l.

424

(2)将…代入°?='得.-l+3sin2%

cos2a+4sin2a

将代入P=4cos8,得Pp=4cosq,

216

由|0P|=2|0Q|,得4=2夕°,得（4cos%）,=…c，

“l+3sin综

。21

解得sin?4=耳，则cos?4=耳.

dc八兀小I4264百

又0＜4＜彳，故夕°=J］；・2.=~^~，PP=4cos4,

2\l+3sm0Q33

故AMPQ的面积SAMPQ=SA.-SA°M。=gl°”I.（必—&）.sin为=子•

【点睛】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数

形结合思想，属于中档题.

18、（I）单调递减区间为—1,单调递增区间为1,+s；（II）2.

【解析】

（I）求出函数丁=/（力的定义域以及导数/"（%）,利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；

（II）由题意可知f+2尤-mln（x+l）＞----?在（0,+8）上恒成立，分机＜0和机＞0两种情况讨论，在m〈0

时，构造函数G（x）=f+2x---+4＞利用导数证明出G（x）＞0在（0,+。）上恒成立；在机＞0时，经过分析得

x+1e

出0＜m＜2,然后构造函数P（x）=f+2x—21n（x+l）+±———,利用导数证明出P（x）＞0在（0,+。）上恒成

ex+1

立，由此得出了（£）＞p（x）＞o,进而可得出实数根的最大值.

【详解】

（I）函数/（%）=£+2x-mln（x+l）的定义域为（一1,+8）.

当机＞0时，/⑺=2x+2—旦=2（x+l）2一—.

'）x+1x+1

令/'（x）=0,解得斗=一与一1＜一1（舍去），x?=粤—\＞一3

'J2m1(/xflrn'、

当—L--1时，<0,所以，函数y=/(x)在T--1上单调递减;

77

当xj叵T+oo］时,r、

/'(x)>0,所以，函数y=/(x)在-1,+8上单调递增.

2

7、

因此，函数y=/（x）的单调递减区间为-1,七一-1,单调递增区间为-1,+00

2

IJI27

（II）由题意，可知炉+2%-mln（x+l）＞-.......?在（0,+8）上恒成立.

x+1e

(i)若切VO,ln(x+l)>0,.\-772111(%+1)>0,

11

%?+2%一772In(x+1)--------1——N%2+2x—-----+—,

x+1ex+1ex

11_

构造函数G(X)=_?+2X—-—+4^x>Q,则G'(X)=2X+2+7

Y\2八%

x+1e(x+1)e

x090<—<1—1<-----<0.

ex9ex

又2X+2+(「］)2>2X+2>2,.•.G'(x)〉0在(O,+“)上恒成立.

所以，函数y=G(x)在(0,+。)上单调递增，.•.G(x)>G(0)=0.

当7篦K0时，x~+2,x—tnIn(x+1)--------1—->0在(0,+8)上恒成立.

x+1e

（ii）若机＞0,构造函数=x＞0.

x

H\x）=e-l＞09所以，函数y=H（x）在（0,+“）上单调递增.

.•.H（x）＞H（0）=。恒成立，即/＞%+1＞0，即々一上〉0.

x十1ex十Le

由题意，知/（力＞」一一）在（0,+"）上恒成立.

:.于（%）=x2+2x-相加（％+1）＞。在（0,+8）上恒成立.

由（I）可知/（外血=/（同

极小值"J’

又Q/(O)=O,当《引一i〉o,即加>2时，函数y=/(x)在O,^p-1上单调递减,

、

-1</(o)=o,不合题意，

粤8即。<心

)

此时g(%)------=x2+2x-mln(x+l)+^------>x2+2x-21n(x+l)+^-1

x+1ex+1ex+1

构造函数尸(x)=%2+2%—21n(x+l)+4———，x>0.

ex+1

211

P'(x)=2x+2-------------+---------

I7X+1/(x+1)2，

x+1>1,

2____1_]cc31

P(x)=2x+2-

d+@+1)2>2x+2---------F

x+1x+1a+i)2

2(x+l)3-3(x+l)+l2(x+l)2-3(x+l)+l%(2%+l)〉°

(%+l)2(x+l)2(x+l)2

•・.P(£)>0恒成立，所以，函数y=尸(无)在(0,+s)上单调递增，...P(x)>P⑼=0恒成立.

综上，实数耀的最大值为2.

【点睛】

本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构

造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.

19、(1)y；(2)2瓜

【解析】

(1)由正弦定理可得a2+A2—c2=aO,再用余弦定理即可得到角C；

(2)〃"=百$也(4+?)+百，再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.

【详解】

(1)因为加_[_〃，所以〃(sinA-sinb)+S—c)(sinB+sinC)=0.

在AABC中，由正弦定理得一jb_c

sinAsinBsinC

222

所以。(a-b)+(6-c)S+c)=。，gpa+b-c=ab-

z72_i_A2_r2nh1

在AABC中，由余弦定理得cosC=J?~J=旦」,

lablab2

IT

又因为。£(0,乃)，所以c=；

3

71

(2)由(1)得。=—,在AABC中，A+B+C=7i,

3

所以〃•p=1x(sinA-sinB)+2(sinB+sinC)

=—sinAd---cosA+y/3

22

因为A“0彳j,所以A+工f，F］，

所以当即A=(时，y=si“A+f有最大值i,

所以〃•0的最大值为2君.

【点睛】

本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.

22

20、(1)—+2_=1(2)存在；详见解析

43

【解析】

(1)由椭圆的性质得」+c=3,a—c=l,解得a,c后可得沙，从而得椭圆方程；

(2)设尸(%,%),。(%,%),45,0),当直线/斜率存在时，设为丁=左(1-1),代入椭圆方程，整理后应用韦达定

理得再+%2，石%2,代入左AP+心2=0由恒成立问题可求得验证/斜率不存在时也适合即得.

【详解】

PF.=a+c=3fa=2

解：(1)由题易知111ax।解得,

PF..=a-c=lc=1l

I1minI

22

所以椭圆C方程为L+2L=1

43

(2)设尸(王，％),。(大2，%)，4(”,0)

当直线/斜率存在时，设为》=左(％-1)与椭圆方程联立得

（4左2+3）］2-8左2%+4左?一］2=0,显然/>0

8人24k2-12

所以石+々=,%r-r

222

/1IJ4k+3

因为NPAg=ZQAF2,:.kAP+kAQ=0

X+%=左（石—1）（々—”）+MTT）&—〃）=0

xl-nx7-n（%1-n）（x2一〃）

8r—248（〃一1）左26〃+8〃攵2

化简-（〃+1）（X］+%）+2〃=O,.,.

止+3止+34V+3

解得6〃—24=0即〃=4

所以此时存在定点4(4,0)满足题意

当直线/斜率不存在时，4(4,0)显然也满足

综上所述，存在定点4(4,0),使NP46=NQA6成立

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法.设而不求思

想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法.

21、(1)见解析；(2)-史

3

【解析】

⑴取PD的中点尸，连接AF,EF，根据中位线的方法