2024-2025学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.4.1圆的标准方程课件新人教A版选择性必修第一册

第二章2.4.1圆的标准方程学习单元4

圆的方程圆是同学们熟悉的基本平面曲线,也是最简单的封闭曲线.在平面直角坐标系中,我们借助直线的几何要素建立了直线方程,通过直线方程解决直线的位置关系、交点以及距离等问题.类比直线的研究方式研究圆,根据确定圆的几何要素建立圆的方程,掌握圆的标准方程及一般方程.通过圆的方程,运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题,初步理解轨迹问题.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:在上述知识明线的学习过程中,逐步加深对利用解析几何解决问题的方法的认识,对“四步曲”的大观念以及坐标法的理解,提升用代数方法研究几何问题的能力,体会数形结合的思想.学习目标1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.(逻辑推理)2.能根据所给条件求圆的标准方程.(数学运算)3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.(直观想象)基础落实·必备知识一遍过知识点1

圆的标准方程

定长

名师点睛1.当圆心在原点时,圆的标准方程为x2+y2=r2.2.当圆心在原点,半径长r=1时,圆的标准方程为x2+y2=1,这样的圆称为单位圆.微思考1.圆中的几何关系是什么?几何关系如何用代数方式来表示?

2.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则它表示了怎样的几何意义?

提示

几何关系:到定点的距离等于定长.代数方式表示:设圆上任一点为P(x,y),定点为M(a,b),定长为r(r>0),即|PM|=r.然后用两点间距离公式表示距离,再经过化简运算,即可得到圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.提示

到点(1,-5)的距离等于

的点的轨迹.知识点2

点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设位置关系d与r的大小图示点P的坐标特点点在圆外d>r

(x0-a)2+(y0-b)2>r2位置关系d与r的大小图示点P的坐标特点点在圆上d=r

点在圆内d<r

(x0-a)2+(y0-b)2<r2(x0-a)2+(y0-b)2=r2重难探究·能力素养速提升问题1对于圆来讲,其几何要素是什么?几何定义是什么?问题2根据圆的几何要素及定义,在平面直角坐标系中,如何建立圆的标准方程?问题3根据圆的标准方程,能否看出圆的几何要素?探究点一求圆的标准方程问题4求圆的标准方程,关键是要知道什么几何量?若从代数的角度来思考,要求解含有几个量的方程?【例1】

求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.解

(方法1)设点C为圆心,∵点C在直线x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r=.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.规律方法

圆的标准方程的求法(1)直接法求圆的方程.圆的方程由圆心、半径决定,因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程.(2)待定系数法,圆心(a,b),半径为r.特殊位置标准方程圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2(3)利用圆的性质求方程.求圆的方程时,可以利用圆的性质求圆心、半径,如弦的垂直平分线过圆心,过切点垂直于切线的直线过圆心等.探究点二点与圆的位置关系问题5借助圆的方程,如何判断点与圆的位置关系?请从几何与代数两个角度来思考.【例2】

(1)点Q(m2,5)与圆x2+y2=20的位置关系是(

)A.点Q在圆内

B.点Q在圆外C.点Q在圆上

D.不确定B解析因为(m2)2+52=m4+25>20,所以点Q在圆外.(2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是

.

[0,1)规律方法

点与圆的位置关系及其应用(2)位置关系的应用:代入点的坐标,利用不等式求参数的取值范围.本节要点归纳1.知识清单:(1)圆的标准方程;(2)点和圆的位置关系.2.方法归纳:直接法、几何法、代数法、待定系数法.3.常见误区:几何法求圆的方程容易出现漏解情况.学以致用·随堂检测促达标121.(例1对点题)已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求圆心C在直线2x-y-4=0上的圆的方程.12122.(例2对点题)若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内