2024-2025学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.5.1直线与圆的位置关系课件新人教A版选择性必修第一册

第二章2.5.1直线与圆的位置关系学习单元5

直线与圆、圆与圆的位置关系在平面几何中,我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面学习了直线的方程、圆的方程,以及用方程研究两条直线的位置关系.本学习单元类比用方程研究两条直线位置关系的方法,利用直线和圆的方程,通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系.这是本学习单元的知识明线,具体知识结构图如下图所示:在知识明线的学习过程中,体会图形间的位置关系,既可以直观定性描述,也可以定量刻画.在解决问题的过程中,积累“适当地利用几何性质,有助于简化运算”的经验.体会坐标法解决问题的基本思路,感悟“四步曲”大观念.学习目标1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.(直观想象、数学运算)2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.(数学抽象)基础落实·必备知识一遍过知识点

直线与圆的位置关系的判断方法直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断:位置关系相交相切相离公共点

个

一个零个判定方法几何法:设圆心到直线的距离d

r

d=rd

r

代数法:由

消元得到一元二次方程Δ>0Δ=0Δ

0

可消x,也可消y,都能得到一元二次方程

两<><名师点睛利用直线和圆的方程,通过定量计算研究直线与圆的位置关系.微思考1.如果直线与圆组成的方程组有解,从几何图形上说明了它们之间存在什么关系?若圆心到直线的距离大于半径,则从代数的角度能说明什么?

2.利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单?

提示

从几何图形上说明直线和圆相交或相切;从代数上说明直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.提示

一般情况下,几何法较为简单.重难探究·能力素养速提升问题1我们知道,判断两直线位置关系的方法有两种,一种是借助于几何特征斜率来比较;一种是利用交点个数来判断.类比于直线间位置关系的判断,你认为,直线与圆的位置关系可以如何判断?探究点一判断直线与圆的位置关系问题2直线与圆的位置关系,根据初中的定性描述,可以用圆心到直线的距离与半径相比较来判断,也可以根据公共点的个数来定量判断.虽途径不同,但均能实现直线与圆位置关系的判断.两种方法有何异同?如何选择合适的方法?【例1】

已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.求当m满足以下条件时,直线与圆:(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点.解

(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.规律方法

直线与圆的位置关系的判定有两种方法

探究点二圆的切线方程及切线长问题3直线与圆相切,会引出哪些几何问题需要解决?如何解决?【例2】

过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线.(1)求此切线的方程;(2)求切线长.解

(1)因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.①若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,②若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.(2)设过A点的一条切线与圆C相切于B点,切线长即|AB|.易知CB⊥AB,根据勾股定理,|AB|2=|AC|2-12=17-1=16,|AB|=4.规律方法

过一点的圆的切线方程的求法(1)点(x0,y0)在圆上,有且只有1条切线.①先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为

,由点斜式可得切线方程.②如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.(2)点(x0,y0)在圆外,有2条切线,切线长相等.①设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,得到切线方程.②当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情况.探究点三直线与圆相交以及弦长有关问题问题4若直线与圆相交,可以求解哪些几何问题?如何求解?【例3】

(1)过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为

.

(2)圆心为C(2,-1),截直线y=x-1的弦长为2的圆的方程为

.

(x-2)2+(y+1)2=4规律方法

1.求圆的弦长的基本方法利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+()2解题.2.与弦长相关的问题利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组,解出其中的未知量.探究点四直线与圆的方程的实际应用问题5学习数学的最终目的是为了解决实际问题,解决直线与圆的方程的应用题的具体步骤是什么?【例4】

如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.(1)求圆C的方程.(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶.若不改变方向,试问:该船有没有触礁的危险?解

(1)由题意,得A(40,40),B(20,0),设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,故圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.(2)该船初始位置为点D,则D(-20,-20),且该船航线所在直线l的斜率为1,故该船航行方向为直线l:x-y+20-20=0.规律方法

解决直线与圆的方程的应用题的步骤(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.(2)建系:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.(3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知量.(4)还原:将运算结果还原到实际问题中去.本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与圆的三种位置关系;(2)弦长公式;(3)圆的切线方程;(4)直线与圆的方程的应用.2.方法归纳:几何法、代数法、坐标法、弦长公式法、数学建模.3.常见误区:(1)求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况;(2)不能正确进行数学建模.学以致用·随堂检测促达标123451.(例1对点题)判断下列直线与圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系,若相交,则求出交点坐标.(1)x-y-2=0;(2)x+2y-1=0.12345123452.(例2对点题)经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为

.

2x+y-5=0解析

易知点M在圆上,所以M为切点,切点和圆心连线斜率k=,则切线斜率为-2,切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.123453.(例2对点题)过点Q(3,0)作圆O:x2+y2=4的切线.(1)求此切线方程;(2)求切线长.12345123454.(例3对点题)如果一条直线经过点

且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,求这条直线的方程.12345123455.(例4对点题)一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?说明理由.